关于Euler函数φ(n)的一个四元变系数混合方程的解

张四保

(喀什大学数学与统计学院,新疆 喀什 844008)

Euler函数φ(n)是数论中一个重要的函数[1-2]，其性质在数论中占有非常重要的地位.包含Euler函数φ(n)的方程的研究内容众多，文献[3-6]讨论了形如φ(x1x2…xn)=k1φ(x1)+k2φ(x2)+…+knφ(xn)的线性方程整数解问题；文献[7-10]讨论了形如φ(x1x2…xn)=k1φ(x1)+k2φ(x2)+…+knφ(xn)+b的非线性方程整数解问题．文献[11]给出了三元变系数混合型方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+6φ(c)的全部95组正整数解；文献[12]给出了混合型方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+8φ(c)的全部95组正整数解.本文将讨论关于Euler函数φ(n)的一个四元变系数混合方程

φ(xyzw)=3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(w)

(1)

的正整数解，利用Euler函数φ(n)的计算公式以及初等方法给出了其一切正整数解．

1 定理及其证明

定理1方程(1)共有372组正整数解，并且其满足x≤y，z≤w的93组正整数解如下：(x，y，z，w)=(1，7，1，19)，(1，7，1，27)，(1，7，1，38)，(1，7，1，54)，(1，7，2，19)，(1，7，2，27)，(1，9，1，19)，(1，9，1，38)，(1，9，2，19)，(1，14，1，19)，(1，14，1，27)，(1，18，1，19)，(2，7，1，19)，(2，7，1，27)，(2，9，1，19)，(1，15，1，16)，(1，16，1，15)，(3，5，1，16)，(1，16，3，5)，(1，11，1，7)，(1，11，1，9)，(1，11，1，14)，(1，11，1，18)，(1，11，2，7)，(1，11，2，9)，(1，22，1，7)，(1，22，1，9)，(2，11，1，7)，(2，11，1，9)，(1，25，1，8)，(1，25，1，12)，(1，33，1，5)，(1，33，1，8)，(1，33，1，10)，(1，33，2，5)，(1，44，1，5)，(1，66，1，5)，(2，33，1，5)，(1，25，3，4)，(3，11，1，5)，(3，11，1，8)，(3，11，1，10)，(3，11，2，5)，(3，22，1，5)，(4，11，1，5)，(1，5，2，8)，(1，5，2，12)，(1，8，1，8)，(1，8，1，10)，(1，8，1，12)，(1，8，2，5)，(1，10，1，8)，(1，10，1，12)，(1，12，1，8)，(1，12，1，10)，(1，12，2，5)，(2，5，1，8)，(2，5，1，12)，(2，8，1，5)，(2，12，1，5)，(1，5，4，4)，(1，5，4，6)，(1，8，3，4)，(1，10，3，4)，(2，5，3，4)，(3，4，1，8)，(3，4，1，10)，(3，4，2，5)，(4，4，1，5)，(4，6，1，5)，(1，11，2，4)，(1，11，2，6)，(1，22，1，4)，(1，22，1，6)，(1，22，2，3)，(2，11，1，4)，(2，11，1，6)，(2，11，2，3)，(2，22，1，3)，(1，3，2，18)，(1，6，1，18)，(1，6，2，9)，(2，3，1，18)，(2，3，2，9)，(2，6，1，9)，(1，4，2，4)，(1，4，2，6)，(1，6，2，4)，(2，3，2，4)，(2，4，1，4)，(2，4，1，6)，(2，4，2，3)，(2，6，1，4)．

证明由于n≥φ(n)，则有

3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(w))≤

8φ(x)φ(y)φ(z)φ(w)，

进而有

F(x，y，z，w)=

说明由于当n≥3时，有φ(n)为偶数，因而下文在讨论的过程中，若φ(x)φ(y)或φ(z)φ(w)为大于1的奇数的情况都不予考虑．

情况1当F(x，y，z，w)=1时.

此时，有(xy，zw)=1，(x，y)=(z，w)=1，由方程(1)有φ(x)φ(y)φ(z)φ(w)=3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(w)，则有

因而有φ(x)φ(y)=6，φ(z)φ(w)=18；φ(x)φ(y)=8，φ(z)φ(w)=8；φ(x)φ(y)=10，φ(z)φ(w)=6；φ(x)φ(y)=20，φ(z)φ(w)=4．

情况1.1当φ(x)φ(y)=6，φ(z)φ(w)=18时，有φ(x)=1，φ(y)=6，φ(z)=1，φ(w)=18；φ(x)=1，φ(y)=6，φ(z)=18，φ(w)=1；φ(x)=6，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=18；φ(x)=6，φ(y)=1，φ(z)=18，φ(w)=1．

