基于动态遗传神经网络和灰色关联的板料成形多目标优化

孙士平，杨 威，胡 政

(南昌航空大学 航空制造工程学院，江西 南昌 330063)

0 引言

金属板料拉深成形存在起皱、破裂、回弹等质量缺陷，借助有限元模拟和优化技术进行基于代理模型的成形工艺优化能有效提高板料成形质量，避免传统工艺设计的反复试错[1-2]。但是，构造满足精度要求的代理模型通常要选取较多的样本并计算样本响应，而板料成形过程的非线性响应分析又较为耗时，这将导致构造代理模型的过程要耗费较高的计算成本，从而降低了成形工艺优化的效率。鉴于一次选取样本构造代理模型(静态代理模型)存在全局精度低和样本量过大等问题，采用更少的样本量动态构造满足精度要求的代理模型成为提高板料成形优化效率的一种有效途径，如Wang[3]采用多项式响应面模型代理板料成形过程，通过在迭代中更新优化解邻域样本实现了代理模型预测精度的逐渐提高，完成了汽车前板成形工艺优化；陈国栋等[4]构造出一种自适应径向基函数(Radial Basis Function, RBF)模型，通过动态更新当前优化解邻域的样本，提高了代理模型在该区域的预测精度，实现了薄板冲压成形优化；Hamdaoui[5]则通过动态增加优化解邻域和预测误差最大区域的样本数，逐渐提高了Kriging代理模型的预测精度，实现了板料成形工艺优化。上述研究多通过在迭代过程动态增添优化解邻域的样本来逐渐提高代理模型的局部预测精度，而板料成形优化常需要综合评估多个质量目标，各目标间的相互制约关系会使得多目标协调解位于单目标最优区域之外，仅提高动态代理模型优化解区域的局部精度不能有效地促进多目标优化收敛到非劣解解集。因此，如何从全局精度和局部精度两方面同时提高动态代理模型的预测准确性成为有效开展板料成形优化的关键。

自邓聚龙教授[6]首次提出灰色系统理论并给出灰色关联度构造案例后，多种灰色关联度计算式相继被提出并在应用中验证了其有效性[7-9]。张军锋等[10]采用灰色关联分析开展了复杂曲面抛光参数优化，而韦保磊等[11]则研究给出了灰色关联接近性公理的数学定义和灰色关联度的统一表述形式，为构造新型灰色关联度提供了理论指导。在板料成形多目标优化方面，谢延敏等[12]、赵茂俞等[13]、Baruah等[14]利用灰色关联分析结合实验设计方法将多目标优化转化为基于关联度的方案优选，通过关联分析从样本中筛选出一组最佳的工艺参数。但这些研究并没有采用优化方法获得板料成形多目标优化问题的新的优化解[15]，因此，如何基于灰色关联度定义构造多目标问题的迭代寻优算式还需要进一步研究。

综上所述，结合板料成形有限元模拟，本文提出一种逐步增补样本动态构造遗传BP神经网络(Genetic Algorithm optimization Back Propagation neural network, GABP)代理模型的建模方法，实现动态GABP模型预测精度的逐步提高；通过推导适于优化迭代的灰色关联度计算格式，结合动态GABP模型建立优化问题求解流程，并应用于NUMISHEET 93方盒件的拉深成形优化，实现板料成形优化效率的提高和成形质量的改进。

1 动态GABP建模

1.1 遗传BP神经网络

三层前馈(Back Propogation, BP)神经网络能以任意精度逼近任意连续函数[16]，具有强大的非线性映射能力，而采用遗传算法(Genetic Algorithm，GA)优化BP神经网络的权值和阈值可减少网络训练时间和避免陷入局部极值，能有效提高神经网络的泛化能力。由于板料成形是一个多工艺参数输入与多成形质量指标输出的高度非线性映射过程，需要采用适合近似高阶非线性问题的RBF、Kriging和神经网络等模型来构造成形过程的代理模型，鉴于Kriging模型构造复杂计算大，而RBF模型的近似精度受形状参数影响且不易选取[17]，因此，这里选取GABP神经网络来构造板料成形的代理模型。

