基于改进阈值和分层阈值的小波变换图像去噪

张师语，刘章玉，石仁翠

（1.四川农业大学理学院，雅安 625014；2.四川农业大学信息工程学院，雅安 625014；3.四川农业大学理学院，雅安 625014）

0 引言

有“数学显微镜”之称的小波变换是近年迅速发展的一种新的时频分析方法，可以用来边缘检测和分割，还可以把短时的物理现象作为瞬态过程来进行分析的分析方法是时频分析；主要区分突变信号和稳定信号还可以定量分析其能量的分析方法是频域分析[1]。

在传统的傅里叶分析中，可以发现信号完全是在频域里展开的，没有包含任何时域的信息。仅仅分析信号的时域或频域性质在很多情况下是远远不够的，例如在电力监测系统中对信号分析的要求，既要求监控稳定信号的成分，又要求故障信号的准确定位[1]。后来人们在传统傅里叶分析的基础上引入了时域信息的最初尝试，即短时傅里叶变换[1]，但是其对信号进行分析大多时候只能在一个分辨率上，对许多应用场景来说并不够准确，存在较大的缺陷。

小波变换正是因为这种缺陷引入的，它克服了短时傅里叶变换只能单分辨率分析处理信号的缺点，具有多分辨率分析信号的特点。小波变换不论在时域还是频域里都能展现信号的局部信息，可以根据信号的具体形态来动态调整其时间窗和频率窗。通常情况下，在低频部分，此时信号是较平稳的状态，不需要太记录信号随时间的变化，因此通过降低时间分辨率来提高频率分辨率；在高频部分，频率的变化情况不明显，此时可以用较低的频率分辨率来得到时间定位的精确度[1]。因为可以探测到正常信号中的瞬态部分，并且展示其频率成分的特性，所以小波变换广泛应用于各个时频分析领域[2-4]。

1 小波变换基本原理

人们提出了窗函数，因为传统傅里叶变换不能表达随时间变化的频率，这种函数被称为“时间-频率分析”[1]。时间-频率窗是灵活可变的，这个“窗”不仅能够体现频率的细节信息，而且频率随时间的变化是由窗与窗之间反映的。综上所述，短时傅里叶变换属于一种时间-频率分析方法，而且固定窗[1]。

把时域和频域分解成多个大小相等的小窗口是窗口傅里叶变换的实现过程，其中对信号的任何部分采用的都是相同的时间和频率分辨率。著名的测不准原理[1]是无论采用任何函数作为窗函数，其时间窗和频率窗宽度的乘积最小值都是2。该定理说明，同时以任意精度在时间和频率两个空间去逼近被测信号这是不可能实现的，在信号的分析上一定要对时间或频率的精度做权衡取舍。

针对上述情况，小波变换提供了可以根据需要来选择时间或者频率的精度的一种灵活性很高的方法。可行的是，找到一组在能量有限信号的函数空间上稠密的正交基函数，并且这组函数可以单纯地由一个函数的伸缩和平移生成[1]。在不同的分辨率下分解信号由伸缩实现，可以把这组信号作为窗，来观察关心的部分是平移的结果。另外，满足上述要求的函数一定是具有紧支集性，可以在有限的区域内迅速衰减到0，这样的函数称为母小波，它生成的一组正交基称为小波函数[1]。

假设Ψ(t)ϵL2(R)满足容许性条件：

即Ψ(t)称作可允许小波或者基小波。并且是Ψ(t)的傅里叶变换。

那么由可允许小波生成的小波系数可表示为：

离散小波函数可表示为：

离散小波变换的系数可表示为：

类似傅里叶级数，其重构公式为：

由小波变换重构原始信号的逆变换为：

从图1中的(d)可以发现时间窗和频率窗组合成的面积在小波变换中相同，随着|a|的增大，频率窗逐渐减小，时间窗逐渐增大，因此时间窗和频率窗的比例可以自行调节的途径是通过选取不同的a。不用像只能获取固定时间窗内的固定频率段的短时傅里叶变换那样，小波变换可以获取任何时间内任何感兴趣的频谱。

图1 各种分析方法的时域与频域分辨率

2 小波阈值图像去噪原理

在小波域中要实现去噪，二维信号的基本思想与一维信号的情况类似。通常来说，在应用中二维信号表现为图像信号。去噪效果的重要影响因素是阈值选择，在去噪过程中既可以使用统一固定的全局阈值，也可以从三个方向，水平、竖直和对角，分别作用阈值抑制其成分[1]，这样可以把所有方向的噪声分离出来。

