高考物理之“以战略备战高考”讲座(５)——思维逻辑化,优化“物理脑”

◇ 浙江 傅雪平

上一讲,我们与同学们一起探讨了形象思维.形象思维与逻辑思维构成了物理思维的主要内容.这一讲,我们来谈谈关于高考物理复习中的逻辑思维.

1 逻辑思维与物理解题

一次解题犹如一场战役,我们派出侦察兵,探明敌情,画出了敌方的兵力、火力的分布图.接下来,我们要根据敌情,排兵布阵,模拟推演,制订出克敌策略.解题中制订解题策略的过程,就是一个逻辑思维过程,即对问题进行“定性”的过程.

逻辑思维始于形象思维,以图形为起点,切入问题的本质,实现对问题的突破.逻辑思维的目的,是进一步弄清物理对象、过程、状态的本质,发现并建立问题已知条件与问题目标的联系.通过一些基础的分析,比如受力分析、运动分析、功能分析、冲量与动量分析等,在比较、归类的基础上,通过分析与综合、归纳与演绎、抽象与概括等方法,运用等效、对称、极限、近似等手段牵线搭桥,打通解题思路.

2 用逻辑思维优化物理脑

2.1 逻辑思维的3个基本形式

1)概念

概念是逻辑思维的“细胞”,是解答物理问题的基础与出发点.物理解题的基本过程,就是一个以物理概念形成“判断”,再运用物理规律,进行一系列逻辑推理的过程.

例1如图1所示,某人从距水面一定高度的平台上做蹦极运动.劲度系数为k的弹性绳一端固定在人身上,另一端固定在平台上.人从静止开始竖直跳下,在其到达水面前速度减为零.运动过程中,弹性绳始终处于弹性限度内.取与平台等高的O点为坐标原点,以竖直向下为y轴正方向,忽略空气阻力,人可视为质点.从跳下至第一次到达最低点的运动过程中,用v、a、t分别表示人的速度、加速度和下落时间.下列描述v与t、a与y的关系图象可能正确的是( ).

图1

解析

人在下落的过程中,弹性绳绷紧之前,人处于自由落体状态,加速度为g;弹性绳绷紧之后,弹力随下落距离逐渐增大,加速度随距离先均匀减小后反向均匀增大,C错误,D正确;弹性绳绷紧之后,人的加速度先减小后反向增大,可知速度—时间图象的斜率先减小后反向增大,A正确,B错误.

本题涉及自由落体运动、加速度、图线斜率等知识.我们只要找到这些知识与问题之间、知识本身之间的联系,问题就不难解决.

对于本题,我们也可以从另一种思路出发来解决.人在下落的过程中,弹性绳绷紧之前,人处于自由落体状态,加速度为g;弹性绳绷紧之后,人做的运动是简谐运动,v-t图是“正(余)弦”形式,可得选项A正确;根据牛顿第二定律F＝ma,这里的合外力F也是简谐运动的回复力,又根据回复力F＝－ky,可知在简谐运动的过程中,加速度a与位移y呈现线性关系,因此选项D正确.

由此可见,概念是逻辑思维的起点,对于同一个问题,选择不同的概念可以收获不同层次的理解,找到不同的解题方法.因此,在高三备考中,我们要深度理解概念的内涵和外延,这是正确解答物理问题的重要基础.

2)判断

同学们解题时,要根据题目的已知条件及大脑中记忆的知识去获得问题的结论,这是一个从已知到未知的判断过程.准确的判断是正确解题的一个重要环节!而在没有充分分析问题的情况下就作出草率的判断,则是解题失误的一大原因.

例2图2-甲为一列简谐横波在t＝0.10s时刻的波形图,P是平衡位置在x＝1.0m处的质点,Q是平衡位置在x＝4.0m处的质点;图2-乙为质点Q的振动图象,下列说法正确的是( ).

