例谈高中数学教学中的问题设计

徐德明

摘要：“问题是数学的心脏。”在高中数学教学实践中，以努力“理解数学”“理解学生”为基础，借助现实情境、数学实验、已有知识（问题），围绕教学重难点，针对解题错误来设计问题，启发学生思考，引导学生学习。

关键词：高中数学;问题设计;理解数学;理解学生

“问题是数学的心脏。”在数学教学中，利用问题启发学生思考，引导学生学习，可以增强学生的问题意识，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力;激活学生的思维，提升学生的思维能力;使学生不再被动地接受知识，而是主动地探求新知，从而完成“再发现”“再创造”，实现意义建构，发展探究精神。

在高中数学教学实践中，笔者以努力“理解数学”“理解学生”为基础，采取以下策略设计问题。

一、借助现实情境设计问题

高度抽象的特征常常使学生难以理解数学知识。对此，可将数学知识还原到现实情境中，使其更加具体、直观，让学生增加感性认识。因此，可借助现实情境设计问题，引导学生学习。

比如，学生初学立体几何时，普遍空间感不强，想象力不够。而现实世界就是一个立体世界，教室就是一个典型的几何体，其中，点、线、面的位置关系非常丰富，也非常清楚。教师可充分利用教室情境设计问题，引导学生学习。以“平面的基本性质”的教学为例，可借助教室情境设计如下问题：

1.用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，这说明平面具有什么性质？或者说，这利用了平面的什么性质？

2.将一把尺子置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，这说明平面具有什么性质？或者说，这利用了平面的什么性质？

3.教室内墙角处有三个平面，它们有一个公共点，任意两个有且只有一条过该点的公共直线，这说明平面具有什么性质？

4.椅子放不稳，可用两根细绳沿椅子四个脚的对角拉直，通过两根细绳是否相交检查椅子的四个脚是否在同一平面内，这说明平面具有什么性质？或者说，这利用了平面的什么性质？这里的性质和前面的性质有关系吗？

由此，可以引导学生得出平面的三个基本性质以及第一个性质的一个推论：

1.过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

2.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过該点的直线。

4.经过两条相交直线，有且只有一个平面。

二、借助数学实验设计问题

要使数学知识更加具体、直观，还可以设计合适的数学实验，给学生观察、操作的机会，强化学生的学习体验。因此，可借助数学实验设计问题，引导学生学习。

例如，教学“椭圆的定义和标准方程”时，可让学生用两枚图钉将一条不可伸缩的细绳的两端固定在白纸上，使绳子不绷紧，然后用铅笔将绳子拉紧并沿着绳子在白纸上画图。借助这一数学实验，可提出如下问题：

1.得到的图形是什么？

2.在画图的过程中，有哪些变化的量和不变的量？

3.改变图钉之间的距离，得到的图形有什么不同？绳子的长度和图钉之间的距离有什么关系？

4.固定绳子时将绳子绷紧，会得到什么图形？

5.我们之前是如何得到圆的方程的？请尝试求出椭圆的方程（比较不同的建系方法）。

6.椭圆标准方程中的量在图形中如何体现？

借助数学实验，以问题为导向，可让学生在动手动脑的过程中充分理解椭圆的定义以及标准方程。

这里值得一提的是，有了几何画板、GeoGebra等数学软件，数学实验也可不借助实物操作，而借助模拟操作来设计和完成。

三、借助已有知识（问题）设计问题（变式）

奥苏伯尔说过：“影响学习的最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点并据此进行教学。”数学教学中的问题设计，除了要考虑内容是否便于学生理解，还要考虑学生已经知道（掌握）了什么，即知识背景。因此，可借助学生的已有知识（问题）设计问题（变式）。这也是“真学习”或“学习进阶”理念的要求。

例如，苏教版高中数学教材《数列》一章中，有这样一道题：“已知无穷等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么数列{can}（其中，c为常数，且c≠0）是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是什么？”这个问题对很多学生来说很容易解决。教师可借助该问题设计变式（拓展延伸）问题，帮助学生深化理解、触类旁通。变式问题如下：