常用的三层BP神经网络如图1所示，包括输入层、隐含层和输出层，层层之间通过权值连接，各层分别包含M、N和K个神经元。取隐含层和输出层的激励函数分别为tansig函数和purelin函数，则有BP神经网络的映射表达式为：

k=1,2,…,K。

(1)

(2)

1.2 样本动态增补方法

代理模型预测精度依赖于样本的数目与分布，更多的样本在提高模型准确性的同时也增大了实验仿真成本，因此，如何用尽可能少的样本建立满足精度要求的代理模型成为构造代理模型的主要挑战。采用拉丁超方实验方法能获得空间均布的样本集合，但建立满足精度要求的GABP模型需要采集多少样本却没有定量化描述。为此，本文提出一种逐步增加样本的动态样本增补方法来实现以较少的样本建立满足精度要求的GABP模型。

首先，参考文献[18]取初始样本m=M×N，使用拉丁超方实验方法采集初始样本m和检验样本p，建立GABP模型；其次，进行模型精度验证，若不满足收敛要求，则按一定的判据增补样本，重新构造GABP模型，直到模型精度满足要求。

样本动态增补按模型精度分两步处理。当模型全局精度不收敛时，则在设计域内按最大最小距离准则[19]均匀增加Δm个样本，以提高模型的全局预测精度；当模型全局精度收敛而局部精度不收敛时，则将当前优化解增补为样本，以改善模型局部最优区域的预测精度。样本增补示意如图2所示。

1.3 构造动态GABP模型

构造动态GABP模型的主要步骤如下：

(1)设定初始样本m、检验样本p以及增补样本Δm。基于拉丁超方实验方法设计样本，通过实验仿真获得各样本的响应值。

(2)建立设计变量与目标响应的GABP模型。

(3)GABP模型全局收敛性判定。按式(3)用复判定系数R2对模型的训练精度和检验精度进行收敛判断，若不收敛，则添加Δm个样本，转步骤(2)。

(3)

(4)GABP模型局部收敛判定。按式(4)用优化解的相对误差对模型局部精度进行收敛判定，若不收敛，则将当前优化解x*添加为样本，转步骤(2)；若收敛，则保持GABP模型并输出优化结果。

(4)

2 多目标处理的灰色关联分析

通常将多目标优化问题数学描述为：

miny(x)=(y1(x),y2(x),…,yK(x))T;

s.t.

xL≤x≤xU

x=(x1,x2,…,xM)T。

(5)

求解多目标问题式(5)可以获得一组非劣解，但这些非劣解却无法直接使用，仍需从非劣解集中寻找一个满意的协调解。为此，通过将多目标问题转化为单目标问题进行求解，成为获取满意协调解的一种简单有效的选择。本文结合灰色系统理论[6]，通过关联度来定量描述目标向量与Pareto解集的相似程度，将多目标问题转为最大化关联度的单目标问题进行求解。

2.1 灰色关联度迭代格式

i=1,2,…,K。

(6)

式中ρ∈[0,1]为分辨系数，用于调整比较环境大小，本文取ρ=0.5。进一步将关联系数进行平均化处理，得到比较序列yk与特征序列yo的关联度：

(7)

式中rk越接近1，说明两者的相关性越好，比较序列yk越接近特征序列yo。上述式(6)中的比较序列和特征序列均进行了归一化处理，式(7)中对各目标选取相同权重。

(8)

则多目标优化问题式(5)可以转换为最大化灰色关联度的单目标优化问题：

s.t.

xL≤x≤xU,

x=(x1,x2,…,xM)T。

(9)

2.2 基于动态GABP和关联度的优化流程

采用GA优化动态GABP代理模型，建立如图3所示的基于动态GABP模型和灰色关联度的优化流程。该流程中GA的种群数目为80，交叉概率取0.9，变异概率取0.04，最大进化代数100代。

2.3 函数测试

选取3个典型数学函数来测试动态GABP模型的预测精度、收敛性和优化效率。收敛精度取ε1=10-3，ε2=0.05。

Sphere函数f1(x)的全局最小值为0，表达式为：

(10)

