基于最优矩阵的超声相控阵压缩感知波束形成

詹湘琳，薛 勇

（中国民航大学电子信息与自动化学院，天津 300300）

超声检测作为无损检测的重要分支，在航空航天、工业无损检测、医疗等领域发挥了重要作用[1]。近些年发展起来的超声相控阵相较于传统超声检测的超声相控阵具有波束灵活、检测速度快、分辨率高及适用于复杂工件等优点[2]，使得超声相控阵得到广泛应用，成为超声无损检测领域中的研究热点[3]。超声相控阵探头的多个阵元晶片发射信号，通过回波信号的波束形成最终实现偏转、线性扫查和聚焦等功能，极大简化了检测过程[4]。目前，随着工件体积过大，如在A350 客机中复合材料结构占比52%[5]，及检测工件全寿命周期获取了海量数据，推动故障检测进入了“大数据”时代[6]。因此，超声相控阵信号数据压缩成为超声相控阵检测中需要解决的问题。

小波变换是目前常用的超声相控阵数据压缩方法[7-8]，但小波变换法先采样后压缩的压缩过程使该方法必须遵循奈奎斯特采样定理。Covidan 等[9]、Candes等[10-11]及Donohod[12]提出的压缩感知理论（CS,compressed sensing），采用压缩采样的方法，以不受奈奎斯特采样定理限制的少量测量值实现信号的准确重构，在采样过程中实现了数据压缩。在压缩感知理论框架下，超声相控阵的信号压缩感知研究受到关注。杨晓霞等[7]将压缩感知应用在超声相控阵汽车发动机腐蚀检测系统中，并对腐蚀缺陷压缩采样信号进行B 扫描成像，结果表明压缩感知A 扫信号及图像重构具有较高精度。白志亮等[13]将压缩感知方法应用于超声相控阵缺陷检测中，可有效提高超声相控阵缺陷检测效率，并证明了压缩感知在超声相控阵无损检测信号中的可行性。上述研究虽然能减少超声相控阵测量的数据量，但并没有考虑测量矩阵的优化，从而影响了信号的压缩率和重构精度。如何优化测量矩阵、减小测量数并实现准确重构，是目前压缩感知研究的热点之一。Elad[14]提出一种相关性阈值迭代方法，通过对Gram 矩阵的相关性阈值迭代收缩得到理论上不相干性最优测量矩阵，有效减少测量数量并提高重构性能。郭俊锋等[15]将相关性阈值迭代法应用于振动信号的压缩感知中，提出一种最优型确定性测量矩阵，振动信号在欠采样情况下重建精度较高。超声信号与振动信号均为非平稳信号，具有相似性，因此，可参考振动信号测量矩阵的优化方法。

综上，为了构造相关性更好的测量矩阵，减小测量数量、提高重构精度，研究压缩感知对超声相控阵信号波束合成的影响，提出一种基于最优型测量矩阵的超声相控阵压缩感知信号波束合成方法。该方法通过提高测量矩阵与稀疏矩阵的不相干性和列独立性实现测量矩阵的优化，并通过单阵元回波压缩感知信号进行波束合成得到A 扫信号，研究基于最优型测量矩阵的压缩感知对于超声相控阵波束合成的有效性。

1 压缩感知基本理论

CS 主要分为信号稀疏表示、观测及重构3 个阶段，通过测量矩阵实现信号的欠采样，以稀疏矩阵和重构算法实现信号的重构，最终得到压缩感知信号。

信号为稀疏信号或在稀疏矩阵下具有稀疏性是信号压缩感知的前提。实际应用中大部分信号都不是稀疏信号，需在稀疏矩阵Ψ 下进行稀疏表示，信号稀疏表示的数学模型为

其中：ψi为稀疏矩阵Ψ 的列向量也称为原子，字典中原子长度为N，原子个数为K；x 为原始信号；α 为x在该空间下的稀疏系数。

若信号满足稀疏性条件，则可通过远小于信号长度N 的M 个测量值重构信号，表示为

其中：y 为信号x 的压缩采样；Φ 为测量矩阵。

实现压缩采样准确重构的先验条件是稀疏矩阵Ψ 与测量矩阵Φ 满足有限等距性质（RIP,restricted isometry property）[16]。如果

成立，定义参数δk为满足式（3）条件的δ 的最小值，其中，k 为x 的稀疏度，若δk＜1 则称测量矩阵Ψ 满足k阶RIP。

直接验证矩阵是否满足RIP 条件较为困难，常用RIP 的等价条件不相干性来验证是否满足RIP。为实现低测量数下准确重构信号，Φ 设计时需考虑与Ψ的不相干性。

若满足上述条件，则可实现低采样数重构信号。由于M＜N，求解y=Φx 时就成为欠定方程组的求解问题，这也使得x 有多组解。将式（1）代入式（2）得到

式中，D 为传感矩阵。这样求解欠定方程组的问题转变为求解最优化问题，即

式（5）求解是一个非凸的NP-hard 问题，通常采用正交匹配追踪法（OMP,orthogonal matching pursuit）作为超声压缩感知中的重构算法[17]。

