小物和小理的物理对话录(82)——从匀变速直线运动的函数图象说起

◇ 北京 何 龙 刘亚英 孟卫东(特级教师)

前言:小物和小理是两名普通的高中生,他们酷爱物理,在学习物理的过程中,小物经常向小理提出许多刁钻而有趣的物理问题,了解他们的故事也能让你的物理达到新的高度.

1 对话录

小物:小理小理!可算找到你了!

小理:怎么了?跑得气喘吁吁的.

小物:我想跟你吐槽一下,最近的物理课越来越不“物理”了!

小理:不会吧?我觉得挺好的呀.

小物:你没发现最近物理课都变成数学课了吗?一会儿函数图象,一会儿图象斜率,甚至还得搞清楚坐标轴截距的物理意义!听得我云里雾里……

小理:哈哈,数理不分家!你自己不也说了嘛,我们要弄清楚其中的物理意义.

小物:但我就是感觉怪怪的,物体运动就运动,我们去找它的运动规律就好了,画图、求斜率什么的感觉毫不相干啊.

小理:你要这么说,我就得批评一下你的态度了,我们学习的最终目的是解释我们看到的现象,解决我们遇到的问题,创造我们想要的事物.数学、物理这些学科只不过是知识领域相对独立而已,在面对问题时,不同的学科知识都要为我所用.

小物:你说得对……

小理:而且,数学是描述物理规律、解决物理问题的有效工具,我们需要用函数表达式描述不同物理量的作用关系,实验得到的不同函数图象可以极大地方便我们去分析现象背后蕴含的物理规律.

小物:你说得太笼统了,我不太明白.这样吧,我们刚学了匀变速直线运动的相关内容,里面有好多函数图象的分析我弄不太清楚,你能用它来解释一下吗?

小理:好,那咱们就用事实说话!

2 小理的解释

物理学中的函数图象有着双重身份,它既是数学上对变量函数关系的图形化展示,又是真实物理过程中某种规律的表征.如图1所示,同样都是对匀加速直线运动的图形化描述,选取作为描述主体的物理量不同,图象结构也不同,我们不妨来做一下简单分析.读图的第一步一定是弄清楚坐标轴分别代表哪些物理量,然后再做进一步分析.

图1 匀加速直线运动的不同函数图象表示方式

在图1中,三幅图的横轴均为时间t,纵轴分别为加速度a、速度v和位移x.由于纵轴物理量只有正负,所以我们可以判断该图只能描述一维运动情境,而物理量的正负则表示该矢量的方向,并不代表大小关系.在图1-甲中,随着时间的推移加速度始终恒定;在图1-乙中图象是一条倾斜的直线,斜率保持恒定,并且我们可以读到当t＝0时,物体的初速度为v0;而图1-丙则是一条曲线,单靠目测无法判定其函数特征.此外,利用微分思想我们还可以知道,图1-甲中函数图象与时间轴所围图形的面积表示对应时间段内速度的变化量;图1-乙中函数图象与时间轴所围图形的面积则表示对应时间段内位移的变化量.

或许你会有疑问,为什么不提图1-丙中函数图象与时间轴所围图形的面积呢?它有什么具体的物理意义吗?其实,当你提出这个问题,就已经开始尝试区分物理与数学的关系了.从数学上当然可以求解图1-丙中的面积大小,但那并没有实际的物理意义.要说清楚这件事,我们需要先区分一下位矢和位移.

简单来说,位移和位矢都是矢量,但二者是两个不同的概念,只不过在高中阶段我们并不对其做严格区分.如图2所示,位矢是在某一时刻,以坐标原点为起点,以运动质点所在位置为终点的有向线段,如OA、OB,它们对应于时间轴上的一点.而位移则是在一段时间内,从质点的初始位置指向末位置的有向线段,如AB,对应的是一段时间.这样我们不难分辨出,图1-丙中描述的是一段时间内位移演化过程,已经包含了随时间的积累.如果再求其函数图象与时间轴所围图形的面积,就是位移与时间的乘积关系,在物理学中并没有物理量与之对应.反观a-t图象和v-t图象,在极短时间内有Δv＝aΔt和Δx＝vΔt关系存在,就从物理上为数学函数图象的涵盖面积找到了实际意义.

图2 位移与位矢

自然界中有着各种各样的物理现象和物理过程,函数图象等数学工具,包括我们定义的各种物理量,都是我们描述问题、解决问题的人造工具.“工欲善其事,必先利其器”,好的工具会帮助我们更便捷地达成所求.我们要学会选择“学科工具”,以便见微知著,从不同的工具表现形式探究其背后的物理规律.