Six-hump camel-back函数f2(x)有6个局部极小值，其中2个为全局最小值-1.031 6，表达式为：

(x1,x2)∈[-2,2]2。

(11)

Brain函数f3(x)有3个局部极小值，其中1个为全局最小值0.398，表达式为：

cosx1+10,

x1∈[-5,10],x2∈[3.5,15]。

(12)

按图3的优化流程对3个函数进行优化，取m=20，p=10和Δm=10。为进行比较，另外采用静态GABP模型和直接选用GA对函数进行优化。重复进行10次独立优化的统计数据如表1和表2所示。表1列出了优化解的中位数，表2给出了函数调用总次数的中位数，其中一次函数调用对应一个样本，总样本数包含检验样本p。静态GABP模型的样本数取为该模型连续10次成功获得优化解所耗费样本总数的平均值。

表1 不同方法获得的测试函数优化解

表2 不同方法耗费的函数调用总次数

由表1可知，3个函数的GA优化结果最接近全局最小值，静态GABP模型获得的优化解也较接近全局最小值，而动态GABP模型的计算结果明显好于静态GABP模型，但比GA优化结果稍差；比较表2数据，GA耗费的函数调用次数是动态GABP模型的30倍以上，而动态GABP模型耗费的总样本数仅为静态GABP模型的80%左右。结合表1和表2数据说明，动态GABP模型用比静态GABP模型更少的总样本数获得了更接近于全局最优解的优化结果，表现出明显好于静态GABP模型的收敛性和优化效率。

以f1(x)为例，图4给出了动态建模精度收敛过程，图5给出了优化迭代收敛曲线。从图4看到，总样本数为30时，模型训练精度大于ε1=10-3不满足要求，增补Δm=10个样本，总样本数达到40时，训练精度和检验精度均小于ε1满足要求，但优化解的局部精度大于ε2=0.05不满足要求，将该优化解增补为样本，在总样本数为41时模型训练精度和检验精度均满足要求，但局部精度仍不满足要求，继续将当前优化解增补为样本，在总样本数为42时，获得全局和局部精度都满足要求的动态GABP模型及优化结果。从图5可以看到优化过程平稳收敛到较大的灰色关联度。图4和图5说明基于动态GABP模型和关联度的优化流程是可行有效的。

以f2(x)为例分析m和Δm对动态GABP模型所需总样本数的影响。表3给出了优化f2(x)函数耗费的总样本数均值，为20次独立优化统计结果。

表3 不同m和Δm时优化f2(x)耗费的总样本数

表3数据显示，优化函数所需总样本数随m或Δm的增大而增加，但Δm增大对总样本数的影响要强于m。采用较小的m和Δm组合能降低总样本数需求，但会增加构造GABP模型的成本，建议采取偏小的m与偏大的Δm组合来平衡所需总样本数与动态构造GABP模型的次数，如表3中m=30与Δm=5、m=40与Δm=2组合。

考虑式(13)所示f4(x)、f5(x)函数构成的两目标优化问题，取m=20，p=10，Δm=2，按图3流程优化获得优化解x*=(1.53,1.432 1)T和相应的目标响应值(7.867 4,2.527 6)T，耗费总样本数为44。动态GABP模型的精度迭代收敛过程如图6所示。可以看到，随着样本总数的增加，模型的精度不断提高，在总样本达到44个时模型全局精度和局部精度同步收敛。图7为灰色关联度的迭代收敛曲线，目标函数在优化过程中逐渐收敛到最大值。图8给出了优化目标在Pareto解集中的位置。

0.25x1+20,

(13)

采用44个总样本构建静态GABP模型并进行10次独立优化，中位数的优化解为x*=(1.436 8,1.392 7)T，相应的目标值(8.247 7,2.218 7)T在Pareto解集中的位置如图8所示。该静态GABP模型的训练精度0.001 3、检验精度0.006 9和局部精度0.050 1均不满足收敛精度要求，明显差于动态GABP模型，说明相同样本量下动态GABP模型的预测精度更高，而动态GABP模型结合灰色关联度的多目标优化流程能获得Pareto解集的协调解，优化过程平稳。