假设原始的图像信号为Xj,k(j,k=1,2,…,N)，在受到均值为0，噪声强度为σ的高斯白噪声τj,k污染后变为Yj,k，这一过程的基本模型如下：

与一维离散小波变换类似，二维小波变换的实现方法是，从原始信号S开始在每个层次只需要分解上一层次的近似系数。在对每个进行分解的时候，需要从两个维度分别作用两次滤波器[1]，分别是纵向和横向，这是与一维离散小波变换不同的地方，如图2。

小波阈值图像去噪的基本步骤[5]为：

（1）分解过程：根据噪声特点选择合适的小波基和分解层数，对含噪图像作小波变换；

（2）作用阈值过程：寻找一个合适的数值作为阈值，并用该阈值对每一层的高频系数进行量化；

（3）重建过程：将处理后的小波系数通过小波逆变换，从而恢复原图像。

以上去噪过程的依据是，表现为能量密集区域的是携带信息的原始信号[1]，在频域或小波域中能量相对集中，其信号分解系数的绝对值比较大；而对于能量谱相对分散的噪声信号，其系数的绝对值较小。概括来说，含噪图像信号经过小波变换后，信号的小波系数大于噪声的小波系数，因此通过作用阈值，保留绝对值大于选取阈值的小波系数，过滤绝对值小于选取阈值的小波系数，从而实现去噪。

图2 二维小波变换的二层分解示意图

3 阈值函数的改进

3.1 常用的小波阈值函数

传统的阈值处理过程中，常采用的是Donoho提出的软、硬阈值函数[6]。设Wj,k为原始的图像小波系数，λ为阈值，为阈值量化后的图像小波系数。则硬阈值函数表达式为：

可以看出，硬阈值是间断函数，在处不连续。这导致在图像信号的间断点处容易产生比较大的震荡，进行小波重构时容易出现伪吉布斯现象[7]，使得重构的图像失真。

软阈值函数表达式为：

3.2 改进的小波阈值函数

之后大量研究学者根据上述软、硬阈值的优点与不足对阈值函数作出改进，如均方根阈值函数，软硬折中阈值函数[9]等。本文分别对上述具有代表性的两种改进阈值函数进行改进，并与其进行去噪效果对比分析。

均方根阈值函数表达式为：

该函数虽然使估计小波系数在| |Wj,k逐渐增大时更趋于原始小波系数Wj,k，但在| |Wj,k=λ处间断。

引入调节参数μ对均方根阈值函数进行改进，提出第一种改进阈值函数：

（1）第一种改进阈值函数的渐近性分析

当Wj,k→+∞时，

当Wj,k→-∞时，

因此，当Wj,k→∞时，

（2）第一种改进阈值函数的连续性分析

当Wj,k→λ时，

折中阈值函数表达式为：

虽然折中阈值函数减少了阈值处理后的小波系数与原始图像的小波系数之间存在的恒定偏差，恒定偏差为eλ，e小于1。但仍会影响重构原始输入图像信号的逼近程度且在| |Wj,k=λ处不连续。

引入调节参数a对折中阈值函数进行改进，提出第二种改进阈值函数：

（1）第二种改进阈值函数的渐近性分析

当Wj,k→-∞时，

因此，当Wj,k→∞时，

（2）第二种改进阈值函数的连续性分析

当Wj,k→λ时，

当Wj,k→-λ时，

（3）可调因子m的影响分析

当m=0时，第二种改进阈值函数变成软阈值；当m→+∞时，第二种改进阈值函数变成硬阈值。调节因子m使得第二种改进阈值函数在软、硬阈值函数之间变动，可以根据实际应用进行合理调节，增大或者减小m的值，从而达到最佳的去噪效果。

3.3 阈值的选取

在小波系数上作用阈值是小波变换去噪的核心步骤。因为去噪的质量直接决定于阈值的选取，如果阈值选取过小，阈值量化后的小波系数中会含有较多的噪声分量，导致图像去噪不充分;如果阈值选取过大，会丢失部分有用的图像信息，导致重构后的图像失真[10]。

一般是根据原始输入信号的信号噪声比来取得对各层小波系数去噪的阈值，常见的小波阈值选取方法有缺省的阈值确定模型、基于Stein无偏似然估计的软阈值估计、启发式SURE阈值等。现在有很多种提取噪声强度σ的方法，假定噪声为白噪声，噪声的数学期望为0，其噪声强度一般是用原信号的小波分解的各层系数的标准差来衡量[1]。MATLAB提供wnoisest来实现这个功能。缺省的阈值确定模型如下：