图2

A.在t＝0.10s时,质点Q向y轴正方向运动

B.在t＝0.25s时,质点P的加速度方向与y轴正方向相同

C.从t＝0.10s到t＝0.25s,该波沿x轴负方向传播了6m

D.从t＝0.10s到t＝0.25s,质点P通过的路程为30cm

解析

本题正确答案为B、C.很多同学易错选选项D,是因为做了一个错误的判断:从t＝0.10s到t＝0.25s经过的时间为,所以质点P通过的路程3A＝30cm.其实,由于t＝0.10s时刻质点P不在平衡位置或波峰、波谷处,所以质点P通过的路程不是3A＝30cm,故选项D错误.一个周期内,质点的路程为4A,半个周期内,质点的路程为2A,四分之一个周期内,质点的路程并不一定是A,可能有三种情况:起始位置在平衡位置或波峰、波谷处,则路程为A;如果起始位置的速度方向指向平衡位置,则路程大于A;如果起始位置的速度方向远离平衡位置,则路程小于A.

在判断的过程中,我们要注意做到有据可依,注意条件之间的等价性.另外,还要注意“可能”“一定”等字眼,根据题设条件做出或然性和必然性的判断.

3)推理

物理解题,简单地说,就是从问题的已知条件出发,经过一系列的推理,得到问题的结果.常见的推理有归纳与演绎、类比与等效、猜想与假设等.

图3

例3如图3所示,A、B为水平放置平行正对金属板,在板中央分别有一小孔M、N,D为理想二极管,R为滑动变阻器.闭合开关S,待电路稳定后,将一带负电荷的小球从M、N正上方的P点由静止释放,小球恰好能运动至小孔N处.下列说法正确的是( ).

A.若仅将B板下移,带电小球仍将恰好运动至小孔N处

B.若仅将B板上移,带电小球将从小孔N穿出

C.若仅将R的滑片上移,带电小球将无法运动至N处

D.若仅断开开关S,带电小球仍将恰好运动至小孔N处

解析

本题因为二极管的存在,让问题的推理变得特别有趣!

电容器与电源连接,我们认为电容器两端的电压U不变,电容器上极板带正电.若仅将B板下移,根据公式,电容减小.根据Q＝CU可知电荷量Q减少,即电容器要放电.此时,二极管反向截止,阻止电容器上的电荷量流出,故电荷量不变.根据U＝Ed,得到,故场强不变,可知小球未达到小孔N时速度已经减为零返回了,故选项A错误.若仅将B板上移,根据公式,电容增大,根据Q＝CU可知电荷量Q增加,即电容器要充电;此时二极管正向导通,不影响电容器的充电,由于电压U一定,根据U＝Ed可知,电场强度增大;故到达小孔N时,重力做功小于电场力做功,可知未达到小孔N时,小球速度已经减为零返回了,故选项B错误.将滑动变阻器的滑片上移,分压增加,电容器的电压增加,由U＝Ed可知,电场强度增大,故重力做功小于电场力做功,可知未达到小孔N时,小球的速度已经减为零返回了,故选项C正确.断开开关S,场强不变,小球恰好能运动至小孔N处,故选项D正确.

对于推理,我们一定要注意步步为营,稳扎稳打,切不可操之过急,随意“跳步”,只有推理过程“无懈可击”,才能让结果“心服口服”.即使我们常说的“直觉思维”,也不是随意为之,而是在逻辑思维的基础上进行的,逻辑之中有直觉,直觉之中有逻辑!

2.2 逻辑思维的3个基本方法

1)比较与分类

当我们面对一个题目时,首先要确认“这是一个什么类型的问题”.要明确这个问题,我们首先要将面对的问题与记忆中的典型问题进行比较,然后将其归到相应的“类型”中去.下面,我们来看两个问题.

例4(1)如图4所示是磁流体发电机的示意图,两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场.一束等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负带电粒子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场.把P、Q与电阻R相连接.下列说法正确的是( ).

A.Q板的电势高于P板的电势

B.R中有由a向b方向的电流

C.若只改变磁场强弱,R中电流保持不变

D.若只增大粒子入射速度,R中电流增大

图4

(2)电磁泵在目前的生产、科技中得到了广泛应用.如图5所示,泵体是一个长方体,ab边长为L1,两侧端面是边长为L2的正方形;流经泵体内的液体密度为ρ、在泵头通入导电剂后液体的电导率为σ(电阻率的倒数),泵体所在处有方向垂直前表面向外的磁场B,把泵体的上下两表面接在电压为U(内阻不计)的电源上,则( ).

A.泵体上表面应接电源正极

图5

C.增大磁感应强度可获得更大的抽液高度

D.增大液体的电阻率可获得更大的抽液高度

解析

这两个题,很多同学就是分不清楚!究其原因是被问题的表面所迷惑.现在,我们对两个问题进行比较,找到各自的本质.

