一道创新作图题的探究

操艳祥

创新作图即仅用无刻度直尺作图，顾名思义，直尺在我们作图时只能起到连线或延长线段的作用，不能有其他用途.无刻度直尺作图大致可分为两大类，有网格作图和无网格作图。网格作图要借助网格的特性，比如正方形网格与菱形网格都要抓住正方形或菱形的性质并借助图形的平移或旋转来帮助我们完成作图，无网格作图要抓住基本图形的性質或组合图形的特性来实现作图。

仙桃2021年中考数学的创新作图题，不仅创新的利用两个等边三角形组合来构图，而且在问题的设置上遵循着从特殊到一般的思考过程，这也是本题非常大的一个亮点.我将结合此题，谈谈我对创新作图的一点思考.

（2021仙桃）已知△ABC和△CDE都是正三角形，点B、C、D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.

（1）如图1，当BC=CD时，作△ABC的中线BF;

（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.

一、创新作图题要紧抓特殊图形的几何性质

对于第1小题，学生可以抓住四边形ABCE为菱形，连接AE，然后利用菱形的对角线互相垂直平分来确定AF=FC，则BF是所求中线。图略.

如果学生注意到BC=CE，∠BCA=∠ACE=60°，由等腰三角形的三线合一，可以直接连接BE，以此来找到所求的点F。

二、创新作图题要突出作法的开放性

对于第二问，我们可以先将图形补成一个大等边三角形，即延长BA、DE交于一点，这样图中就有三个等边三角形，一个平行四边形，我们可以充分利用这些图形的性质得到不同的作法.

方法一：如图4，连接AD，CM交于点N，连接BN交AC于G，则BG是所求，可通过全等知识来解释.

方法二：连接BE、CM，交于点H，连接DH交CE于点F，则点F为CE的中点，再连接AF，交CM于点Q，作射线EQ，与AC的交点就是所求的点G，理由是：CQ：QM=CF：AM=1：2，则CG：EM=CQ：QM=1：2，所以点G为AC的中点，如图5：

前面的两种方法应归为特殊型，我们可以找到更一般的方法.

我们给学生抛出这样的问题：如图6，DE∥AC，连接CD、AE，交于点N，作射线BN，交DE于点M，交AC于点F，求证：AF=CF，DM=EM.

由DE∥AC，则DM：AF=BD：AB=DE：AC=DN：NC=DM：FC，所以AF=FC，同理DM=ME，很显然我们只需要找到一组平行且不等的线段就能作出这组平行线段的中点。现在我们把这个图形称为基本图形.

我们首先抓住AC∥DE，就可以得到下列方法：

方法三：延长AE、BD交于点F，根据基本图形，连接AD交CE于点H，延长FH交AC于点G，连接BG，则BG就是所求，如图7：

利用CE∥AB，我们也可以得到其他作法，用兴趣的读者可以自行去探究。

三、创新作图题要具备后续探究的空间

一道好的创新作图题还要具有让人继续研究的空间，本题的拓展空间就很大。

变式一：条件不变，结论变。仅用无刻度直尺作出以BD为对称轴的轴对称图形.

变式二：条件变，结论不变。将等边△CDE绕点C旋转，使点E落在AC边上，仅用无刻度直尺作出AC边上的中线BM。

变式三：条件变，结论也变。将两个等边三角形均改为正方形，也可以设计出很好的练习题来。

当然，以上只是笔者结合此题对创新作图题的一点认识，欢迎大家与我共同交流。

参考文献：

[1]徐国纲《从基础中看变化从变化中见通法》

[2]（完整解法图形见微信公众号《初中数学与几何画板学习》）