HPM背景下的小初数学衔接教学设计研究

孙博

【摘要】教师在数学教学中通过引入数学发展史中一些数学家的典故，巧妙地将故事中比较抽象的问题简化为书面的笔画（类似几何）问题，更能激发学生在课堂中的学习兴趣，通过简化问题，由浅入深，更能使学生容易理解数学中的抽象概念，在教学中能起到一定的积极作用.

【关键词】HPM;小初数学衔接;图形初论

一、引 言

HPM（History & Pedagogy of Mathematics）在数学教学中的作用日益凸显，它对了解数学思想方法的形成过程，掌握知识的来龙去脉，在激发学生学习数学的兴趣方面起着至关重要的作用.数学史在教学中的应用对学生的人格成长有启发作用.当然，仅靠一个数学故事或者一本数学家传记就造就一位数学家，那是不现实的.但数学家的奋斗经历对学生人格成长的正面启发作用是不可否认的.充分运用数学史的教育功能，会从侧面对学生的人格的培养产生重要的影响.

数学的公式、定理绝不是天外来客，其有诞生背景，有曲折的发展和完善的过程.教科书中抽象的文字，远远不能完全展现并让学生感知它背后的丰富内涵.那么在教学过程中，教师如何引导学生理解它们的产生和发展过程，如何让学生体会数学家们曾经遇到过的困惑，又如何通过学习让学生正确看待自己，避免因为遭遇困难而丧失信心.本文就以一节小初数学衔接课“一笔画”为例，展示利用HPM如何巧妙引入新知识并由浅入深地使学生理解，而并不是强加给学生，从而凸显其必要性，进而激发学生的学习兴趣和学习意愿.

二、史料选择

看过《图论趣谈——七桥问题和周游世界问题》一文的人，一定会被世界级数学大师欧拉的聪明才智和卓越的贡献所折服.其实，欧拉的贡献远不只如此.他对数学的研究非常广泛，在许多数学的分支中都能见到他的名字，并且，他还把数学推至几乎整个物理领域.值得一提的是，欧拉虽然主要从事数学科学研究工作，但是他对数学教育方面的影响深远，以下几点，值得教师借鉴：

首先，身体力行，编写普及教材和通俗读物，发表关于数学游戏的文章，激发读者学习数学的兴趣.

其次，注重对数学概念的理解和对数学知识系统性的学习，更注重数学的实际应用.他的文章把高深的知识深入浅出地表现出来，严密又利于理解.

再次，大力推行数学符号和规则化学习.如用R和r分别表示外接圆和内切圆半径;用a，b，c表示三角形三边等.

最后，积极创造条件扶植后学，关心青年数学家的教育和成长.如，拉格朗日与欧拉通信讨论“等周问题”的一般解法，欧拉盛赞他的成就，并压下自己同一问题的论文，使拉格朗日一举成名.

三、教学过程

（一）一笔画的认识——欧拉与哥尼斯堡七桥问题

1.引出欧拉

你都知道哪些数学家？说出他的名字，想好了，站起来就可以说.

（学生在课前已经查找资料，能逐一说出数学家的名字）

如果有学生提到欧拉，教师可以请這名学生介绍，如果没有学生提到，教师就向大家介绍（PPT出示欧拉图片及其生平简介）.

2.教师根据实际情况提出格尼斯堡七桥问题

18世纪的德国有个城市叫格尼斯堡（现俄罗斯加里宁格勒）.城里有七座桥连接大河两岸以及河心的两个小岛.一个有趣的问题是一个人一次能既不重复又不遗漏地经过这七座桥并回到出发点.这个问题看似不难，而且很有趣，一时间成千上万的市民和游客都想尝试解决这一问题.可是一段时间过后，大家似乎都找不到正确的答案，甚至有些人想用最直接的方法，即走走看能不能成功，最后都陷入了混沌.消息传到大数学家欧拉的耳朵里，引起了他的思考.他把问题抽象成一笔画问题，运用数学方法进行证明这是一个不能实现的问题.欧拉由此创建了一个新的几何学分支——位置几何学.

补充：这个问题在五百多年前就被提出来了，可是两百多年过去后，仍然没有被解决.于是，有人猜想是不是存在这样一条路.在大数学家欧拉知道后，他仅仅用2天时间就在当时最著名的数学学报上发表了一篇论文，把七桥问题与儿童常见的一笔画问题联系起来.欧拉的伟大之处就在于他把陆地看成点，把桥看成是连接两点的线.因此，七桥问题就转变成这幅画是否能一笔画成的问题.

