浅谈常微分方程教学中解的存在唯一性定理

薛帅帅 邓海云

摘要物理、生物、化学以及工程技术中的大量问题，如果用数学语言加以精确描述，常常会出现微分方程，而解的存在唯一性定理又是解微分方程的前提和理论基础。本文主要探讨在常微分方程课程教学中证明解的存在唯一性定理的证明思路，目的是通过补充说明使证明更容易理解。解的存在唯一性定理的证明过程，提供了一个全面锻炼学生数学思维习惯与能力的契机，希望学生在学习过程中能更加深刻的理解其中所包含的想法，培养善于思考的学习习惯。

关键词 常微分方程 解 存在性 唯一性

中图分类号：G424文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.27.039

On the Existence and Uniqueness Theorem of Solutions in the Teaching of Ordinary Differential Equations

XUE Shuaishuai， DENG Haiyun

（School of Statistics and Data Science， Nanjing Audit University， Nanjing， Jiangsu 211815）

AbstractIf a large number of problems in physics， biology， chemistry and engineering technology are accurately described in mathematical language， differential equations often appear， and the existence and uniqueness theorem of solutions is the premise and theoretical basis for solving differential equations. This paper mainly discusses the proof idea of proving the existenceand uniqueness theorem ofsolution intheteachingofordinarydifferentialequation，inordertomake theproofeasier to understand through supplementary explanation. The proof process of the existence and uniqueness theorem of solution providesanopportunitytocomprehensivelyexercisestudents’mathematicalthinkinghabitsandabilities.Itishopedthatstudents canmoredeeplyunderstandtheideascontained initandcultivatethinkinglearninghabitsinthelearningprocess.

Keywordsordinary differential equation； solution； existence； uniqueness

常微分方程是一門非常重要且实用的课程，与分析学有着天然的血缘关系，常微分方程是伴随微积分的发展而产生并逐步完善的。尤其当今时代计算机的迅速发展，更是为这门课的理论研究以及实际应用提供了强有力的工具。同时，常微分方程还与控制、弹道计算，导弹飞行的稳定性、生态学等其他学科领域交叉发展，应用常微分方程理论取得了丰富的发展

我们知道，常微分方程发展初期确实是希望用初等函数甚至用超越函数去表示微分方程的解。但是，常微分方程能用初等解法求解的类型少之又少，大量的常微分方程是不能用固定的方法进行求解的。然而，实际往往又需要我们对这些方程进行求解，常微分方程开始转而求定解。那么在求定解之前，首先我们就要考虑两个非常重要的问题，方程是否有解？解是否唯一？如果这个方程存在唯一解，但是很难求解出来，我们可不可以退而求其次找到它的近似解，计算机使得微分方程的近似解法具有了重要的现实意义。本文谈及的解的存在唯一性定理恰恰又是这些问题的理论基石，解存在是进行近似计算的前提条件，解唯一又保证近似计算所得的解即是所需要的解。本文目的主要帮助学生理清证明解的存在唯一性定理的证明思路，尤其强调证明过程中所包含的求近似解的迭代方法。

解的存在唯一性定理一直是本门课程的一个重点以及难点，究其原因在于定理证明过程中涉及很多相关知识点的灵活运用。这五个步骤分散了理解定理的难度，同时又是一个有机的整体。这也需要我们在今后的教学中，更加注重适应学生的思维习惯。当然，除了本文所讲的方法之外，还有其他方法，比如使用压缩映像原理证明，都是非常经典的方法，但是后者可能需要后续课程泛函分析关于完备性，距离等概念的使用，鼓励数学系学生在学完相关概念后，再次研究一下解的存在唯一性定理的其他证明方法，会发现证明过程会更加简洁。当然，关于放宽定理条件，能得到什么结论，同样是数学系学生应该去琢磨思考的问题。

由于课程课时的限制，本节内容，一般在4个课时左右，先给学生讲述定理的实际意义，接着陈述定理的内容，在证明过程中，分散难点，在整体结构上去理解五个命题的一致性，先从思想上引导学生去深入思考，突出其中蕴含的迭代的想法，根据面向的不同层次的学生，强调相应的细节证明，既保证了授课效果，同时也节省了课时。在引导学生思考，打开思路的过程中，要善于肯定学生的奇思妙想，增强学生学习数学的自信心，鼓励学生共同参与证明细节的补充，教师要善于通过上课教学的节奏变化，使用适当的教学手段和方法，充分调动学生的上课学习积极性，让学生从被动听讲到积极主动参与到学习思考。在学生掌握定理的本质想法后，通过追加注记的方式，通过具体的例题，[5]再次加深理解的存在唯一性定理的条件，结论以及应用等内容。

*通讯作者：邓海云

基金项目：2020年度国家自然科学基金项目“非线性薛定谔方程的可约化的KAM环面”（12001275）

参考文献

[1]王高雄.常微分方程.第3版[M].高等教育出版社，2006：75-102.

[2]孙清华，李金兰，孙昊.常微分方程内容、方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2006：96-131.

[3]叶彦谦.常微分方程讲义[M].人民教育出版社，1982：73-103.

[4]丁同仁，李承治.常微分方程教程（第2版）[M].高等教育出版社， 2004：63-89.

[5]庄万.常微分方程习题解[M].山东科学技术出版社，2003：170-207.