当φ(x)=1，φ(y)=6，φ(z)=1，φ(w)=18，此时有x=1，2，y=7，9，14，18，z=1，2，w=19，27，38，54，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，7，1，19)，(1，7，1，27)，(1，7，1，38)，(1，7，1，54)，(1，7，2，19)，(1，7，2，27)，(1，9，1，19)，(1，9，1，38)，(1，9，2，19)，(1，14，1，19)，(1，14，1，27)，(1，18，1，19)，(2，7，1，19)，(2，7，1，27)，(2，9，1，19)．

在方程(1)中，x与y具有对称性，z与w具有对称性，由对称性可知当φ(x)=1，φ(y)=6，φ(z)=18，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，7，19，1)，(1，7，27，1)，(1，7，38，1)，(1，7，54，1)，(1，7，19，2)，(1，7，27，2)，(1，9，19，1)，(1，9，38，1)，(1，9，19，2)，(1，14，19，1)，(1，14，27，1)，(1，18，19，1)，(2，7，19，1)，(2，7，27，1)，(2，9，19，1)；当φ(x)=6，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=18时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(7，1，1，19)，(7，1，1，27)，(7，1，1，38)，(7，1，1，54)，(7，1，2，19)，(7，1，2，27)，(9，1，1，19)，(9，1，1，38)，(9，1，2，19)，(14，1，1，19)，(14，1，1，27)，(18，1，1，19)，(7，2，1，19)，(7，2，1，27)，(9，2，1，19)；当φ(x)=6，φ(y)=1，φ(z)=18，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(7，1，19，1)，(7，1，27，1)，(7，1，38，1)，(7，1，54，1)，(7，1，19，2)，(7，1，27，2)，(9，1，19，1)，(9，1，38，1)，(9，1，19，2)，(14，1，19，1)，(14，1，27，1)，(18，1，19，1)，(7，2，19，1)，(7，2，27，1)，(9，2，19，1)．

情况1.2当φ(x)φ(y)=8，φ(z)φ(w)=8时，有φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=1，φ(w)=8；φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=8，φ(w)=1；φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=8；φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=8，φ(w)=1；φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=1，φ(w)=8；φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=8，φ(w)=1；φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=8；φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=8，φ(w)=1；φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=2，φ(w)=4；φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=4，φ(w)=2；φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=4；φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=2；φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=2，φ(w)=4；φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=4，φ(w)=2；φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=4；φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=2．

当φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=1，φ(w)=8时，有x=1，2，y=w=15，16，20，24，30，z=1，2，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，15，1，16)，(1，16，1，15).由对称性可得当φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=8，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，15，16，1)，(1，16，15，1)；当φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=8时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(15，1，1，16)，(16，1，1，15)；当φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=8，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(15，1，16，1)，(16，1，15，1)．

当φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=1，φ(w)=8时，有x=3，4，6，y=5，8，10，12，z=1，2，w=15，16，20，24，30，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，5，1，16).由对称性可得当φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=8，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，5，16，1)；当φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=8时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，3，1，16)；当φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=8，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，3，16，1)．

当φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=2，φ(w)=4时，有x=1，2，y=15，16，20，24，30，z=3，4，6，w=5，8，10，12，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，16，3，5).由对称性可得当φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=4，φ(w)=2时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，16，5，3)；当φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=4时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(16，1，3，5)；当φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=2时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(16，1，5，3)；

当φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=2，φ(w)=4时，有x=z=3，4，6，y=w=5，8，10，12，此时方程(1)无正整数解.由对称性可得当φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=4，φ(w)=2与φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=4与φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=2时，方程(1)无正整数解．

情况1.3当φ(x)φ(y)=10，φ(z)φ(w)=6时，有φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=6；φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=6，φ(w)=1；φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=6；φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=6，φ(w)=1．

当φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=6时，有x=1，2，y=11，22，z=1，2，w=7，9，14，18，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，11，1，7)，(1，11，1，9)，(1，11，1，14)，(1，11，1，18)，(1，11，2，7)，(1，11，2，9)，(1，22，1，7)，(1，22，1，9)，(2，11，1，7)，(2，11，1，9).由对称性可得当φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=6，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，11，7，1)，(1，11，9，1)，(1，11，14，1)，(1，11，18，1)，(1，11，7，2)，(1，11，9，2)，(1，22，7，1)，(1，22，9，1)，(2，11，7，1)，(2，11，9，1)；当φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=6时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，1，1，7)，(11，1，1，9)，(11，1，1，14)，(11，1，1，18)，(11，1，2，7)，(11，1，2，9)，(22，1，1，7)，(22，1，1，9)，(11，2，1，7)，(11，2，1，9)；当φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=6，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，1，7，1)，(11，1，9，1)，(11，1，14，1)，(11，1，18，1)，(11，1，7，2)，(11，1，9，2)，(22，1，7，1)，(22，1，9，1)，(11，2，7，1)，(11，2，9，1)．

