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问题化教学促学生形成函数模型思想

2021-01-15刘莎

关键词:圆柱体积函数

刘莎

摘    要:函数概念是数学中的重要概念,相当抽象.而模型思想,可以描述和分析变量之间的对应关系,便于学生理解.以问题为导向的问题化教学设计,其目的就是从学生的学情出发,根据学生的“最近发展区”提出话题或问题,引导学生自主发现并提出问题,以激发学生主动学习的兴趣,进而帮助学生自主建立适当的函数模型來刻画和解决问题,提升数学核心素养.

关键词:问题化教学;函数模型

函数概念深刻地反映了客观世界的运动和实际量之间的依赖关系,是近代数学的主要基础.模型思想是针对要解决的实际问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法.函数模型思想,即在解决实际问题时,发现在变化过程中存在着变量之间的对应关系,通过构造相应的函数模型来描述、分析并解决实际问题的数学思想.问题化教学是指课堂教学中,教师以问题为载体,不断刺激学生思考问题、发现问题,再提出问题、分析并解决问题,获得数学活动的经验,形成数学思考的教学方法.这种课堂模式从学生的“最近发展区”中提出问题,渗透函数模型思想,能激发学生的探究热情,引导学生发现问题、分析问题并最终解决问题.

下面笔者以在宁波市海曙区第十五届初中数学教坛新秀评比中上的“注水问题中的函数模型——一次函数应用复习”一课为例,谈谈以问题化教学促使学生形成函数模型思想的策略.

一、学情分析及目标设定

(一)学情分析

本节课的教学对象是已快结束八年级下学期课程的学生,他们已经具备几何图形分析、数形结合思想,以及运用方程与不等式解决实际问题的能力.但是由于函数概念的抽象性,学生还是难以应用函数来描述实际问题,难以通过函数分析来解决实际问题.

(二)目标设定

1.借助函数的图象与性质,运用方程、不等式的相关知识来分析和解决问题,并渗透函数与方程、数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法.

2.经历数学函数建模解决实际问题的过程,能够运用数学语言来描述实际问题,提炼出相应的数学问题,再通过相关数学函数模型来解决此数学问题,从而达成解决实际问题的目标,提升学生的数学函数建模思想素养.

二、教学过程

(一)背景引入,激发兴趣

例1   甲杯中下圆柱的底面积为10cm2,高为20cm;上圆柱底面积为30cm2,高不限,上下连通.乙杯是底面积为20cm2且不限高的圆柱形(图略).现向甲、乙两杯中分别注水,设水面高度为h(cm),杯中水的体积为V甲(mL),V乙(mL).

问题1:分别写出V甲,V乙与h的关系式.

问题2:请将V甲和V乙画在同一个平面直角坐标系中.

教学活动1:(1)引导学生自主思考、交流,经历“从实际问题到数学问题的抽象”这一过程,体会如何从实际问题中变量之间的恒等关系出发,寻求函数解析式.(2)让学生动手画图,体会在分段函数的画图中自变量取值范围的重要性,培养学生的数学严谨性.

设计意图:杯中注水,水的体积与高度会发生动态变化.学生有相关经验,所以V乙与h的关系毫无挑战性,但是由于甲杯的组合性,需要分段求解,学生就要跳一跳才能够得着.这种基于“最近发展区”的提问,大大激发了学生的求知欲.

问题3:观察图形(图略),V甲关于h的图象与V乙关于h的图象是否会相交?若相交,请求出交点,并思考交点所代表的实际含义.若不相交,请说明理由.

教学活动2:(1)学生自主观察与小组讨论相结合,与同伴一起学习,找出差异.(2)通过图形观察以及对一次函数中K相等所对应的图形关系的理解,体会数形结合的思想在画图中的作用.(3)利用方程思想求交点,通过对交点所表达的实际含义的思考,进一步理解实际问题.

设计意图:应用函数模型解决实际问题,大多会用到函数图象来进行分析探究,所以画图是基本功,哪怕是草图,也不能忽略图形本身可能具备的位置关系.这可以培养学生画图的正确意识.

问题4:继续观察图形,你还能从图形中发现什么呢?试着跟同桌交流.

教学活动3:看图说话,培养学生观察分析与合作交流的能力.在小组交流中,可以越来越清晰地呈现出图形带来的解题思考.这可以培养学生数形结合的解题思想.