第(1)题:等离子体进入磁场,根据左手定则,正离子向上偏,打在上极板上,负离子向下偏,打在下极板上,所以上极板带正电,下极板带负电,则P板的电势高于Q板的电势,流过电阻R的电流方向由a到b.依据电场力等于洛伦兹力,即,则有U＝Bdv,再由闭合电路欧姆定律有,则知电流与磁感应强度成正比.如果从等效的角度看,相当于导体棒切割,电源的电动势U＝Bdv.

第(2)题:当泵体上表面接电源的正极时,电流从上向下流过泵体,这时受到的磁场力水平向左,拉动液体;根据电阻定律,泵体内液体电阻,因此流过泵体的电流.增大磁感应强度B,液体受到的磁场力变大,因此可获得更大的抽液高度;若增大液体的电阻率,则电流减小,受到的磁场力减小,使抽液高度减小.如果从等效的角度看,相当于通电导体棒受到安培力的问题,即F＝BIL2.

在解题过程中将问题进行比较与分类,是逻辑思维的基本表现,是解题的基本策略,也是训练“题感”的基本方法,在后面的专题中我们将进一步深入探讨.

2)分析与综合

分析是将一个综合问题分解为一个个“小问题”,把一个整体分解为一个个“部分”,然后各个击破.综合就是将各个小问题、各个部分联合起来研究,从而在整体上把握问题.在物理解题中,主要表现在两类问题上,一类是对于多过程问题的分析与综合;一类是对于多对象问题的分析与综合.下面,我们以多过程问题为例加以展示.

例5如图6所示,距水平地面高度为3h处有一竖直的匀强磁场,磁感应强度大小为B,从距地面4h高处的A点以初速度v0水平抛出一带电小球(可视作质点),带电小球电荷量为q、质量为m,若q、m、h、B满足关系式则小球落点与抛出点A的水平位移s是( ).

图6

解析

从时间上看,小球先是做平抛运动,进入磁场后,做“螺旋式”的曲线运动.我们可以将小球在磁场中的运动再次分解,看作一个水平方向的圆周运动和一个竖直方向的匀加速运动.在磁场中运动一周的时间为T,则,在磁场中的运动总时间.

图7

3)抽象与概括

物理面对的问题多是实际问题.如果要考虑问题的所有方面,可能会陷入困境.因此,解题时就需要抓住问题中的本质要素,忽略非本质要素,建立“物理模型”.有了模型,我们就可以将很多问题进行概括,以达到“多题一模”的效果.这正是第三讲的内容.在这里,我们再来讨论一个“建模”的案例.

例6如图8是飞机在上海市由北向南飞行表演过程的画面.当飞机从水平位置飞到竖直位置时,相对于飞行员来说,关于飞机的左右机翼电势高低的说法正确的是( ).

A.不管水平飞行还是竖直向上飞行,都是飞机的左侧机翼电势高

B.不管水平飞行还是竖直向上飞行,都是飞机的右侧机翼电势高

图8

C.水平飞行时,飞机的右侧机翼电势高;竖直向上飞行时,飞机的左侧机翼电势高

D.水平飞行时,飞机的左侧机翼电势高;竖直向上飞行时,飞机的右侧机翼电势高

解析

本题的求解要抽象出两个物理模型:地磁场模型和导体棒切割模型.

地磁场模型:在不考虑磁偏角的情况下,除了赤道处磁场方向与地面平行外,其他地方地磁场的磁感线与地面并不平行,南半球的磁感线斜向上从南极出发,北半球的磁感线斜向下回到北极.因此在南半球磁场可以分解为竖直向上的竖直分量和由南向北的水平分量,北半球则可以分解为竖直向下的竖直分量和由南向北的水平分量(如图9所示).

导体棒切割模型:对由北向南飞行的飞机来说,飞机的机翼可以等效为一根沿着东西方向水平放置的导体棒,题目的问题就可以简化为导体棒切割磁感线的物理模型,分别沿水平方向和竖直方向切割磁场线(如图10所示).

