大型油轮艏摇混沌现象的仿真与滑模控制

张显库，韩 旭

(大连海事大学 航海学院，辽宁 大连 116026)

在航海实践中，有经验的驾驶员在操纵大型油轮时常常发现，即使在非恶劣海况下也很难让船舶保持直线航行，船首呈现出一种不规则的随机摆动，这种现象用常规理论来解释非常困难.如果对这种异常现象不从理论上进行深入研究，可能会对航行安全和高效航运带来不良影响，更会阻碍无人自主船舶的研究进程.相比于其他船舶，大型油轮往往旋回性好而直航性差，很可能是这一特性导致其更容易出现不规则艏摇的现象.本研究以大型油轮为对象研究不规则艏摇现象，所述研究方法也适用于具有类似特性的其他类型船舶.

船舶有6个自由度，但到目前为止横摇运动中的混沌[1]仍是船舶混沌研究的主流，其他维度的研究则相对较少.文献[2]总结了20世纪船舶非线性运动的研究状况，这些研究主要集中在横摇、垂荡、系泊以及可能导致倾覆的打横上.文献[3-4]运用动力学方法研究了小型船在尾迎浪时的异常纵荡，并指出船舶在特定海浪频率与波长下会出现混沌瞬态以及长期混乱运动.事实上除横摇外，航海实践上最关心的是艏摇，因为艏摇直接影响航行的效率.考虑到船舶运动及海况干扰的非线性特性，本研究试图直接用非线性系统理论中的混沌理论来解释航海实践中的异常艏摇现象.混沌现象是一种非线性动力系统中广泛存在的确定性、类随机的过程，这种过程没有周期性且不收敛，对初始值敏感而难以掌控.目前针对艏摇混沌的研究相对较少，文献[5]探讨了能否用混沌理论来解释异常艏摇，但该研究建立的混沌方程中，阻尼项和刚度参数范围与实船情况差异较大.文献[6]试图改进文献[5]中一些不合理的参数，并设计了鲁棒控制器来控制混沌运动.尽管如此，文献[6]中的个别参数，例如海浪频率与浪高的描述在实际情况中是极为罕见的，因此其解释仍无法让人信服.文献[7]尝试使用Liu混沌系统重新解释大型油轮的混沌艏摇现象，通过对所构造的船舶Abkowitz模型进行化简和变形，发现所得结果与Liu混沌系统形似，但在深入分析后，得到的结果否定了用Liu混沌系统解释的设想.文献[5]在研究操纵闭环控制时使用了比例控制器模拟驾驶员的操纵，本文为了更真实描述有经验驾驶员的操纵特性，引入了人的数学模型[8-10]，从而再现操纵大型油轮过程中出现的混沌现象，为进一步设计有效的混沌抑制控制算法打下基础.文献[11-12]沿用文献[6]的思路，给出了Duffing方程形式的混沌模型并使用自适应和滑模控制方法实现了参数不确定下航向保持的稳定控制，但最后未能给出所设计控制输入与操舵舵角的对应关系.

反步法是非线性控制中的常见方法，它基于Lyapunov定理设计控制器从而保证被控系统的稳定[13].但此方法设计的控制器通常鲁棒性不足，在干扰和参数摄动下控制效果会大打折扣.滑模控制是一种常见的鲁棒控制方法，通过控制量切换引导系统状态沿滑模面滑动，使系统在外部干扰和参数摄动下具有不变性.但在应用时要注意防止滑动模态上的抖振问题，目前代表性的解决方法有准滑动模态方法的边界层设计、更改滑模面的趋近律的方法、滤波方法、观测器方法、动态滑模以及智能控制优化等方法[14]，本研究由于计算最终执行器输出(即舵角)时，必然存在一个一阶惯性项作用于滑模率，所以控制率本身不需要做进一步处理，舵角也不会出现剧烈抖振.从滑模控制率对舵角的影响来看，这相当于采用了滤波方法.