预设1:变化规律:V甲 随着h增大而增大,不过,一开始增大得比较缓慢,后来增大得很快;而V乙随着h增大而增大,保持速度不变.探究变化规律的原因.

预设2:当h为何值时,V甲=V乙?当h为何值时,V甲<V乙?当h为何值时,V甲>V乙?

设计意图:开放式话题,能刺激学生打开思维,培养学生发现问题、提出问题的能力.预设1和预设2是学生能想到的问题,让学生提出来,更能促使他们主动思考解题的方法.兴趣是最好的老师,要把学习的主动权还给学生.

(二)问题探究,步步深入

问题5:根据以上信息,如果你是老师,你还可以补充一个条件,再提出新的问题吗?小组合作讨论.

教学活动4:有了问题4的学习经验,面对问题5学生非常踊跃,所提问题如:

提问1:已知h=10,求V甲 ,V乙的体积差为多少?已知V甲 =100,求h,V乙.已知V甲 =300,求h,V乙.

提问2:甲、乙的体积差为400mL时,此时甲、乙水面高度h各是多少?甲、乙的体积差为200mL时,甲、乙水面高度h各是多少?甲、乙的体积差为100mL时,甲、乙水面高度h各是多少?

笔者适时追问:

追问1:在已知自变量求函数值,或已知函数值求自变量的问题中,你觉得需要注意什么?

追问2:从以上变量关系中,你觉得V乙是关于V甲 的函数吗?如果是,尝试写出它们的函数解析式.如果不是,请说明理由.

追问3:在提问2中,为什么给出了三个不同的体积差的值呢?是随意的吗?

追问4:高度h关于体积差V′是函数关系吗?如果是,请思考解析式如何写?如果不是,说明理由.

追问5:当高度h确定时,体积差V′唯一确定吗?V′关于h是函数关系吗?如果是,请思考写出解析式;如果不是,请说明理由.

设计意图:经过巩固练习,学生积累了很多问题,此时利用开放式的提問,让学生自行生成问题,有利于学生主动去思考如何解决问题.教师基于学生的提问,适时追问,可以促进学生对数学问题进行深度思考.其中追问4和5促使学生强化对函数关系的判断,使其对函数概念的理解更深刻.追问2和5引导学生进行变式思维,改变观察探究的角度,能促进新的函数模型的生成,让学生在新旧认知的碰撞中获得感悟,形成函数模型意识.

(三)问题应用,体现模型

例2   小明从网上买了两个玻璃水杯,甲杯是由上下两个圆柱拼接而成的(中间连通),乙杯是一个圆柱.小明分别往两个杯子内倒水,杯内水的高度相同时,水的体积记录如表1.

则甲杯底部圆柱的容积为     mL.当乙杯内水的体积为150mL时,要使两个杯子内水的高度相同,甲杯中水的体积为     mL.

从本题给出的数据,很难直接看出规律.解题时,应该从实际问题出发,探究变量之间的函数关系,再通过函数图象特征分析数据的关联性,从而解决问题.

1.探究V甲、V乙分别关于h的函数关系

虽然例题中没有给出底面积的具体大小,但根据学习经验可大致画出它们的函数图象.从表格中所列的数据看,从第四列开始,体积差都是50mL,可以大胆猜测,当h超过一定值后,对应图形没有交点,即它们互相平行,则说明甲杯上圆柱和乙杯圆柱的底面积相等.而第一次出现体积差为50mL处,即为甲杯中下圆柱充满水时,故此前水的高度相同时,甲、乙的体积比为4∶9,可求得甲杯下圆柱体积为40mL,此时乙杯中水的体积为90mL.又因为在两个杯子内水的高度相同的情况下,当乙杯中水的体积超过90mL后,甲、乙杯中水的体积差始终是50mL,从而,当乙杯内体积为150mL时,甲杯中水的体积必为100mL.

2.探究体积差V′关于h的函数关系

通过计算,随着高度h的增加,V′分别是20,40,45,50,50,50,再根据实际问题情境,不难画出体积差V′关于h的大致函数图象.当乙杯内体积为150mL时,要使两个杯子内水的高度相同,甲杯中水的体积应为100mL.剩下的问题的关键马上转化到折点处了,也即当甲杯下圆柱水满时,由于具体的水的高度h不清楚,所以不能直接求出V′关于h的函数解析式.可以同上考虑,得甲杯下圆柱体积为40mL,此时乙杯中水的体积为90mL.