2 CS 波束与最优型测量矩阵

2.1 CS 波束形成

超声相控阵信号压缩采集过程如图1所示，压缩感知方法通过信号压缩采样与信号重构两部分代替传统的等间距采样。在波束接收端通过测量矩阵对回波信号进行压缩感知，以低于奈奎斯特采样定理限制的测量数实现准确重构信号。最后，将压缩感知的单阵元信号通过叠加法则得到A 扫信号，在根本上减少信号测量数，得到更好的重构效果。

2.2 最优型测量矩阵设计

测量矩阵的好坏是实现信号低测量数准确重构的关键。如前所述，测量矩阵必须满足RIP 条件，但在实际应用中，验证测量矩阵是否满足RIP 条件较为困难，通常考虑RIP 的等价情况：测量矩阵与稀疏矩阵的不相干性。而测量矩阵的设计，需满足列向量组成子矩阵的最小奇异值要大于一个确定的常数[11]，即测量矩阵的列向量要具有一定的列独立性。因此，采用相关性阈值迭代方法对测量矩阵相干性进行优化，并通过QR分解方法提高其自身的列独立性，得到适用于超声相控阵回波信号的最优型测量矩阵。

图1 基于压缩感知的超声相控阵信号采集过程Fig.1 Ultrasonic phased array signal acquisition

相干性系数μ 是表示测量矩阵与稀疏矩阵相干性的量化标准，μ 越小代表不相干性越强，可表示为

其中：φj为测量矩阵Φ 的行向量；ψi为稀疏矩阵Ψ的列向量。相干性系数的取值范围为μ（Φ，Ψ）∈[1，N]。

为更清晰地描述矩阵间的关系，采用Gram 矩阵G 进行表示，其中，G=DTD，则Gram 矩阵的相干性系数为

其中，gij为Φ 和Ψ 不同列的内积。由式（7）可知，μ 反映了Gram 矩阵中非对角线元素的最大值，并不能反映出测量矩阵的平均性能，且直接优化减小μ 值较为困难。为此，提出了t-均值互相干系数μt，可表示为

μt代表了Gram 矩阵不小于阈值t 的非对角线上元素的模均值，相较于μ 只依据非对角线元素模的最大值，μt考虑了矩阵的整体情况，可更好地提高测量矩阵的性能下限。

对Gram 矩阵非对角线元素gij的更新表示为

其中，收缩因子γ 取值范围为（0，1）。将Gram 矩阵中绝对值大于t 的元素收缩，通过矩阵的均方根得到更新后的测量矩阵Φ，最后通过迭代得到不相干性理论最优Φ。相较于未优化之前，Φ 与Ψ 的不相干性有了一定提升，使得Φ 更好地满足RIP 条件，提高了信号重构效果。

矩阵的列独立性是判断测量矩阵设计好坏的重要标准[11]，但相干性阈值迭代方法仅考虑不相干性，并没有考虑到矩阵的列独立性。奇异值分解（SVD，singular value decomposition）是提高矩阵独立性的常用方法，矩阵的最小奇异值越大则矩阵的独立性越强。相较于SVD 的计算量大、计算时间较长，正交三角分解即QR 分解，不但计算量小，且可在不改变测量矩阵性质的前提下，提高其列独立性[18]。因此，将Φ 进一步通过QR 分解对列独立性进行优化，即

其中：Q 为正交矩阵；R 为上三角矩阵。由于R 的主对角线元素远大于非对角线元素，因此，仅保留R 的对角线元素，其他上三角元素均为0，重新计算Φ，得到最优型测量矩阵。优化后的Φ 收缩了奇异值分布区间，使得Φ 具有更强的列独立性。

3 实验与结果分析

3.1 超声相控阵数据采集

超声相控阵采用Olympus 生产的OMNI MX2 型号超声相控阵，L32-A11 型探头，具体参数信息如表1所示。

表1 超声相控阵探头参数Tab.1 Ultrasonic phased array probe parameters

试块采用32 层碳纤维复合材料，每层以[0°，+45°，-45°，90°，0°]的角度排列，其中，第16、17 层为90°，第32 层为0°；试块深度为5 mm，分层缺陷在第15 层2.5 mm 深度处；超声相控阵采用线性扫查模式；预先设定孔径阵元晶片数量为5，晶片步距为1。

扫描结果如图2所示，左侧区域为A 扫信号，其中的3 个峰值分别对应着表面回波、缺陷回波和底面回波，第9 号孔径对应的缺陷回波峰值最大且不同区域回波差异明显，故以第9 号至第13 号阵元组成的第9 号孔径回波作为实验所用回波。

3.2 不同测量矩阵重构结果对比

实验以DCT 作为稀疏基，OMP 作为重构算法。对信号进行幅值归一化处理，使得特征不受绝对幅值的影响，分别对每个阵元晶片回波在不同测量矩阵下，使用不同的压缩率进行压缩感知，压缩率表示为