1736年欧拉解决了这个问题，从而也开辟了数学上的一个分支，就是刚才提到的“位置几何学”，今天叫作“图论”（板书：图论）.“图论”，顾名思义，跟图有密切的关系.今天，我们就沿着欧拉的足迹来了解有关图论方面的知识.

（屏幕出示课题：沿着欧拉的足迹——图论初探）

刚才，同学们提到了“一笔画”，欧拉利用“一笔画”很好地解决了七桥问题.那么，同学们对一笔画都了解哪些？

[请学生谈对“一笔画”的了解.教师在学生的发言中，重点提炼以下问题：什么是“一笔画”;什么样的图形能一笔画成？（对于任意两个顶点都至少有一条线连接或联通的图形.只有奇点的个数为0或者2时，才可以一笔画成，否则不可以）什么叫奇点、偶点？连通图中奇点能是奇数吗？]教师根据学生的发言板书：一笔画辨别方法：奇点的个数是0或者2;奇点个数为偶数.

（二）一笔画的研究——合作中寻找一笔画的规律

（教师布置小组合作学习的内容）

教师准备几幅图，要求学生按照所了解的内容对这些图的问题进行回答，并且提出新的问题.请一组同学到前面来汇报算出的每一个图形的奇偶点及是否能一笔画成.教师询问大家还有什么补充.

重点挑战“五环图”：奥运会的五环怎么能一笔画出来呢？

重点总结：图上全是偶点，从任意一点出发都能完成一笔画的任务再回到原点.如果这幅图是两个奇点，应该从一个奇点出发再回到另一个奇点.请学生试一试.

教师提出：“田字图”有四个奇点，不能一笔画成.那么至少用几笔画成？如何证明？

引导学生回答，如学生回答不上来，教师讲解.因为点只有奇点和偶点两种，如果偶点和偶点之间相连一条线段的话，两个偶点就会变成两个奇点，如果奇点和奇点之间相连一条线段的话，两个奇点就会变成两个偶点.如果一个奇点和一个偶点之间相连的话，两个点的奇偶性就会互换，不影响奇偶的总数.奇点和偶点无论增加或者减少，都是成对的.

经过大量的研究发现，一幅画至少用几笔，只需要用奇点的个数除以2.上面同学们所交流的关于一笔画的知识，都是欧拉当年写的论文中提到的，后人称为一笔画的原理.由于欧拉的伟大贡献，后人把像五环图这样的从一个点出发不重复、不遗漏地走完所有的线又回到原来点的图称为“欧拉图”，有两个奇点的图称为“半欧拉图”.

（三）一笔画的应用——中国邮路问题

教师指出：一笔画在生活中有许多应用，谁能给大家讲讲？

比如洒水车洒水，在洒水时要合理安排好所走的街道路线;邮递员投递的路线;外卖员送餐;等等.

教师讲解：实际上，最早提出的一笔画与“图上作业”相结合的是中国人.被图论史上称为“Chinese Postman Problem”（板书）谁能翻译一下？（PPT出示“中国邮路问题”）

教师介绍：一名邮递员要走遍他负责的投递范围内的每一条街道，完成送信任务后回到邮局.他应按什么路线走才能使总路程最短？最早提出这个问题的是我们国家的数学家管梅谷，他原来是山东师范大学的校长.在1962年他最先向世界上提出这样的一个问题，作为能和一笔画结合在一起的实际应用，被世界数学史称为“中国邮路问题”，真的很值得我们骄傲.如果你是邮递员，你怎么走才能使路程最短呢？下面小组之间讨论一下.

学生小组讨论后，请一组学生到前面汇报，并引导学生计算出最后结果.