1 有经验驾驶员的数学模型

驾驶员对系统的影响很复杂，但若粗犷处理的话可以认为主要是一系列延迟和增益的组合，文献[5]所给出的驾驶员模型为转艏速率误差的比例模型，并未考虑驾驶员应变及操纵所需的时间，因而精确性和说服力相对不足，这里参照文献[8]所提出的驾驶员模型，采用传递函数形式描述驾驶员对系统的影响，输入和输出分别为操舵角和航行误差.

(1)

式中：GH(s)为传递函数形式的驾驶员模型；s为拉普拉斯算子；δ为舵角；Δψ为航向改变量；Kp为静态船舶驾驶员增益，取值为1～300；τ为时滞，反映了驾驶员的固有延时特性，取值0.1～0.6 s，是驾驶员反应与动作的必要时间；e为自然常数；Tn为人体动作惯性常数，一般取0.1～0.2 s；Tl为大脑滞后补偿时间常数，一般取1～30 s.

(2)

将式(2)代入式(1)，并忽略低频时(s=jω→0，j为虚数单位，ω为信号频率)的二阶和三阶小量，式(1)可近似为一阶模型

(3)

式中：Tp=Tn+τ+Tl.

2 船舶运动响应型非线性数学模型

船舶模型有多种形式，其中Nomoto模型因其简单实用的特性而具有很高的使用率，但其推导过程需要使用昂贵的海试数据，否则需要使用Clarke整理的线性流体动力导数[15]，而Clarke的研究发表于1982年，随着近几十年来船舶的大型化，其精度有所下降.在文献[6]和[15]中给出了一种非线性的Nomoto模型，非线性项的增加使船舶的运动得到了更加准确的描述.具体如下：

(4)

3 船舶广义数学模型混沌分析

Duffing方程是一种典型的混沌方程，其一般形式为

(5)

通过比较可知，式(5)与式(4)形似，故可以用Duffing方程研究船舶运动中的混沌现象.

将式(3)变成输入为航向误差的微分方程的形式：

(6)

(7)

由于海浪可用正弦波描述，船舶在海浪作用下的艏摇也表现出正弦性质，所以此处可用正弦波描述海浪作用下的艏摇，令式(6)中Δψ=Bsin(ω1t)，针对T3与Tp相近的系统，再将替换后的式(6)代入式(7)，可得：

(8)

式中：B为海浪对船舶的摆艏增益，取值范围为0～2π；ω1为艏摇角频率，其取值范围依据海浪常见周期设定为0.25～1.25 rad/s，这里取ω1=0.25 rad/s；Kp=250，Tp=28，B=2.5.经过观察发现，式(8)和(5)形式上很相似，所以预言当参数配置适当，船舶广义数学模型有混沌解，船舶航向保持过程中存在混沌现象.

表1所示为大型油轮Davis Sea的船舶参数，计算得出相应参数为a1=0.087 74，a0=0.000 85，c0=48.864，b1=0.000 91.

表1 大型油轮Davis Sea的船舶参数Tab.1 Ship parameter of large oil tanker Davis Sea

采用四阶-五阶Runge-Kutta算法(ode45)对该系统的状态变化求解，初始值为(x1,x2)=(0,0)，系统的相图及分岔图分别如图1和2所示.相图的横纵坐标皆为状态变量，由相图可以看到系统状态变量的变化轨迹.分岔图则展现的是某一状态变量随系统参数的变化情况，其中虚点的部分意味着系统状态的不稳定(不收敛)，蕴含着发生混沌的可能.

表2 三维系统Lyapunov指数与系统稳定性对应关系Tab.2 Correspondence between Lyapunov exponent and system stability in 3-dimensional systems

图1 系统相图Fig.1 System phase

图2 B=0～2π时的系统分岔图Fig.2 Bifurcation diagram at B=0—2π

本文采用Jacobi方法求解Lyapunov指数，其基本原理是首先求解出系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobi矩阵进行QR(正交三角)分解，并计算其特征值的乘积，从而计算出系统的Lyapunov指数，具体的计算原理如下[17].