情况1.4当φ(x)φ(y)=20，φ(z)φ(w)=4时，有φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=2．

当φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=1，φ(w)=4时，有x=1，2，y=25，33，44，50，66，z=1，2，w=5，8，10，12，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，25，1，8)，(1，25，1，12)，(1，33，1，5)，(1，33，1，8)，(1，33，1，10)，(1，33，2，5)，(1，44，1，5)，(1，66，1，5)，(2，33，1，5).由对称性可得当φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=4，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，25，8，1)，(1，25，12，1)，(1，33，5，1)，(1，33，8，1)，(1，33，10，1)，(1，33，5，2)，(1，44，5，1)，(1，66，5，1)，(2，33，5，1)；当φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=4时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(25，1，1，8)，(25，1，1，12)，(33，1，1，5)，(33，1，1，8)，(33，1，1，10)，(33，1，2，5)，(44，1，1，5)，(66，1，1，5)，(33，2，1，5)；当φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(25，1，8，1)，(25，1，12，1)，(33，1，5，1)，(33，1，8，1)，(33，1，10，1)，(33，1，5，2)，(44，1，5，1)，(66，1，5，1)，(33，2，5，1)．

当φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=2，φ(w)=2时，有x=1，2，y=25，33，44，50，66，z=w=3，4，6，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，25，3，4)，(1，25，4，3).由对称性可得当φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=2时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(25，1，3，4)，(25，1，4，3)．

当φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=4时，有x=3，4，6，y=11，22，z=1，2，w=5，8，10，12，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，11，1，5)，(3，11，1，8)，(3，11，1，10)，(3，11，2，5)，(3，22，1，5)，(4，11，1，5)，(6，11，1，5).由对称性可得当φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=4，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，11，5，1)，(3，11，8，1)，(3，11，10，1)，(3，11，5，2)，(3，22，5，1)，(4，11，5，1)，(6，11，5，1)；当φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=4时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，3，1，5)，(11，3，1，8)，(11，3，1，10)，(11，3，2，5)，(22，3，1，5)，(11，4，1，5)，(11，6，1，5)；当φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，3，5，1)，(11，3，8，1)，(11，3，10，1)，(11，3，5，2)，(22，3，5，1)，(11，4，5，1)，(11，6，5，1)．

当φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=2，φ(w)=2时，有x=z=w=3，4，6，y=11，22，此时方程(1)无正整数解解.由对称性可得当φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=2时，方程(1)无正整数解．

情况2当F(x，y，z，w)=2时.

情况2.1当φ(x)φ(y)=4，φ(z)φ(w)=4时，有φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=2．

当φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=1，φ(w)=4时，有x=z=1，2，y=w=5，8，10，12，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，5，2，8)，(1，5，2，12)，(1，8，1，8)，(1，8，1，10)，(1，8，1，12)，(1，8，2，5)，(1，10，1，8)，(1，10，1，12)，(1，12，1，8)，(1，12，1，10)，(1，12，2，5)，(2，5，1，8)，(2，5，1，12)，(2，8，1，5)，(2，12，1，5).由对称性可得当φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=4，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，5，8，2)，(1，5，12，2)，(1，8，8，1)，(1，8，10，1)，(1，8，12，1)，(1，8，5，2)，(1，10，8，1)，(1，10，12，1)，(1，12，8，1)，(1，12，10，1)，(1，12，5，2)，(2，5，8，1)，(2，5，12，1)，(2，8，5，1)，(2，12，5，1)；当φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=4时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，1，2，8)，(5，1，2，12)，(8，1，1，8)，(8，1，1，10)，(8，1，1，12)，(8，1，2，5)，(10，1，1，8)，(10，1，1，12)，(12，1，1，8)，(12，1，1，10)，(12，1，2，5)，(5，2，1，8)，(5，2，1，12)，(8，2，1，5)，(12，2，1，5)；当φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，1，8，2)，(5，1，12，2)，(8，1，8，1)，(8，1，10，1)，(8，1，12，1)，(8，1，5，2)，(10，1，8，1)，(10，1，12，1)，(12，1，8，1)，(12，1，10，1)，(12，1，5，2)，(5，2，8，1)，(5，2，12，1)，(8，2，5，1)，(12，2，5，1)．

当φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=2，φ(w)=2时，有x=1，2，y=5，8，10，12，z=w=3，4，6，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，5，4，4)，(1，5，4，6)，(1，5，6，4)，(1，8，3，4)，(1，8，4，3)，(1，10，3，4)，(1，10，4，3)，(2，5，3，4)，(2，5，4，3).由对称性可得当φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=2时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，1，4，4)，(5，1，4，6)，(5，1，6，4)，(8，1，3，4)，(8，1，4，3)，(10，1，3，4)，(10，1，4，3)，(5，2，3，4)，(5，2，4，3)．

当φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=4时，有x=y=3，4，6，z=1，2，w=5，8，10，12，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，4，1，8)，(3，4，1，10)，(3，4，2，5)，(4，3，1，8)，(4，3，1，10)，(4，3，2，5)，(4，4，1，5)，(4，6，1，5)，(6，4，1，5).由对称性可得当φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，4，8，1)，(3，4，10，1)，(3，4，5，2)，(4，3，8，1)，(4，3，10，1)，(4，3，5，2)，(4，4，5，1)，(4，6，5，1)，(6，4，5，1)．

当φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=2时，有x=y=z=w=3，4，6，此时方程(1)无解．

情况2.2当φ(x)φ(y)=10，φ(z)φ(w)=2时，有φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=2；φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=2，φ(w)=1；φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=2；φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=1．

当φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=2时，有x=z=1，2，y=11，22，w=3，4，6，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，11，2，4)，(1，11，2，6)，(1，22，1，4)，(1，22，1，6)，(1，22，2，3)，(2，11，1，4)，(2，11，1，6)，(2，11，2，3)，(2，22，1，3).由对称性可得当φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=2，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，11，4，2)，(1，11，6，2)，(1，22，4，1)，(1，22，6，1)，(1，22，3，2)，(2，11，4，1)，(2，11，6，1)，(2，11，3，2)，(2，22，3，1)；当φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=2时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，1，2，4)，(11，1，2，6)，(22，1，1，4)，(22，1，1，6)，(22，1，2，3)，(11，2，1，4)，(11，2，1，6)，(11，2，2，3)，(22，2，1，3)；当φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，1，4，2)，(11，1，6，2)，(22，1，4，1)，(22，1，6，1)，(22，1，3，2)，(11，2，4，1)，(11，2，6，1)，(11，2，3，2)，(22，2，3，1)．

情况3当F(x，y，z，w)=3时.

当φ(x)=1，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=6时，有x=z=1，2，y=3，4，6，w=7，9，14，18，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，3，2，18)，(1，6，1，18)，(1，6，2，9)，(2，3，1，18)，(2，3，2，9)，(2，6，1，9).由对称性可得当φ(x)=1，φ(y)=2，φ(z)=6，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，3，18，2)，(1，6，18，1)，(1，6，9，2)，(2，3，18，1)，(2，3，9，2)，(2，6，9，1)；当φ(x)=2，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=6时,方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，1，2，18)，(6，1，1，18)，(6，1，2，9)，(3，2，1，18)，(3，2，2，9)，(6，2，1，9)；当φ(x)=2，φ(y)=1，φ(z)=6，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，1，18，2)，(6，1，18，1)，(6，1，9，2)，(3，2，18，1)，(3，2，9，2)，(6，2，9，1)．

情况4当F(x，y，z，w)=4时.

当φ(x)=1，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=2时，有x=z=1，2，y=w=3，4，6，此时方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，4，2，4)，(1，4，2，6)，(1，6，2，4)，(2，3，2，4)，(2，4，1，4)，(2，4，1，6)，(2，4，2，3)，(2，6，1，4).由对称性可得当φ(x)=1，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，4，4，2)，(1，4，6，2)，(1，6，4，2)，(2，3，4，2)，(2，4，4，1)，(2，4，6，1)，(2，4，3，2)，(2，6，4，1)；当φ(x)=2，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=2时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(4，1，2，4)，(4，1，2，6)，(6，1，2，4)，(3，2，2，4)，(4，2，1，4)，(4，2，1，6)，(4，2，2，3)，(6，2，1，4)；当φ(x)=2，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=1时，方程(1)有解(x，y，z，w)=(4，1，4，2)，(4，1，6，2)，(6，1，4，2)，(3，2，4，2)，(4，2，4，1)，(4，2，6，1)，(4，2，3，2)，(6，2，4，1)．

情况5当F(x，y，z，w)=5时.

情况6当F(x，y，z，w)=6时.

情况7当F(x，y，z，w)=7时.

情况8当F(x，y，z，w)=8时.

综合以上所有讨论的情况，可得定理1.证毕．

2 结语

本文讨论了形如

φ(x1x2…xn)=k1φ(x1)φ(x2)…krφ(xr)+

k2φ(xr+1)φ(xr+2)…φ(xn)

的变系数方程的一个具体的四元变系数方程φ(xyzw)=3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(w)的正整数解，得到了该方程有372组正整数解.对于形如

φ(x1x2…xn)=k1φ(x1)φ(x2)…krφ(xr)+

k2φ(xr+1)φ(xr+2)…φ(xn)

的方程，当n，k1，k2，r为某一组正整数时，其所确定的方程亦可采用本文的讨论方式进行讨论求解．