噪声的小波系数与分解尺度成反比，即分解尺度越大，分解的小波系数越小。对图像进行去噪处理时，不同的分解尺度，阈值的选取应有所不同，阈值的选取准则应是随着分解尺度的增大而减小[11]。本文对现有阈值选取算法做适当的改进，其表达式为：

缺省阈值确定模型的阈值在不同尺度上是固定的，而在本文实验中取为可变的，可有效克服上述几种阈值选取准则的缺点，且计算相对简单，可以取得较好的去噪效果，实用性也强。

3.4 分层阈值函数的图像去噪

小波去噪中，MATLAB软件提供了很多既可以通过某种通用的方式直接对信号去噪，也可以对其中的某个环节灵活控制的灵活使用方式。如wdencmp命令可以用于分层阈值去噪，与其他含噪图像经小波分解后的系数阈值量化不同的地方在于，传入命令里的不是单一的阈值，而是一个数组，存放了各层阈值，并且不需要指定保留的层数[1]。

由于只关心系数的绝对值，并不关心系数的位置的阈值处理，所以二维小波变换系数的阈值化方法与一维情况类似。MATLAB提供了wthcoef2命令对二维小波变换阈值化，分别从水平、竖直、对角方向对不同层数作用不同的阈值。可见，分层阈值化同全局阈值化相比，因为结合分解层数和分解方向的阈值化方法能够在进行阈值化处理时利用更精细的细节信息[1]，所以在能量损失不是很大的情况下可以获得更高的去噪比。

3.5 基于改进阈值的图像去噪具体步骤

（1）根据噪声特点选择合适的分解层数和小波基；

（2）对带噪图像Yj,k进行多层小波变换，结果得到一组含噪图像的小波系数Wj,k；

（3）利用MATLAB提供了wnoisest来计算噪声强度σ，再根据改进阈值选取公式计算λj；

（4）对各层小波系数做阈值量化处理，具体操作是以λj为比较对象，保留绝对值大于λj的小波系数，舍弃绝对值小于λj的小波系数且置为零，得到阈值处理后的小波系数；

（5）根据处理后的小波系数进行小波逆变换，即可得到去噪后的图像。

4 实验结果及其性能分析

本文使用MATLAB软件编程实现所有程序，选定Lena图像作为研究的原始图像，加入均值为0，方差为0.01的高斯噪声。

4.1 去噪效果评价

为对去噪后的图像质量进行量化，评价常常有以下3种评定参数：峰值信噪比PSNR、信噪比SNR、均方误差MSE[12]，它们的计算公式如下：

其中f(x,y)和是原来图像数据和去噪后的图像数据。M×N是图像的大小。

假如去噪信号的信噪比SNR越高，原始信号与去噪信号的均方误差MSE越小，则去噪信号就越接近于原始信号，去噪效果越好[13]。

4.2 去噪效果对比

针对两种改进函数和分层阈值函数，利用MAT⁃LAB中的wmaxlev2命令计算在已知信号长度的情况下，选用不同的小波基分解的最大层数，分别以小波基类型和分解层数作为自变量探究每一种改进函数所能实现的最好效果，如表 1、2、3。

表1 小波基对第一种改进阈值去噪影响

表2 小波基对第二种改进阈值去噪影响

表3 小波基对分层阈值去噪影响

通过表中数据对比发现且参考图像纹理识别中最优小波基的选择[14-15]，选用coif5作为小波基且分解层数为4层，三种改进函数都能达到最优的效果，故选定其来对图像进行分解与重构。

使用效果最优传统阈值函数去噪后的结果图与使用第一种改进阈值函数、第二种改进阈值函数、分层阈值函数去噪后的结果图对比，如图3、4、5。

图3 含噪Lena图像第一种改进阈值去噪效果对比

图4 含噪Lena图像第二种改进阈值去噪效果对比

图5 含噪Lena图像分层阈值去噪效果对比

表4 含噪Lena图像去噪效果评定指标

由表4可知，相比效果最优传统阈值所得结果，三种改进方法均能使去噪后的图像更清晰，边界更清楚。

5 结语

本文在传统软硬阈值基础上提出了两个方向的改进措施：改进阈值函数、分层设置阈值，形成了三种改进方法。在原始图像中加入高斯噪声，通过分别改变小波基类型和分解层数来探究每一种改进函数所能实现的最好效果，以期去噪效果更好、边缘信息保留度更高。通过比较去噪效果图和评价参数PSNR、SNR、MSE和改变比例的数值，发现三种改进方法都比传统阈值去噪效果更优，并都更好地保留图像边缘细节信息，使图像更接近原始图像，验证了本文所提方法的正确性和有效性。