点的两类定义下的运动与变形分析

李宏德

（郑州工程技术学院机电与车辆工程学院，郑州 450044）

“点”是一个抽象模型，在刚体力学和变形体力学中的含义有明显不同. 同时，力学中许多概念如关于点的运动、应力、应变的定义均是基于点来表述的. 文献［1-3］中文章分析了点的两类定义，对两类定义作了对比研究，进而辨析了点的运动、应力、应变等问题.

1 点的概念

关于点，围绕形状和大小，有两种类型的定义，一类是大小为0 的几何点（几何存在），另一类是大小为非0 无穷小的微元. 要弄清点的这些不同特性，需要辨清“0”和“无穷小”两个相关概念，并分析其与点的关系.

1.1 0与点的第一类定义

1.1.1 0的认知 要认知“点的大小为0”，需分析0的性质.

前十个自然数中，0出现最晚. 0始于古印度，印度大乘佛教中有“一切皆空”、“绝对无”、“空无”这样的宗义，被认为具有发明0的思想基础. 早期的0不具有数值意义，仅用作占位符号，用于标识位置. 印度数学家婆什伽罗第一个用圆圈表示零. 婆罗摩笈多第一个把零作为数字进行描述，给零以量的含义，并描述了零的算术性质［4-6］.

在量的意义上，0是最小的自然数，有确切的数值含义，是正负数的界标，在数轴上或坐标系上具有确切的位置. 汉语中与0在量的语义上相近的“零”，就有表示没有数量的意思，印度-阿拉伯数字中，0也表示“没有”，并作为独立的数字参与运算. 而在几何上，0不具有与之对应的几何图形，这应理解为0是没有形状概念的［7］.

可见，起初0仅用作占位符号，具有标识位置的意思. 之后，作为数字的0，其数值意义是“无”.

1.1.2 点的第一类定义 在此，把大小为0的点作为点的第一类定义. 在几何上是无形状的几何存在.

点的基本解释为数学上指没有长宽高而只有位置的不可分割的几何图形. 文献［8］可以理解为点具有这样的性质，一是无大小，二是无形状，三是存在且具有位置. 较早的关于点的学术性定义是源于欧几里得的《几何原本》：“点是没有部分的东西”. 没有部分，即不可分成两部分，或不可再分为更小的东西［9］. 引申认为点是没有大小的，或说点的大小为0. 数学家丹尼·亨利翁注释点是“没有长度、没有宽度、没有高度的几何形状”. 文献［9］中德国数学家戴维·希尔伯特在《几何基础》中没有给出点的定义，把点、直线和平面作为不加定义的基本概念. 但点的属性仍是无大小、不可分的. 文献［10］二维欧氏空间中，点可表示为一组有序数对；笛卡尔坐标系中，点可以精确定义位置；微积分定义空间的点是一个0维的对象. 物理学和刚体力学对质点（点）的定义大致相同，认为点是没有大小和形状，但具有物体的全部质量. 忽略物体的大小和形状，而将其抽象为一个有质量而无大小和形状的几何点. 可以进一步认知微元ΔV上的内力对ΔV内任一点的力矩都等于0［11-13］.

可见，点是没有形状的几何存在；点的大小等于0. 应明确，此点其大小是0而不是无穷小. 就点的运动分析而言，点是浓缩的点或整体被视为点，即把有限浓缩于0，是没有部分的.

1.2 无穷小与点的第二类定义

1.2.1 无穷小 极限是指不可逾越的数值，它是一个无限的变化过程，是变量的归宿. 无穷小是一个以0为极限的函数，也是一个变化过程，它的归宿是0. 文献［14］中从0 到无穷小的跃迁体现了从无到有的质变. 微积分中定义，如果函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时为无穷小［15-16］.

可见，无穷小是以0为极限的；它不是0；它比任意给定的数都要小，需要多小就有多小. 应明确，无穷小不是很小很小的数；极限和无穷小都不能作为静止的量来对待.

