双调和算子组高阶谱的估计式
2021-01-15黄振明
黄振明
(苏州市职业大学 数理部， 江苏 苏州 215104)
在描述弦振动、热传导等许多物理现象时，最终都会归结到包含调和算子Δ的微分方程或方程组的谱问题。由于不同问题的离散谱代表了诸如物体振动的频率、粒子运动的势能等实际意义，因此，谱问题一直是微分方程理论研究的重点内容。近年来，国内外众多学者采用各种方法，对各自研究领域中含基本算子Δ的微分方程(组)的谱问题进行讨论，取得了诸多的理论成果[1-11]。文献[1]讨论了双调和算子的谱问题(也称作clamped plate问题)：(Δ2+v)u=Γρu，其中v是所论空间上的有界连续函数，ρ>0是权函数，Γ是离散谱，并得到了估计谱的一个隐式不等式。尽管双调和算子的谱问题研究成为热点已有几十年的历史了，但未见有学者对双调和算子组的谱问题进行讨论。因此，在文献[1]研究成果的基础上，笔者尝试探讨如下双调和算子组的谱问题：
(1)
其中i=1,2,…,l(l为大于或等于1的整数)，Ω⊂Rm(m≥2)是一个边界逐片光滑的有界区域，v是边界∂Ω的单位外法向量，x=(x1,x2,…,xm)，常数aij=aji，函数bij(x)=bji(x)(i,j=1,2,…,l)，且满足对任意l维向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξl)T，成立
(2)
(3)
μ1≤ρ(x)≤μ2，
(4)
上述v1、v2、μ1、μ2均为正实数。为推导方便，将下列一组l阶对角算子矩阵记为R1()=diag[,,…,]，R1(Δ)=diag[Δ,Δ,…,Δ]，R2(Δ)=diag[Δ2,Δ2,…,Δ2]，l阶对称系数矩阵维函数列向量则可将问题(1)写成下列矩阵形式：
(5)
1 准备知识
(6)
即有
(7)
(8)
利用算子Δ的运算性质，计算得
(9)
(10)
(11)
利用式(8)和(11)有
(12)
因为对i=1,2,…,n-1，成立Γi≤Γn，所以在式(12)中，用Γn替代所有的Γi(i=1,2,…,n-1)，有
(Γn+1-Γn)U≤4I。
(13)
2 引理
引理1 设ui是问题(5)对应谱Γi(i=1,2,…,n)的特征函数，则
(14)
证明利用分部积分、问题(5)的边界条件、Schwarz不等式和式(7)，得
即为引理1。
引理2 设ui是问题(5)对应谱Γi(i=1,2,…,n)的特征函数，则
证明利用分部积分，有
移项得
(15)
利用分部积分和式(2)，可得式(15)右端第二项
(16)
最后，利用式(2)、(15)、(16)和引理1，有
引理2得证。
引理3 对于I，有如下的估计上界
证明将φik的定义式代入Iik可得
由引理2得
引理3证毕。
引理4 对于U和Γi(i=1,2,…,n)，有下列不等式成立
证明由φik的定义，有
(17)
(18)
利用式(6)、(17)、(18)得
(19)
根据式(4)、Schwarz不等式和式(19)，有
(20)
最后，利用式(20)和引理1，得
化简即得引理4。
3 主要结果
定理1 设Γi(i=1,2,…,n+1)是问题(5)的前n+1个谱，则有高阶谱的显式估计式
(21)
(22)
证明利用引理3和引理4，从式(13)可得式(21)，在式(21)中用Γn来替代Γi(i=1,2,…,n-1)，即可得式(22)。
定理2 对于任意整数m≥2、n≥1，有谱的隐式估计不等式
证明选择参数σ>Γn，利用式(12)和U的定义，有
(23)
根据式(4)、(19)和Young不等式，有
(24)
(Γn+1-σ)U≤4I-V,
(25)
(26)
利用引理1和式(26)，有
(27)
(28)
根据式(27)和(28)，有
(29)
将式(29)和引理3中的估计式代入(25)，得
(30)
选取恰当的σ，使式(30)右端等于零，并用Γn+1替代其中的σ，化简即得定理2。
4 一般情形
将定理1、2的结论推广至如下任意阶调和算子组的离散谱问题
(31)
其中i=1,2,…,l,t≥2，且满足式(2)—(4)。采用与上述类似的讨论方法，通过推导，可得到问题(31)的离散谱与特征向量间的不等式关系，并最终推得如下的两个估计结论，证明在此省略。
定理3 设Γi(i=1,2,…,n+1)是问题(31)的离散谱，则有估计第n+1个谱Γn+1上界的显式不等式
定理4 对于问题(31)的第n+1个谱Γn+1，有下列隐式估计不等式
5 小结
笔者运用Rayleigh定理对问题(5)的高阶谱Γi(i为任意整数)进行讨论，得到用前n个谱来估计第n+1个谱上界的解析不等式，其估计系数与区域的度量无关。文献[1]讨论的问题恰是本文问题当l=1,a11=1时的特例，因此，本文结论是文献[1]结论的进一步推广，在力学和物理学中有更广的应用价值。
