eLoran系统ASF网格应用算法研究

李 云 华 宇 燕保荣 郭 伟

（1.中国科学院国家授时中心，陕西西安710600；2.中国科学院大学，北京100049）

1 引 言

2018年，美国总统特朗普签署了《国家安全与弹性授时法案》。该法案要求交通部在两年内建设针对GPS 的地基备用授时系统。这在一定程度上宣布了美国的重启罗兰计划，同时提高罗兰系统的精度使其与GPS 系统相当。继BPL 和长河二号系统的eLoran 升级改造之后，我国也开展了高精度地基授时方面的研究，计划扩建eLoran 发播台满足eLoran 信号的全国土覆盖，同时要提高eLoran 系统的精度。

国内外专家对ASF 网格进行了一系列研究。2005年，Gregory William Johnson 等人通过大量测试数据分析二次时延的空间、时间和方向变化［3］。2012年，Hargreaves C 等人提出收集足够测量数据做出高精度ASF 数据库，能保证在海上定位结果优于10m（95%）［4］。还有专家学者从节省ASF 网格数据库的成本出发，分析用静态数据和动态数据建立ASF 网格两种不同的方法［5～8］。

有了ASF 数据库，用户确立所在网格根据内插算法解算出ASF 值，修正信号传播时延，从而提高授时精度。在ASF 数据库既定的情况下，内插算法本身也会引入新的误差，本文仿真分析不同空间插值算法带来的误差，并对算法进行比较，得出双线性插值算法误差最小，反距离插值算法误差最大。

2 eLoran 信号传播时延

eLoran 信号从发射天线到接收天线所经历的时间称为传播时延Tp，如式（1）所示。假设信号在无限大空气介质中传播时，由发射天线到接收天线所经历的时间称为一次时延（Primary Factor，PF），又称为基本时延；当信号在海平面传播时，传播时延与一次时延之差，称为二次时延（Secondary Factor，SF）反映了海平面对传播时延的影响；当信号在地平面传播时，传播时延与一次时延之差称为附加二次时延（Added Secondary Factor，ASF）反映了地平面对传播时延的影响［9］。

一次时延PF 计算公式如式（2）所示［10］

式中:C——真空中的光速，通常C=0.299 792 458km/μs；d——信号传播的大地线距离；ns——地面的大气折射指数，国际标准大气值ns=1.000 315。

二次时延SF/附加二次时延ASF 的计算公式如式（3）所示

式中:ω——角速度，单位rad/s；W——衰减函数，与信号传播距离、传播路径介质的电导率、介电常数有关；argW——地波衰减函数W 的相位，单位rad；f——载波信号的频率，100kHz；d——信号传播的大圆距离，单位km；σ——信号传播路径上介质的电导率；ε——信号传播路径上的介电常数。

3 空间插值算法

常用的空间插值算法，包括双线性插值算法、反距离权值算法IDW（Inverse Distance Weighted，IDW）、Junkins 算法和自然邻域插值算法等。这里重点对双线性插值算法、反距离权值算法IDW、Junkins 算法进行仿真分析。

3.1 双线性插值算法

双线性插值算法是在x，y两个方向分别进行一次线性插值，如图1 所示。先x方向，后y方向插值，与先y方向，后在x方向插值，插值效果相同，其结果与插值顺序无关［11］。

图1 双线性插值算法示意图Fig.1 Bilinear interolation algorithm

四个顶点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），其ASF 分别为C1，C2，C3 和C4，待插值点（x，y）的ASF 如式（4）所示

其中，

3.2 反距离插值

反距离权重IDW 插值使用一组采样点属性的线性权重组合来确定待插值点的属性，权重是一种反距离函数。这里反距离函数的幂值，取值为2。幂参数越高，可进一步强调最近点对插值点的影响，因此，邻近数据将受到更大影响，拟合的表面更加详细（更不光滑），内插值更接近相邻采样点的值。反之，幂参数越小，更远距离的采样点对插值点的影响越大，拟合的表面更光滑。

IDW 插值方法假定每个输入点都有着局部影响，这种影响随着距离的增加而减弱。算法描述:现有n个离散点Z（x1，y1），Z（x2，y2）…Z（xn，yn），需要对插值点（x，y）进行插值预测，求出Z（x，y），过程如下。

1）利用距离函数求出各离散点与插值点的距离，这里采用欧氏距离如式（5）所示

式中:（x，y）——插值点坐标；（xi，yi）——已知点坐标。

2）在幂参数确定的情况下，利用权重函数计算各个离散点的权重如式（6）所示

式中:n——离散点个数。

3）计算插值点的插值如式（7）所示

式中:Wi——第i采样点的权重；Z（xi，yi）——第i点的属性值。

3.3 Junkins 权值算法

Junkins 加权法是GPS 系统中用户穿刺点电离层垂直延迟的计算方法。Junkins 加权法与反距离插值算法相比，计算量较小，与简单的双线性加权法相比，其空间相关性较强［12］，如图2 所示。其中，1～4 分别指网格结点，其对应的ASF 值分别为ASF1～ASF4；A 点为要拟合的点，其ASF 用ASF（φA，λA）表示为

图2 Junkins 加权算法示意图Fig.2 The Junkins weighting method

式中:W（x，y）——内插的加权函数。

4 算法仿真分析

4.1 双线性插值算法仿真

4.1.1 不同的网格大小

双线性插值算法在不同大小网格内的插值误差分析如图3 所示，从上到下依次是网格大小为0.5°，0.2°和0.1°，信号传播路路径是平均陆地电导率σ=0.003，ε=22 误差范围分别为（0～6）ns，（0～1）ns 和（0～0.2）ns，显然网格越小，ASF 网格的精度越高。误差最小的区域分布在网格的四个顶点附近，误差最大的区域集中在网格的中心部位。因此相对来说离网格顶点越近，误差越小，距离网格顶点越远误差越大；距离网格中心越近误差越大，距离网格中心越远，误差越小。