图9

图10

飞机表演过程中由北向南拉升表演,水平飞行时只切割竖直向下的磁场分量,根据右手定则可知,此时四个手指的方向指向飞机左侧机翼(相对飞行员),因此左侧机翼电势高.飞机竖直向上飞行时,只切割水平向北的磁场分量,根据右手定则可知,此时四个手指的方向指向飞机右侧机翼(相对飞行员),因此右侧机翼电势高.故正确答案为D.

2.3 解题中常用的思维方法

在运用逻辑思维进行解题的过程中,有些问题条件充分,从已知到结论的过程就会比较顺利.但还有很多问题,根据已知条件按常规逻辑推理难度很大,甚至有些问题条件不直接、不充分,我们就要有“没有条件,创造条件”的准备,架设好从已知到结论的“桥”.下面是常见的4种“架桥”方法.

1)极限思维方法

例7如图11所示,飞行员进行素质训练时,抓住秋千由水平状态开始下摆,在到达竖直状态的过程中,飞行员受重力的瞬时功率的变化情况是( ).

A.一直增大

B.一直减小

C.先增大后减小

D.先减小后增大

图11

解析

一般地,要解决这个问题,需要推导出重力功率与角度(秋千与竖直方向的角度)的函数关系,但这样的推理比较麻烦.重力功率的表达式PG＝mgv竖,其中mg为定值,我们只需要讨论物体速度在竖直方向的分量即可.刚开始,人的速度为零,重力的功率为零;人向下加速,v竖是增大的,达到一个最大值后,水平速度不断增大,竖直方向分速度逐渐减小,在最下端时,竖直方向分速度减小为零.开始时刻与最低点时刻重力功率均为零,在中间定会出现一个最大值,因此选项C正确.

2)对称思维方法

例8如图12所示,xOy平面是无穷大导体的表面,该导体充满z＜0的空间,z＞0的空间为真空.将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处,则在xOy平面上会产生感应电荷.空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的.已知静电平衡时导体内部场强处处为零,则在z轴上z＝处的场强大小为(k为静电力常量)( ).

图12

解析

3)等效思维方法

例9如图13所示,E＝8V,r＝2Ω,R1＝8Ω,R2为变阻器接入电路中的有效阻值,问:

(1)要使变阻器获得的电功率最大,则R2的取值应是多大?这时R2的功率是多大?

(2)要使R1得到的电功率最大,则R2的取值应是多大?R1的最大功率是多少?这时电源的效率是多大?

(3)调节R2的阻值,能否使电源以最大的功率输出?为什么?

图13

解析

(1)将R1和电源等效为一新电源,则新电源的电动势E′＝E＝8V,内阻r′＝r＋R1＝10Ω,且为定值.由电源的输出功率随外电阻变化的结论知,当R2＝r′＝10Ω时,R2有最大功率,即

(2)因R1是定值电阻,所以流过R1的电流越大,R1的功率就越大.当R2＝0时,电路中有最大电流,即最大功率5.12W,这时电源的效率

(3)不能.因为即使R2＝0,外电阻R1也大于r,不可能有的最大输出功率.

4)近似处理方法

例10假定地球为均匀球体,其半径为R0,在地球表面测得重力加速度为g0,设g为离开地球表面的高度达h时的重力加速度.当h比R0小得多时,g和g0可能的变化关系近似式为(有数学近似公式:当x≪1时,(1＋x)n≈1＋nx)( ).

解析

故正确答案选C.

通过上述4个问题的解答,我们能体会到,这些思维方法,实际上是逻辑思维的具体运用,都是综合应用比较、分析等逻辑方法的结果.这些思维方法的应用,起到了逻辑思维中“嫁接”的作用,最终实现从已知条件到问题结果的推进!

3 思维逻辑化要注意的两个问题

3.1 逻辑思维的严密性

解题中的逻辑思维要求同学们做到目标明确、依据正确、推理严密.特别要注意的是逻辑思维的严密性!

例11(1)如图14所示,方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨,两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上.t＝0时,棒ab以初速度v0向右滑动.运动过程中,ab、cd始终与导轨垂直并接触良好,二者速度分别用v1、v2表示,回路中的电流用I表示.下列图象可能正确的是( ).

图14

解析

本题中,由于两导体棒呈串联关系,所以通过两导体棒的电流相等,根据左手定则和安培力公式F＝BIL,可知两导体棒受到的安培力等大反向.两导体棒相互作用过程中,将两导体棒看作一个“系统”,那么系统受到的合外力为零,动量守恒.

