抛物线问题中的最佳“配角”

李长春

在精彩纷呈的初中数学大舞台上，45°的角一直扮演着重要的角色，虽是配角，但其常与作为主角的二次函数图像联袂演出一幕幕压轴大戏。众所周知，等腰直角三角形的底角为45°，因此，当题目中出现45°角时，我们往往要构建等腰直角三角形，将角相等转化为边相等，从而使问题迎刃而解。

一、借助坐标轴，构建等腰直角三角形

例1 如图1，抛物线y=a（x-m）2+n （a<0，m>0，n>0）交y轴于点P，点A为抛物线的顶点，设直线PA与y轴所夹的角为45°，当A为抛物线的顶点时，求am的值。

【思路分析】如何用好条件中的“直线PA与y轴所夹的角为45°”是解题的关键，此时可根据45°角构造等腰直角三角形，结合抛物线顶点坐标表示出关键线段的长，借助线段之间的关系列出等式求解。

解：如图2，过点A作AH⊥y轴于H。

因为y=a（x-m）2+n=ax2-2amx+am2+n，所以P（0，am2+n）。

因为A（m，n），所以AH=m，OH=n。

因为∠APH=45°，所以PH=AH=m。

由PH+OP=OH，得m+am2+n=n，即am2=-m，

又因为m>0，所以am=-1。

二、借助“一线三等角”，构建等腰直角三角形

例2 如图3，抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C。Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标。

【思路分析】由45°角联想到等腰直角三角形，以AC为直角边在第四象限构造等腰直角三角形，借助直角坐标系的直角构造“一线三等角”，求得等腰直角三角形第三个顶点的坐标，最后再利用等腰直角三角形斜边所在的直线与抛物线的交点求得Q点的坐标。

解：对于y=-x2+4x-3，令y=0，易得x1=1，x2=3;再令x=0，得y=-3，所以OA=1， OB=OC=3。

如图4，过点A作AD⊥AC，并且使AD=AC，连接CD，则△ACD为等腰直角三角形，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，直线CD交抛物线于点Q，则∠ACQ=45°，容易证明△DEA≌△AOC，所以DE=OA=1，AE=OC=3，不难得到点D的坐标为（4，-1），所以直线CD的表达式为y=[12]x-3。设Q（2n，n-3），因为点Q在抛物线 y=-x2+4x-3上，所以n-3=-（2n）2+4×2n-3，解得n1=[74]，n2=0（舍去），所以Q （[72]，[-54]）。

三、借助双垂图形，构建等腰直角三角形

例3 如图5，抛物线 y=[-12]x2+[32]x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。连接AC、BC，点P是抛物线在第四象限上的点，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA+45°时，求点P的坐标。

【思路分析】猜想∠ACB=90°，利用勾股定理的逆定理确认，继而得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系數法分别求出直线CE与PQ的函数表达式，再与抛物线的表达式联立，组成方程组，求解即可。

解：根据题意，得A（-1，0），B（4，0），C（0，2）。

因为AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=25，

所以AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°。

又因为∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，所以∠ACO=∠CBA。

如图6，在x轴的正半轴上取点E（2，0），连接CE，则OC=OE=2，所以∠OCE=45°，

所以∠ACE=∠ACO+∠OCE=∠CBA+45°=∠CAQ，所以CE∥PQ。

因为C（0，2），E（2，0），所以直线CE的表达式为y=-x+2，

设直线PQ的表达式为y=-x+n，把点

A（-1，0）代入，可得n=-1，

所以直线PQ的表达式为y=-x-1。

解方程组[y=-12x2+32x+2，y=-x-1，]

得[x1=-1，y1=0，][x2=6，y2=-7。]

因为点P是第四象限的点，所以点P的坐标是（6，-7）。

四、借助辅助圆，构建等腰直角三角形

例4 如图7，已知抛物线y=[-12]x2+bx+[72]过点A（3，2），点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标;若不存在，请说明理由。

【思路分析】如何利用条件“∠AQM=45°”是解决此题的关键。因为∠AQM的两边与坐标轴不平行，所以无法直接运用这个条件。我们联想到“化斜为直”，试着构造△AQM的外接圆，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，将45°的圆周角转化为90°的圆心角，得到一个直角边和坐标轴平行的、看起来令人舒服的等腰直角三角形，从而顺利打开思路，使问题迎刃而解。

解：将点A（3，2）代入y=[-12]x2+bx[+72]，得b=1，所以抛物线的表达式为y=[-12]x2+x[+72]，由此易得M（1，4）。

如图8，过点A作AH⊥抛物线的对称轴于H，因为A（3，2），所以AH=MH=2，则H（1，2）。

以点H为圆心，AH为半径作⊙H，因点H到y轴的距离为1，小于⊙H的半径2，所以⊙H与y轴相交，设其交点为Q，连接AQ、MQ、AM。

又因为∠AHM=90°，所以∠AQM=[12]∠AHM=45°。

因为△AQM外接圆的圆心为H，所以QH=HA=HM=2。

过点H作HN⊥y轴于H，设Q（0，t）。

在Rt△HNQ中，由勾股定理，得HN2+QN2=HQ2，则12+（2-t）2=22，解得t1=2[-3]，t2=2+[3]，

所以在y轴上存在点Q，使∠AQM=45°，其坐标为Q1（0，2-[3]）、Q2（0，2+[3]）。

（作者单位：江苏省东台市实验中学）