4.1.2 不同的传输路径

图3 双线性插值算法（不同的网格大小）Fig.3 The bilinear interpolation algorithm （different mesh sizes）

双线性插值算法应用在海水路径、平均陆地和甚干燥地路径三种路径上的0.1°网格中的插值结果的误差如图4 所示。海水介质的误差范围在（0～0.1）ns 左右，平均陆地和甚干燥地在（0～0.2）ns 左右。随着路径的电导率变小，路径的传输介质对信号的阻力增强，同时ASF 网格的误差也变大。因此海水路径对信号的阻力最小，ASF 值最小，相应的ASF 网格计算的误差最小；随着信号传输路径上介质对信号的阻力逐渐变大，ASF 值变大，相应的ASF 网格计算结果的误差逐渐变大。从网格中心处向外部误差逐渐变小，呈现处出一定的层次感。

图4 双线性插值算法（不同传输路径）Fig.4 The bilinear interpolation algorithm （different path）

4.2 反距离插值算法仿真

4.2.1 不同的网格大小

对反距离权值算法的仿真如图5 所示，从上到下依次是网格大小为0.5°，0.2°和0.1°，误差范围分别为（0～40）ns，（0～15）ns 和（0～8）ns。显然网格越小，ASF 网格能实现的精度越高。IDW 算法网格误差分布较分散，网格中靠近顶点的分散区域误差最小，同时网格的中心部分误差最小，误差最大的区域包括网格的侧边的几个分散区域。

图5 反距离加权插值算法（不同网格大小）Fig.5 IDW interpolation algorithm （different mesh sizes）

4.2.2 不同的传输路径

针对海水路径、平均陆地和甚干燥地三种路径上，网格大小0.1°时的误差情况如图6 所示。不同的信号传输路径ASF 网格内插结果的误差:海水介质的误差范围在（0～2.5）ns，平均陆地的误差范围在（0～6）ns 和甚干燥地的误差范围在（0～8）ns。从甚干燥地到海水随着路径的电导率变小，路径的传输介质对信号的阻力减小，同时ASF 网格的误差也变小。因此甚干燥地路径对信号的阻力最大，相应的ASF网格计算的误差最大，随着信号传输路径上介质对信号的阻力逐渐变小，ASF 网格计算的误差逐渐变小。

4.3 Junkins 插值算法仿真

4.3.1 不同的网格大小

junkins 算法的结果误差分析如图7 所示，从上到下依次是网格大小为0.5°，0.2°和0.1°，误差范围分别为（ -20～20）ns，（ -10～10）ns 和（ -5～5）ns，网格越小，ASF 网格能实现的精度越高。误差分布的规律性介于双线性插值差算法和反距离插值算法之间，网格内左下角部分网格误差小，右上角区域网格误差大，误差的分布较集中。

图6 反距离加权插值算法（不同传输路径）Fig.6 IDW interpolation algorithm （different path）

图7 Junkins 算法（不同网格大小）Fig.7 The junkins weighting method（different mesh size）

4.3.2 不同的传输路径

按照网格0.1°时计算的海水路径、平均陆地和甚干燥地路径的误差情况如图8 所示，海水介质的误差范围在（ -2 ～2）ns，平均陆地的误差范围在（ -5～5）ns和甚干燥地的误差范围在（ -5～5）ns。随着路径的电导率变小，路径的传输介质对信号的阻力增强，同时ASF 网格的误差也变大。因此，海水路径对信号的阻力最小，相应的ASF 网格计算误差最小，随着信号传输路径上介质对信号的阻力逐渐变大，ASF 网格的计算误差逐渐变大。

图8 Junkins 算法（不同传输路径）Fig.8 The Junkins weighting method（different path）

5 算法比较

首先在待测试区域建立4 个网格，每个网格经纬度方向的大小0.2°，待测试区域到发播台的信号传输路径属于平均陆地。比较三种网格应用算法如图9 所示，从上到小依次是IDW 插值算法、Junkins 插值算法和Bilinear 插值算法，从最左边一列看出三种算法误差分布IDW 插值算法误差分布的规律性最差，误差最小的区域集中在网格中心部位，误差大的区域分散在网格的边缘区域；Junkins 算法的规律性介于二者中间，误差最小的区域集中在网格的左下部分，误差大的区域集中在网格的右上部分；双线性算法误差分布的规律性最好:离网格顶点越近，误差越小，离网格顶点越远，误差越大，从网格中心向外部扩散开来误差逐渐变小。

图9 中间一列是色柱，反距离插值算法的误差范围是（0～15）ns；Junkins 算法的误差范围是（ -10 ～10）ns；双线性插值算法的误差范围是（0～1）ns，双线性插值算法引入的误差最大。

图9 中，右侧3 个图分别是三种算法的误差概率分布函数曲线图。IDW 插值算法误差不大于20ns，95%的误差小于12ns，Junkins 插值算法误差不大于15ns；95%的误差小于10.7ns，Bilinear 插值算法误差不大于1.2ns，95%的误差小于0.9943ns。三种算法分析比较得出IDW 插值算法误差最大，Junkins 算法误差次之，双线性插值算法的误差最小。

图9 三种插值算法的比较示意图Fig.9 The comparison of three interpolation algorithms

6 结束语

通过以上仿真分析比较，双线性插值算法的误差最小，而且呈现一定的规律型从网格中心到网格边缘误差逐渐减小；反距离插值算法优于要计算距离算法计算量最大，误差最大，而且误差的规律性差；Junins 算法计算量、误差大小以及误差的规律性在三种算法中居中。