圆与椭圆两个几何性质的类比——椭圆中两直线斜率乘积为定值的应用

◇ 江苏 陈伟斌 张启兆

图1

因此,可以把圆看成是椭圆的一种特殊情形,将圆的某些重要的性质推广到椭圆中仍然有类似的结论.积累这些基本经验,有利于提升数学解题思维.本文通过类比圆的重要性质,探究出椭圆的两个重要结论,希望对读者有所帮助.

如图2-甲所示,若A,B是椭圆C上的两点,则线段AB称为椭圆C的弦;如图2-乙所示,当AB过椭圆的中心时,称线段AB为椭圆的直径.

图2

圆的性质1直径所对的圆周角是直角.如图3所示,AB是圆O的直径,P是圆O上一点,则∠APB＝90°.从解析几何的角度看,当直线PA,PB的斜率都存在时,kPA·kPB＝－1.

结论1如图4所示,在椭中,AB是椭圆的任意一条直径,点Q在椭圆上运动,当直线AQ,BQ的斜率都存在时,

图3

图4

证明设Q(x1,y1),B(x2,y2),则A(－x2,－y2),得所以

圆的性质2垂径定理:平分弦(非直径)的直径垂直于弦.如图5所示,圆O中若M是弦AB(AB不是直径)的中点,则OM⊥AB.从解析几何的角度看,当直线AB,OM的斜率都存在时,kAB·kOM＝－1.

图5

结论2如图6所示,在椭圆中,AB是椭圆的任意一条弦(不是直径),M是弦AB的中点,当直线AB,OM的斜率都存在时,.

图6

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),则

掌握这两个结论,摸清题目的背景,解题时就能快速找准方向,从而事半功倍.

例1(1)在椭圆中,A,B是椭圆的上、下顶点,P是椭圆上一点,若已知直线PA斜率为1,则直线PB的方程为________.

(3)在椭圆4x2＋3y2＝12中,已知M(1,1)是弦AB的中点,则弦AB所在的直线方程为________.

分析直接利用结论1和2求解.

解(1)如图7所示,由结论1可知,kPA·kPB＝因为kPA＝1,所以,且知点,所以直线PB的方程为.

(2)如图8所示,由结论1可知,kPA·kPB＝因为kPA＝1,所以,且知点B(2,0),所以直线PB的方程为,即3x＋4y－6＝0.

图7

图8

图9

点评

结论1和结论2沟通了椭圆中一些直线的斜率之间的关系.在解答题中结论要先证明再使用,填空题使用时要注意椭圆焦点在哪个轴上.

例2椭圆中,过原点的直线交椭圆于P,A两点,其中P在第一象限.过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长AC交椭圆于B.设直线PA的斜率为k.求证:对任意k＞0,PA⊥PB.

分析要证PA⊥PB,只要证kAP·kPB＝－1.因为即2kAB·kPB＝－1,故只要证明kAP＝2kAB即可.

证明如图10所示,设P(x1,y1),B(x2,y2),则A(－x1,－y1),C(x1,0),得

所以kAP＝2kAB.且知

所以kAP·kPB＝2kAB·kPB＝－1,所以PA⊥PB.

图10

点评

利用椭圆中两个斜率之积为定值的结论,可以优化解题思路.

例3已知椭圆的左顶点为A,过原点O的直线交椭圆C于P,Q两点,直线AP,AQ分别交y轴于M,N两点.以线段MN为直径的圆是否经过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

分析由结论1可知设kAP＝k,则,分别写出直线AP,AQ的方程,从而求出点M,N的坐标,进而求出以线段MN为直径的圆的方程,即可求出定点的坐标.

解以MN为直径的圆过定点F(±,0).如图11所示,设P(x0,y0),则Q(－x0,－y0),且 知

图11

因为A(－2,0),所以

设kAP＝k,则,所以直线PA的方程为y＝k(x＋2),所以M(0,2k),直线QA的方程为以MN为直径的圆为,即x2＋

点评

本题也可以设P(x0,y0),则Q(－x0,,然后求出直线PA,QA的方程,再求出以MN为直径的圆的方程,令y＝0,使问题得证.

小试牛刀已知椭圆的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,－1),则E的方程为( ).

解法1如图12所示,设AB的中点为M,则M(1,－1),因为F(3,0),所以kAB＝kFM＝.由结论2知,即a2＝2b2,又因为c2＝a2－b2＝9,解得a2＝18,b2＝9,故选D.

解法2设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝2,y1＋y2＝－2,

图12