对于微分方程

(9)

(10)

J是F的Jacobi矩阵，式(10)的解可表示为

ε(t)=U(ε(0),t)

(11)

式中：U为ε(0)→ε(t)的映射，ε(0),ε(t)分别指ε在0时刻和t时刻的值.U的渐进行为可用指数λ表示为

(12)

系统的Lyapunov指数可定义为上述重复过程的均值，即

(13)

Lyapunov指数值随时间的变化如图3所示，最终迭代出的结果为λ1=0.008 718 9,λ2=0,λ3=-0.096 459，符合表2混沌吸引子的特性，故可以确定系统在此状态下出现了混沌现象.

图3 系统的Lyapunov指数Fig.3 Lyapunov exponents of system

功率谱形状也是判断混沌的途径之一.功率谱图的尖峰意味着周期性，而混沌运动功率谱不再出现离散的谱线，像噪声一样是连续的过程.图4给出了此时的系统功率谱(PSD)，可见无法从噪声中区分明显的尖峰，这意味着没有显著的周期性，进一步佐证了混沌的发生.

图4 系统功率谱Fig.4 Power spectrum of system

为直观展示混沌与艏摇的关系，图5给出了状态变量x1(即转艏角速度r)随时间的变化情况.可以看到，虽然约每25 s船舶会完成一轮艏摇，但艏摇的过程不尽相同，具有非周期性和混沌特点.

图5 状态变量x1随时间变化曲线Fig.5 Time curve of state variable x1

通过进一步调整参数ω1我们发现，在B的取值范围内，当Kp、Tp不变而ω1增大时，导致混沌发生的B的初值增大；相应地，当ω1减小时会使能造成混沌的B初值减小.但无论ω1过大还是过小都会导致混沌现象的消失(ω1取值范围决定了本例不存在混沌消失下界).就式(8)规定的系统来说，这一规律具有普适性，只是针对不同船舶，ω1和B的临界值会有所改变.如图6所示，经过测试，油轮Davis Sea可以导致艏摇混沌的海浪区间为0.25 rad/s≤ω1≤0.38 rad/s.由以上分析可以确定，海况稳定时遇到不规则艏摇极可能为混沌现象.

图6 不同角频率下的系统分叉图Fig.6 System bifurcation at different angular frequencies

4 基于反步法的滑模控制

为控制式(8)所示系统，在式(8)的第2式后加入一个控制项u，使被控系统变为

(14)

(15)

(16)

式中：x2d为x2的控制目标值.定义关于x2的误差变量γ，

γ=x2d-x2

(17)

将式(16)、(17)代入式(15)，得到

(18)

而

(19)

(20)

(21)

|f||γ|-ρ|γ|-k1e2-k2γ2≤

ρ|γ|-ρ|γ|-k1e2-k2γ2=

-k1e2-k2γ2

(22)

使用式(7)来获取舵角δ，即

(23)

5 仿真结果

代入相关数据，设定B=2π(取最大可能值，若此条件能控，更小的值必然能控)，取ρ=0.07，k1=k2=1，控制前后的艏摇速率和控制舵角如图7和8所示，仿真结果以角度制表示以便直观理解.控制作用施加于80 s，舵角限幅20°.

图7 控制前后转艏速率Fig.7 Turning rate before and after control

由图7可以看出未加控制时系统处于混沌艏摇状态，应用控制后航向迅速稳定，|x1|的最大值从6.6°/s降到0.12°/s，积分后可知航向稳态偏差小于0.07°.由图8可知控制舵角绝对值最大为17.2°，稳定舵角绝对值最大为5°，控制效果令人满意.

图8 控制舵角Fig.8 Controlling rudder angle

6 结语

大型油轮的不规则艏摇确实可以用混沌理论解释.由于船舶性能与迎浪幅频的差异，艏摇模型参数存在着变动区间，变动区间内存在能造成混沌的部分，因此这种不规则艏摇是可能发生的.不规则艏摇现象得到了相对合理的解释，造成混沌的参数区间也已得出.为避免不规则艏摇，又针对所建模型提出了相应的滑模控制率，避免了测量海浪频率的同时改善了控制系统的鲁棒性，为消除混沌艏摇的不利影响给出了一种不错的思路和方案.