(2)如图15所示,足够长的光滑水平轨道,左侧轨道间距为0.4m,右侧轨道间距为0.2m.空间存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为0.2T.质量均为0.01kg的金属棒M、N垂直于导轨放置在轨道上,开始时金属棒M、N均保持静止,现使金属棒M以5m·s－1的速度向右运动,两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触,M棒总在宽轨上运动,N棒总在窄轨上运动.已知两金属棒接入电路的总电阻为0.2Ω,轨道电阻不计,g取10m·s－2,下列说法正确的是( ).

A.M、N棒在相对运动过程中,回路内产生顺时针方向的电流(俯视)

B.M、N棒最后都以2.5m·s－1的速度向右匀速运动

C.从开始到最终匀速运动,电路中产生的焦耳热为6.25×10－2J

图15

D.在两棒整个运动过程中,金属棒M、N在水平导轨间扫过的面积之差为0.5m2

解析

有(1)题的解题经验,如果再遇到(2)题,很多同学会想当然地认为两导体棒的系统满足动量守恒,犯下了逻辑思维不严密的错误!在这个问题中,虽然两导体棒呈串联关系,通过两导体棒的电流相等,根据左手定则可知两导体棒受到的安培力方向相反.但是根据F＝BIL,由于两棒的有效长度不相等,两棒受到的安培力大小不相等,所以两导体棒相互作用过程中,它们组成的系统受到的合外力并不为零,动量不守恒.

物理解题很多时候需要跳跃性的联想,这正是“题感”的表现,但跳跃性的联想需要首尾一致、环环相扣的逻辑思维加以连接.这个过程对同学们是个极大的考验!逻辑不严密,也是目前备考过程中同学们最容易犯的错误!

3.2 在形象思维平台上进行逻辑思维

在进行逻辑思维时,不少同学都有一个不好的习惯:读题就想套公式!这种思维方式显然无法应对高考,因为几乎所有高考题都在考查考生的思维水平.我们的左脑主管逻辑思维,右脑主管形象思维.左、右脑结合才能发挥你的聪明才智.诺贝尔奖获得者、物理学家汤川秀树说:“不管我们从日常生活的世界走开多远,抽象也不能通过它本身起作用,而是必须伴之以直觉或想象.”想象记录下来不就是画图吗?下面,我们来看一个例题.

例12一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图16中虚线所示,ab为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为( ).

图16

解析

下面,我们来寻找运动时间最长的轨迹,如图17所示.粒子垂直ac射入磁场,则轨迹圆心必在ac直线上,将粒子的轨迹半径由零逐渐放大.当半径r≤0.5R和r≥1.5R时,粒子分别从ac、bd区域射出,磁场中的轨迹为半圆,运动时间等于半个周期.当0.5R＜r＜1.5R时,粒子从半圆边界射出,将轨迹半径从0.5R逐渐放大,粒子射出位置从半圆顶端向下移动,轨迹圆心角从π逐渐增大,当粒子射出位置与入射点c的连线与半圆相切时,轨迹圆心角最大,此时轨迹半径为R.然后再增大轨迹半径,轨迹圆心角减小,因此当轨迹半径等于R时轨迹圆心角最大,即轨迹对应的最大圆心角粒子运动最长时间为t＝,故选C.

图17

随着速度的增大,动态圆的半径增大,我们边用圆规画出轨迹图,边推理、边判断,找到在磁场中运动时间最长的粒子所对应的轨迹,问题得以解决.在此过程中,我们正是在形象思维的平台上应用逻辑思维,它是物理思维方法的核心,是物理意义最浓的部分.

回顾这一讲的内容,我们探讨了逻辑思维的重要性,了解了逻辑思维的基本形式、基本方法,以及与之相关的思维方法.没有形象思维,就得不到直观情境或草图;没有逻辑思维,就得不到解决问题的物理方案或物理公式组合等,问题不能及时、有效地被“破解”,更不能给下一阶段的“定解”作好准备.通过例题的讲解,同学们应该明白,当用物理知识分析和解决高中物理问题时,若能把握逻辑思维方法,即可在“定性”构思“逻辑方案”阶段,成功拥有属于自己的奋力展翅、低徊高翔的广袤天空.