p-adic数域上的小波集和谱集

买买提艾力·喀迪尔

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844000)

1 预备知识

(v∈，an∈{0，1，…，p-1}，av≠0).

令χ(x)∶=e2πi{x}是p上的一个加法特征，设是一个Borel集，且0

这里1Ω表示集合Ω的示性函数．

令M⊂GL(d，p)是p上的非奇异(d×d)矩阵所组成的集合，如果{M(Ω):M∈M}构成的一个划分(除了零测集外)，则说集合Ω通过M乘积乘积tile等价于

谱集猜想:一个具有正有限Lebesgue测度的Borel集Ω⊂d是一个谱集当且仅当它是一个平移tile．

谱集猜想困惑了数学家们30年，直到2004年菲尔兹奖得主陶哲轩[2]在维数大于等于5的时候构造了一个反例说明谱集未必是tile.现在这些反例的维数降低到d≥3[3-4].至今，谱集猜想在一维或者二维空间上是否成立还不清楚.在任何局部紧的Able群上可以考虑谱集猜想.最近，范爱华等已证明谱集猜想在p-adic数域p上成立[5-6]，在高维p-adic空间上的笛卡尔积中和局部域上的向量空间上考虑了谱集猜想[7-10]，这一猜想在有限域Fp上的2-维向量空间上也成立[11]．

{φM，t(x):M∈M，t∈T}

2 主要定理的证明

证明设t∈T，M∈M，取Fourier变换，利用变量替换，对任意ξ∈有

根据等式1Ω(M*x)=1MT(Ω)(x)，引理的第二部分也成立．

引理2设t∈T，M⊂GL(d，p)，函数族

{φM，t(x):M∈M，t∈T}

(1)

对任意M1≠M2∈M，有

3 结论

本文主要讨论了p-adic数域p上的小波理论及其有关的概念，得到了d-维p-adic空间上的具有正有限Haar测度的可测集合成为小波集的一个充分必要条件.这个条件由乘积tile和谱集来给出的.此结果将欧氏空间d上的结果推广到非阿基米德空间上去.