3 方盒件成形多目标优化

将基于动态GABP模型和灰色关联的多目标优化设计应用到板料成形优化中，以NUMISHEET 93标准题库中的方盒件成形为例进行研究。该实例包含模具尺寸和板料性能参数，初始设计方案如表4所示[20]。应用DYNAFORM软件建立如图9所示的方盒件成形有限元模型，基于仿真数据构建动态GABP模型并开展方盒件成形的多目标优化。板料为DP600低碳钢，本构关系为σ=565.32(0.007 117+εp)0.258 9，单元类型选BT壳单元，拉深速度为5 100 mm/s，行程为40 mm。仿真计算获得板料在对称轴和对角线方向(如图10)成形前后的边界变化量DX，DY，DD1如表5所示，与文献[20]的实验数据相比，相对误差小于3.5%，说明有限元模拟的结果足够准确，能有效替代板料成形实验。

表4 板料性能与模具工艺参数

表5 方盒件拉深成形仿真数据与实验结果比较

3.1 方盒件成形优化建模

方盒件成形质量受较多因素影响[1]，其中以压边力、凸模圆角半径、板料与凹模间摩擦系数的影响最为显著[21]，本文以这3个因素为设计变量x=(x1,x2,x3)T开展优化，各设计变量取值如表6所示。

表6 变量取值范围

方盒件成形存在起皱、破裂及不均匀减薄等质量问题，鉴于控制不均匀减薄能预防破裂[20]，本文基于有限元模型选取方盒件成形的减薄和起皱指标作为成形质量优化的目标函数。

减薄指标函数f1是板料厚度的减薄率，

(14)

式中：t0、te分别为单元初始厚度和成形后厚度；N为成形后单元总数。

起皱指标函数f2是成形后板料起皱的单元数与总单元数之比，参考成形极限图[22](如图11)，有：

(15)

显然，指标f1和f2均为成形工艺参数的隐式函数，且为非负，值越小说明成形厚度越均匀、起皱单元数越少，表明成形质量越好。本文采用有限元分析计算指标f1和f2。则减薄和起皱指标最小化的方盒件成形优化模型为：

minf(x)=(f1(x),f2(x))T。

s.t.

x=(x1,x2,x3)T。

(16)

3.2 方盒件成形优化计算

取参数m=30，p=10，Δm=5，ε1=10-2，ε2=0.05。结合图3优化流程进行优化求解，在总样本数增加到65时动态GABP模型精度满足收敛要求，获得优化解x*=(41.813 9,8.918 0,0.162 7)T和对应目标响应值(0.823 6,0.375 3)T，模型局部精度为0.001 8。图12给出了灰色关联度迭代收敛曲线，可看到优化过程稳定收敛到一个较大的关联度值。图13为方盒件优化设计方案与初始设计方案的拉深成形仿真结果，其中，初始设计方案x0=(19.6,8,0.144)T对应的目标响应值为(0.987 8,0.409 1)T。与初始方案相比，优化的方盒件完全消除了初始方案在底部区域存在的不均匀减薄现象，减薄指标降低了16.62%，缩减了严重起皱区域并将其控制在需裁剪区，起皱指标降低了8.26%，有效地改善了成形质量。

以65个总样本建立静态GABP模型优化获得协调解x*=(44.660 1,8.997 0,0.158 3)T和对应目标值(0.818 7,0.376 1)T。该模型的训练精度0.027 9和检验精度0.047 7均不满足要求精度ε1=0.01，局部精度0.008 7也低于动态GABP模型的0.001 8，说明动态GABP模型能以相对较少的样本获得比静态GABP模型高的预测精度，避免超量选取样本造成的计算浪费，提高了计算效率。

4 结束语

本文采用逐步增补样本的方法建立了预测精度逐渐提高的动态GABP代理模型，样本使用量仅为静态GABP模型的80%，提高了计算效率；结合灰色关联度迭代计算式，建立了动态GABP模型和GA联合的优化求解流程，开展了方盒件成形优化。计算结果表明，关联度迭代新格式能实现优化过程平稳收敛，方盒件成形优化方案的减薄和起皱指标分别降低了16.62%和8.26%，成形质量明显改善。下一步将开展方盒件成形实验，验证成形质量改进效果。