1.2.2 点的第二类定义 在此，把大小为非0无穷小的点作为点的第二类定义. 在几何上是一个微元.

微积分中，从邻域的概念来认知点. 邻域是这样一种集合，设a、δ 是实数且δ＞0，定义点a的δ 邻域，记作U(a,δ)，为下列集合：U(a,δ)={x || x-a |＜δ }. 文献［14］进一步设想，如δ是任意给定的极小正数，其小的程度没有限制，那么，这个邻域的极限就用来表述点. 还可以从空间向量上认知点，它是一个0维的向量空间.变形体力学认为，围绕一个点取微元（一维、二维或三维），当描述该微元的尺度从对应方向上都趋于无穷小时，微元即视为点. 文献［17］可以进一步引申，微元ΔV上的内力对ΔV内任一点的力矩一般都不等于0，只是力矩很小.

可见，这里的点是没有确切形状的微元，或者说可以取任意形状；点的大小不是0. 就应力应变分析而言，点是取出的实际点或实际单元，是没有被缩胀的点，点的应力应变分析是在从整体上取出的一个点上进行的，是整体中的部分.

2 点的运动——基于0的点的运动

点的运动是基于点的第一类定义的. 在此，点是大小为0的几何存在. 研究这类点的几何位置随时间变化的规律，描述运动的参数只有线运动量没有角运动量. 反映在运动轨迹上是直线的或曲线的；反映在速度上是线速度，而无角速度；反映在加速度上是切向加速度和法向加速度，而无角加速度.

对于点的合成运动，绝对运动和相对运动是点分别相对于定系和动系的运动，两者都是点的运动，应遵从点的运动特征和运动规律，分析运动的参数只能用表征点的运动的参数来表述. 牵连运动是动系相对于定系的运动，是刚体运动而非点的运动，分析运动的参数只能用表征刚体运动的参数来表述，其可能的运动形式是平移、转动或其他较复杂的刚体运动. 进一步推及到刚体的平面运动，在引入基点的定义之后，刚体平面运动则分解为随基点的平移和绕基点的转动，刚体平移按点的运动来分析，绕基点的转动则按刚体瞬时的定轴转动来分析.

3 点的应力应变——基于无穷小的点的应力应变

应力应变分析是基于点的第二类定义的. 在此，点是大小为非0无穷小的微元.

3.1 点的应力

图1 微面积及其内力Fig.1 Micro-area and its internal forces

图2 点的正应力和切应力Fig.2 The normal stress and shearing stress at a point

3.2 点的切应变

物体受力变形，体内各点处的变形并不相同，其变形程度由线应变ε 和切应变γ 来度量.

切应变γ 指两条正交线段的夹角的改变量，定义γ为点在x-y平面内的切应变. 先分析平面的存在，根据几何学，两条相交线段组成平面，切应变即反映这两条正交线段夹角的改变情况，它发生在由这两条正交直线组成的平面内. 该平面其大小为非0的无穷小，在几何上就是一个微面积，应从该面上来分析直角的改变量. 同理，从点的视角分析切应变，当两条正交线段的长度趋近于0时，该平面的大小以0为极限，平面趋近于点. 所以，切应变是以点度量的.

切应变是由切应力引起的，切应力互等定理决定切应力的作用方式. 相邻的正交面上的切应力不能单独存在，是成对生成并作用的，实际上是两对满足互等定理的切应力在共同产生作用，在这两对切应力作用的相关平面上，产生对应的切应变. 所以，切应变不是某一个切应力单独作用的结果，而是互等定理构架内的所有切应力共同作用的结果，如图3所示.

图3 点的切应力与切应变Fig.3 The shearing stress and shearing strain of point

4 结论

文章辨析了基于0和基于无穷小的关于点的两类定义的具体差异，并基于点的不同定义，深入分析点的运动、点的应变等问题，为准确认知相关概念提供借鉴.