3.探究V乙关于V甲的函数关系

分析表格中的数据不难发现,这是用列表法呈现的函数关系,不妨把V甲看作横坐标,V乙看作相应的纵坐标,直接在平面直角坐标系中描点、连线(图略),再结合V乙关于V甲的一次函数特征,发现图象为两条相交的直线,再利用待定系数法可得分段函数的交点坐标为(40,90),其中交点的横坐标40mL即为甲杯底部圆柱的容积;当乙杯内体积为150mL时,要使两个杯子内水的高度相同,甲杯中水的体积应为100mL.

设计意图:在实际问题中,学生观察数据,在寻求规律遇到障碍后,通过寻求函数模型,有利于对实际问题进行描述,进而解决实际问题.根据本节课所探究的数学思考的方向,通过正向迁移,学生也能从三个角度去建立函数模型.在这样的一题多解中,既能锻炼学生的发散性思维,也能培养学生形成数学函数模型的意识,最终实现从实际问题抽象到数学函数模型,再从数学函数模型进行实际问题求解的思维升华.

4.总结提炼,分享成果

笔者引导学生进行反思与总结.

(1)在本节课中,我们学到了什么?

(2)在解决实际问题的过程中,会用到哪些数学思想和方法?

(3)在学习过程中,我们得到哪些收获和体会?

设计意图:在课堂教学中,教师要留一定的时间和空间让学生进行反思和总结.在学生彼此交流成果的过程中,学生能不断地积累学习经验,优化知识结构;教师也可以在一定程度上了解学生知识学习的深度和广度,把握学生的数学思维水平,为教学的进一步优化提供材料支撑.

三、几点思考

(一)问题化教学设计应以学情为基础

学生是学习的主体,学生现有的数学知识结构、学习经验和思维方式应该成为数学教学的出发点和落脚点.以问题为载体的问题化教学设计,要求问题的设计必须符合学情,而从学生的“最近发展区”提出的问题才能真正激发学生的求知欲.考虑到八年级学生具有数学思考严谨性不足的特征,笔者在课堂上适时地进行反问、追问,及时补充相关数学信息,引导学生在有梯度的问题中思考解决问题的方法,以培养学生数学思维的严谨性.

教学中,教师要关注学生的差异,用不同思维层次的问题引导每一个学生积极参与教学活动,提高教学活动的针对性和有效性.教师还应针对学生个体差异进行课堂留白,并作策略和方法上的提示,为学有余力并对数学感兴趣的学生提供思考的空间.

(二)问题化教学过程应遵循数学内部逻辑

问题化教学过程,主要依靠问题促进学生的思维活动,达成认知的过程,除了要立足学情外,也要遵循数学内部逻辑.比如,对四边形→平行四边形→菱形(矩形)→正方形,要遵循的数学内部逻辑是特殊化,而从研究方法上看,四者均从定义、性质、判定、应用四个方面着手,后三者又从属于数学内部逻辑的并列关系.考虑到一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数等的并列关系,本文只探究了一次函数模型(其他特殊函数模型思想也一样),为将来深度探究函数模型提供学习的视角和方法.本节课的教学内容,如条件从明确到弱化、实际问题从浅到深等,也决定了教学过程遵从层层递进以及特殊化的数学内部逻辑关系.

(三)通过问题化教学,提升学生的核心素养

通过数学教学,不仅要让学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验,更重要的是让学生体会不同数学知识之间的联系,构建良好的数学知识体系,培育学生的数学核心素养.《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出,学生创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,要从义务教育阶段做起,贯穿数学教育的始终.课堂是学生开展学习活动的主要场所,在课堂教学中,采用问题串式的教学设计,提出层层递进的数学问题让学生思考,有利于学生探究思维的生成.而开放式的问题设计,可以有效地让学生进行独立思考并主动地去发现问题、提出问题,然后在生生和师生的互动中碰撞出解决问题的思维火花,进而培养学生的创新意识.教师应根据学生已有的学习经验,设计问题情境,让他们有问题可提,再由浅入深地引导他们解决问题,以拓展学生思维的深度,比如换个变量来看函数,这样可以培养学生的发散性思维,使他们具备内化函数的意识.

综上所述,让学生主动动手、动脑、动口的课堂,才是以学生为主体实现深度学习的课堂.

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