1.已知数列{an}、{bn}是无穷等比数列，那么数列{anbn}、{anbn}、{pan+qbn}、{an+an+r}也是等比数列吗？

2.已知数列{an}、{bn}是无穷等差数列，那么数列{pan+qbn}、{an+an+r} 也是等差数列吗？

四、围绕教学重难点设计问题

当然，为了提高教学效率，不必处处设问，还应该适当讲授。为此，可依据教学目标和学习情况确立教学重难点，然后围绕教学重难点，变换角度设计问题，促进学生理解知识，帮助学生克服困难。

例如，《等差数列的概念》一课，教学重点是让学生掌握等差数列的概念。为此，可聚焦数学情境，让学生观察具体的等差数列，思考如下问题：

1.从第一项开始依次观察，书本上引例中的数列各项都有怎样的变化？

2.各项依次变化的程度有什么共同点？你能否为该数列命名？

3.判断数列“1，2，3，5，6，7，…”是否为等差数列？

4.判断数列“0，-1，-2，-3，…”是否为等差数列？

5.判断数列“1，1，1，1，1，1，…”是否为等差数列？

6.能否模仿这样的特点给出一个数列？

在问题的引导下，通过对具体数列特点的抽象、概括以及运用，学生充分理解了等差数列的概念。

再如，《函数的零点》一课，学生容易理解零点的定义及其中蕴含的函数与方程思想，但是很难理解零点判定定理条件和结论的内涵和价值，难以稳固掌握零点判定定理。对此，可设计问题，让学生充分辨析零点判定定理的条件和结论。问题如下：

1.从函数零点判定定理中可以看出，函数具备了哪些条件，就可断言它有零点？

2.如果去掉条件“图像连续不断”，会怎么样？

3.如果去掉条件“f（a）f（b）<0”呢？

4.如果具备上述两个条件，函数有多少个零点？是否恰有一个零点？

5.若连续函数 f（x） 在[a，b]上有零点，是否一定有 f（a）f（b） <0 ？ 若恰有一个零点呢？

6.函数的零点是否都可由上述定理判断？

五、针对解题错误设计问题

学生在学习（如解题）中出现错误在所难免。教师要帮助学生纠正错误，并且避免学生再犯类似的错误。为此，教师首先要弄清楚学生出错的原因，然后要设计有针对性的问题，引导学生在解决问题的过程中明晰出错的原因，获得正确的认识（解法），同时提高思维能力。

学生解题错误的原因主要有概念理解偏差、相似问题干扰、认知水平不够等。对于概念理解偏差，可抓住定义中的关键词设计问题，引导学生深入理解概念的内涵;也可引导学生举出符合概念定义的例子或构建概念体系，明确概念的外延。对于相似问题干扰，可将两个（类）问题归到一起，激发学生的认知冲突，引导学生比较分析两个（类）问题的异同点，厘清认识。对于认知水平不够，可搭建“台阶”，降低思维的跨度，减缓思维的坡度。

例如，高一《数列》习题课上，学生解答问题“已知数列{an}满足a1=1，an+1-an=n，求数列{an}的通项公式”时，出现了这样的錯误：an=1+（n-1）n=n2-n+1。这说明学生没有理解等差数列定义中“同一个常数”的含义，将{an}当成等差数列来求通项公式了。对此，可设计如下问题：

1.判断下列数列是否为等差数列：①1，2，3，4，5，6，…;②1，2，4，7，11，16，22，29，…。

2.若数列{an}满足an=n2-n+1，判断该数列是否为等差数列，并说明理由。

3.我们是如何推导等差数列的通项公式的？本题中的条件“an+1-an=n”与等差数列定义的表达式有何相似之处？这对我们求本题中数列{an}的通项公式有什么启发？

4.若将本题中“an+1-an=n”这一条件改成“an+1an=nn+1”，如何求解？

5.一般地，若数列{an}满足an+1-an=d（d为常数），或an+1an=q（q为常数），或an+1-an=f（n），或an+1an=f（n），则数列{an}的通项公式分别是什么？

这里，问题1通过正、反两个例子让学生具体感受等差数列等距离递推的本质属性，从而明白自己的错误所在;问题2让学生通过推理得到矛盾，从而确认自己的错误事实，同时培养学生追求严谨的科学精神;问题3搭建“支架”，引导学生通过类比获得解决问题的方法;问题4为变式，引导学生对比变化解决问题的方法;问题5引导学生总结梳理不同的问题类型和解决方法。