图2 超声相控阵得到的A 扫信号与B 扫图像Fig.2 A-scan signal and B-scan image obtained by ultrasonic phased array

以重构误差作为评判重构效果的量化标准，重构误差表示为

表2 不同测量矩阵重构具体结果Tab.2 Reconstruction specific results of different measurement matrices

由于Toeplitz 矩阵和循环矩阵为确定型矩阵，易于硬件实现。但两者在重构效果上并不理想。当压缩率为60%时，重构误差高达80%左右，显然无法达到实际应用要求。图3更直观地表示最优型测量矩阵和随机型测量矩阵在不同压缩率下的重构效果。

从图3中可看出，最优型测量矩阵的重构效果优于两种随机型测量矩阵，在60%压缩率的情况下，重构误差仅为4.1%，而高斯矩阵和伯努利矩阵的重构误差分别为6.4%和5.5%。

3.3 压缩率选择

在压缩率较高时，会出现重构误差突然增加重构失败的情况（将重构误差小于10%的结果视为重构成功），重构失败的信号几乎无法使用。研究各阵元在压缩率为60%和65%的情况下重复100 次的重构成功率，结果如图4所示。

图3 不同测量矩阵重构结果Fig.3 Reconstruction results by different matrices

图4 各阵元在两种压缩率下重构成功率Fig.4 Reconstruction success rate of each element under two compression rates

当压缩率为65%时，各阵元晶片回波在重构中会出现一定概率的重构失败的情况。当压缩率为60%时，各阵元晶片回波几乎可100%成功重构，只有第3、27、28 号阵元回波中各出现一次失败重构。重构失败会在实际应用中产生较大影响，因此，压缩率应尽量保持在60%及以下。

3.4 不同波束形成的结果对比

为研究压缩感知方法对波束合成的影响，比较了线性扫查模式下单阵元压缩感知信号线性叠加的A扫信号（CS 波束合成）与直接对A 扫信号压缩感知（A扫CS）的重构误差，不同压缩率下重构误差如图5所示。

从图5中可看出：两种方法的重构误差随着压缩率增加而增加；在不同压缩率情况下，单阵元回波压缩感知波束合成结果均优于直接对A 扫信号压缩感知结果，当压缩率为60%时误差仅为2.978%，优于直接压缩的4.18%。

图5 压缩感知信号波束形成与A 扫信号压缩感知对比Fig.5 Compression sensing signal beamforming vs.A-scan signal compressed sensing

不同压缩率下两种方法的重构稳定性也不相同，以标准差作为判断重构效果稳定性的量化标准，两种方法的重构误差值和标准差如表3所示。

表3 CS 波束合成与A 扫CS 对比Tab.3 Compressed sensing signal beamforming vs.A-scan signal compressed sensing

从表3可看出：随着压缩率从40%～80%增长，单阵元CS 信号波束合成后的A 扫信号稳定性优于A 扫信号压缩感知；当压缩率为60%时，单阵元CS 信号波束合成的标准差仅为0.002 467，比同压缩率下A 扫CS 的标准差降低了63%。

3.5 图像重构

超声相控阵B 扫图像是超声无损检测的重要依据，通过最优型测量矩阵在不同压缩率下对B 扫图像进行压缩感知研究。以峰值信噪比（PSNR,peak signal to noise ratio）作为判断重构结果的量化标准，表示为

其中，MSE 为实验图像与压缩重构图像的均方误差。采样B 扫图像如图6所示，不同压缩率的B 扫压缩图如图7和图8所示。实验结果和A 扫重构结果类似：压缩率在60%时，PSNR=43.109 3，重构图像效果较好；当压缩率为70%时，PSNR=32.530 3，重构图像明显看到失真，无法达到要求。

图6 采样B 扫图Fig.6 Sampling B-scan image

图7 压缩率为60%B 扫图像Fig.7 B-scan image with 60%compression ratio

图8 压缩率为70%B 扫图像Fig.8 B-scan image with 70%compression ratio

4 结语

通过对超声相控阵信号压缩感知测量矩阵的优化，提出一种基于超声信号的最优型测量矩阵，并研究其在超声相控阵信号波束合成及图像重构上的效果。以碳纤维复合材料的分层缺陷信号进行实验，分别比较了最优型测量矩阵与传统的4 种测量矩阵的重构效果，结果显示最优型测量矩阵的重构效果明显优于其他4 种测量矩阵。通过对单阵元压缩感知信号线性叠加，验证压缩感知在波束合成下的效果，比较不同压缩率下单阵元重构成功率。结果显示对单阵元压缩感知信号波束合成A 扫信号的重构误差低于A扫压缩感知信号，且最优化测量矩阵在图像压缩感知方面，也可在60%压缩率下，准确实现图像重构。最优型测量矩阵和超声相控阵压缩感知波束合成方法具有一定的理论意义和应用价值，但最优化测量矩阵构造过程计算量大、计算时间长等问题及硬件实现还需进一步研究。