（四）一笔画的延伸——哈密尔顿周游世界

教师：同学们刚才对一笔画及中国邮路问题已有一定了解.这些知识都是图论的一部分，在1856年，一位著名的数学家哈密尔顿提出了一个新的问题.用正十二面体的20个顶点代表我们这个星球上的20个大城市.从一个城市出发游遍所有的城市最后回到出发点所走过的棱不重复.（PPT展示）

（教师拿出事先准备的正十二面体）我这有一个正十二面体，每个面都是一个正五边形.如果这上面的顶点是20个大城市，只许从一个点走到另一个点，点不许重复，棱当然也不能重复，能不能完成走遍所有点的任务？这是在1856年风靡世界的哈密尔顿周游世界问题，也请同学们课后思考一下！

教师总结：现在我们可以轻而易举地判断一个图是否是欧拉图，但是哈密尔顿周游世界问题研究了一百多年至今还没有解决.由于图论中有很多悬而未决的问题都跟哈密尔顿周游世界问题的解决有关系，所以目前还有许多数学家正在努力攻克这个问题，我想在座的同学中也许就有将来解决这个问题的伟人，我期待着这一天！

四、结 语

本节课中，数学史帮助教师全面地实现了教学的三维目标.学生掌握了“一笔画原理”，能够解决简单的实际问题，感受到数学与生活的实际联系.介绍数学家的故事、渗透数学史中的趣闻和名题，可以激发学生学习数学的浓厚兴趣，让学生得以在一种更生活化、更轻松的氛围中学习，而且欧拉的故事可以给学生正能量，这些都促进了“情感与信念”目标的达成.小组合作培养了学生的合作意识、实践能力和探索能力，使学生带着对数学知识的渴望与崇拜之情升入初中阶段的数学学习，这无疑增加了数学学习的内驱力.

五、教学反思

著名的心理学家皮亚杰曾说过：“活动是认知的基础，智慧从动作开始.”本节课虽然引发了大量学生的思考，但是并没有让学生从动手、动脑、动口等亲自操作感知中入手.没有让学生体验到五百多年前人们解决不了七桥问题的困顿之感，这样就不能在学生的头脑中形成鲜明的知觉表现.

鉴于该问题，笔者又一次将历史上的一个数学问题搬到课堂解决，即圆的面积问题.课前，笔者为学生准备了若干彩色圆形卡纸、剪刀、胶水，并在引课阶段带领学生回忆了小学所学的几何图形面积的求法.笔者先从长方形入手，介绍面积的定义，进而利用化归的思想，割补法解决平行四边形的面积计算方法、三角形面积的计算方法、梯形面积的计算方法，一系列的复习巩固，使学生认识到，解决一个新的数学问题，可以化归成已有的数学知识，进而求解.于是，学生们大胆尝试，是否能将没有直线边的圆，转化为已知的几何图形？这时我们可以看到，虽然历史上伟大的数学家给出了精确的计算方式，但是学生们的大胆猜测也颇具新意.有的学生将圆的四分之一单独剪下来，然后再次尝试将这四分之一的圆继续分割成四份，便得到了原始圆形的十六分之一，该生把这个很小的扇形，近似地看成一个三角形，扇形的弧看成是三角形的底，半径看成是三角形的高，进而求出了原圆形面积的十六分之一，从而求出整个圆的面积.而实际上，教师所提供的材料工具在一定程度上左右着学生的操作方向，即教师提供的工具一定要用上这个前提.而有一个小组，直接将给的圆形卡纸通过对折再对折再对折的方式，直接得到了一个近似三角形，从而求解.这也是突破了教师的限制的聪明之举.

然而也有失败的小组，有些小组通过剪切，形成了一些不规则的图形，无法求解.但是在这一过程当中，学生们实际经历了古代数学家们所走过的艰辛之路.这时候，在学生经历了一系列的创作、失败、再创作后，教师通过一定的提示，使学生割补成近似的平行四边形或长方形，题目豁然开朗.接着，教师为学生讲解魏晋时期的数学家刘徽首创的割圆术，并利用几何画板直接展示“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”的含义，必定使学生印象深刻，历久弥新.

而现在的教学教材，往往为了保持知识的系统性，把数学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排，力求逻辑的严谨性和语言的精炼性.这样就缺乏了自然的思维方式，对数学知识的内涵，以及相应知识的创造过程介绍得很少，也使学生面对枯燥的课本，缺乏对知识的渴望和兴趣.而数学史的引入，特别是在小初衔接过程中，及时适度的补充，可以让即将进入系统学习大量理论知识的学生们，对数学产生浓厚的兴趣.学生通过教师讲解一些有关的数学知识的由来学习系统的数学知识的同时，对相应知识的产生过程有一个比较清晰的认识，从而培养正确的思维方式.可见，数学史是一座宝藏，蕴含了取之不尽、用之不竭的数学资源和思想养料，任何知识点的教学都能從中获益.

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