高职数学中定积分概念拓展的课堂实践——以高职电类专业为例

谭洁琦 许霞

（湖南生物机电职业技术学院，湖南 长沙 410127）

定积分概念是微积分中的一个重要概念，通常借用求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，通过“分割、近似代替、求和、取极限”几个步骤，类比构建出定积分概念，然后告诉学生定积分是一种特殊的和式极限。这样看式把定积分概念讲授清楚了，其实学生们对这种抽象概念的理解仅停留在表面上，缺乏应用知识的能力，更谈不上为专业服务。本文以高职电类专业为例，在讲授完定积分概念后，进行了概念拓展实践，实践主要从下面几个环节展开，其中第四个环节的“案例研究”例题是启发于学生的作品求助，源于学生专业课本。

一、概念回顾

概念回顾的目的是剥离背景，形成思想。我们从曲边梯形的面积、变速直线运动的路程类比构建出的定积分的概念---特殊和式极限，“分割、近似代替、求和、取极限”分别蕴含着四个思想。在具体实践中，引领学生探讨为什么要“分割”，分割的思想是什么……，具体流程见图1。

二、问题剖析

剥离背景，形成思想后，接下来引导学生剖析“能用定积分来表示的量具有什么样的特征？”，这一步主要目的是培养学生对这个“量”的是非判断，为学生自己能找寻到这样的量打好基础。通过师生共同努力，可以归纳出三个特点：这样的量和函数的自变量变化区间相关，这样的量在区间上是可以相加的，这样的量在任意子区间上其部分量可以表示成特定乘积形式。

（一）作品展示

学生们有了对能用定积分来表示的量的判断尺度，说明其基本上具有定积概念的应用能力。为了巩固这一应用能力，要求以组为单位例举能用定积分表示的量，并写出定积分表达式，形成作品展示，在这例举出三个组的作品（图2-4）。

在学生介绍各组作品以及教师点评中，学生思考问题积极，氛围热烈，老师收获也不小。尤其是作品3，学生介绍：这个图来源于电工课本第49 页图3.8，我们知道直流电中功率Q=UI=IR2，一个周期内流过电阻的热量可以表示成Q=I2RT；而在交流电中，功率是变化的，就是图中所给出的P-t 图象，图中阴影部分的面积应该就是流过电阻的热量，因此一个周期内这个热量可以用定积分表示：。同时，他也提出疑问：当初专业课老师在讲功率问题时，只说是提示借助微积分中的定积分得出来的，功率图象具体怎么得到的，不明白。针对学生提出的这个问题，作者给出了类似问题的案例研究，也就是下面这个环节。

（二）案例研究

这个案例源于学生电工课本，主题是交流电中的功率问题：设流过电阻R 的正弦交流电为，则由倍角公式，可以得到

由三角函数图象关系，不难得到P-t 图象（图5）。通过这个图，学生很快明白图中所围成的面积就是交流电流通过电阻所产生的热量，而且容易写出

通过图象的讲解以及定积分的表示，学生们可发现图5 其实就是图4 中2 个图象的合并。为激发学生进一步感受到数学为专业的服务，可告诉学生：如果通过后续的定积分计算的学习，在讨论交流电的有效值，我们很容易得出同学们专业课中讲的那个根号2。

（三）自我诊断

通过在高职电类专业学生中开展定积分概念拓展的课堂实践，师生收获颇丰。课堂中遵循“教师为主导，学生为主体”的原则，极大化激发了学生思考问题的积极性，达到了既让学生掌握定积分概念，又培养学生应用知识能力的目的。问渠哪得清如许，唯有源头活水来，愿同广大高职教育工作者共同探讨实践这项活动，为社会主义现代化建设第一线输送更多、更好的人才。