基于数学教育心理学的高等数学教学改革初探

黄亚男 贾云涛

摘要在高等教育改革、新工科理念的时代大背景下，本文结合数学教育心理学（PME）中的数学认知结构、数学理解的心理本质、数学教育教学中的情感因素这三个方面的相关理论以及公共数学教育教学的实践经验，具体围绕丰富认知联线、数学理解的内部心理机制和数学教学的情感要素展开来谈在数学教育心理学理论的支撑下如何优化教学策略，持续提高我们的教学质量，真正践行关于人的主体的数学素质教育。

关键词 数学教育心理学（PME） 高等教育改革 教学质量

中图分类号：G642文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.21.010

On the Teaching Reform of Advanced Mathematics Based on Mathematical Educational Psychology

HUANG Yanan， JIA Yuntao

（School of Applied Science and Civil Engineering， Beijing Institute of Technology， Zhuhai Campus， Zhuhai， Guangdong 519088）

AbstractUnder the background of higher education reform and new engineering concept， this paper combines the relevant theories of mathematics cognitive structure， psychological nature of mathematics understanding， emotional factors in mathematics education and teaching in Mathematics Educational Psychology （PME） and the practical experience of Public Mathematics Education and teaching.Based on the internal psychological mechanism of mathematics understanding and the emotional elements of mathematics teaching， this paper discusses how to optimize teaching strategies， continuously improve our teaching quality， and truly practice the mathematics quality education of human subject under the support of the theory of mathematics educational psychology.

KeywordsMathematics Educational Psychology（PME）； higher education reform； teaching quality

數学教育心理学（Psychology of Mathematics Education，缩写为PME），是数学学科教育的研究实践与教育学、心理学理论的交叉领域，旨在构建全新的学科教育理论框架，从而推动教师教育改革与创新，切实提升教育教学质量。

我国高等教育改革已进入一个综合纵深、内涵式发展、全面优化的新时代，同时，在新工科的核心理念下，守住本科数学教育教学的前沿阵地，持续提升公共数学教学质量就成为摆在每一位一线数学教师面前刻不容缓的首要任务。如何围绕数学素养培养开展有效的“以学生主体为中心”的教学活动？如何在现代认知心理学和教育学理论指导下实现数学知识的有效传递？如何帮助学生克服数学学习的畏难心理，提高学生的数学学习兴趣，让课堂更有效？本文主要围绕数学教育心理学（PME）中的数学认知结构、数学理解的心理本质、数学教育教学中的情感因素这三个方面的相关理论，并结合本人的教育教学实践心得来展开对提升公共数学教学质量、优化教学设计等问题的相关思考。

1数学认知结构的相关理论及其对优化教学设计的启发

现代认知心理学研究告诉我们，学生学习数学的过程实际上是一个认知结构化的过程。这个过程中教师通过语言、书写、图示或实物模型等外部媒介的帮助学生把数学知识转化成自己的数学认知结构，这是一个内外交互不断打破并重建平衡且不断建构的过程。

数学认知结构的良好构建除了有助于信息的存储、记忆和操作外，还有促进理解的功能。正如美国教育心理学家布鲁纳（Bruner）所说：“获得的知识如果没有完美的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命。”

1.1数学认知结构的形式

数学认知结构在形式上可以看作是由节点和联线组成的复杂结构。其中，节点是认知结构的元素或对象，数学对象——如数学概念与性质等在心理上的表示形态就是心理表象，而联线就是内部表象之间的联系。认知结构中的联线是认知理解的入口，是回忆知识的线索，又是指明节点“地址”的“指针”。一个节点上的联线越多，表示它与更多的节点相联系，并且表明进入这个节点的通路越多。这样的认知结构，可以指一个小小的“微观”的概念结构，也可以指“宏观”的指针关系的结构，它如同一张动态平衡的思维地图——各项知识各司其位，它们的相互关系锚定了各个节点（概念、性质或其组块）的相对位置。

我们在教学中要引导学生注意建立并丰富节点之间的“联线”，在知识点的差异性和相似性的辨别区分中去学习。比如，在多元函数积分学部分的教学中，我们可以按照线状、面状、体状积分的分类方法设计教学；我们也可以按照“关于数量意义的——如具有物理质量总量背景的二重、三重、一类线、一类面”积分和“含有向量意义的——二类线、二类面”积分的方法设计教学；我们甚至还可以借助“形象”的形式化符号——“∫”，“∫∫”，“∫∫∫”来导入这部分内容。总之，我们的目的是引导学生在构建概念表象的基础上建立更丰富的“联线”，绝不能孤立地灌输知识点。

1.2学生认知结构的主体差异

数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，由于不同主体对知识内容的理解和组织方式不同，所以数学认知结构是有个体差异的，来到同一个课堂中的学生在长时记忆中存贮的“预备知识”其实是不同的。在课堂教学情景中，来自书本和教师讲授的外部刺激必须首先进入工作记忆平台才能进入长期记忆，鉴于工作记忆容量的有限性，学生只能是“有选择地”在场。首先，教师要调整自己的心理预期，让每位学生都在有限的45分钟内“学得全会、听的全懂”是不可能的，我们要注重丰富知识点之间的联结通路，不能简单割裂各个教学单元，要注重温故知新式的教学；其次，教师要意识到有效的教学是帮助学生结构化知识——“渔”，而非知识内容——“鱼”，并根据工作记忆“组块扩容”的原理来优化教学策略。

2数学理解的心理本质、重要性以及如何促进数学理解

我们可以以量化的方式衡量数学知识的掌握程度，比如测验成绩等，但是，更重要的衡量指标首先应该是质的方面——在认知层面是否内化了所学的知识，按照建构主义心理学的观点，是否完成了知识的同化与顺应，即“驾驭”了所学知识。在心理学意义上，数学的掌握在于理解，而理解是为了数学知识的迁移。在学习心理学的研究中，理解分解为一系列水平的层次，如：了解、领会、掌握、熟练应用等等，这样的分层目的是为了更高阶意义的量化——在心理测量的层面科学地量化理解这个概念。而我们在本文中更注重指出对数学教育教学的有启发作用的理解的基本内部心理机制。

2.1数学理解需要心理认知基础

教育心理学家奥苏贝尔是“有意义学习”的提出者，他认为学生具有有意义学习的心向，相较于机械学习，有意义学习是指符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的旧知识发生的交互作用，从而认知结构得以重新构建，新知识获取了心理意义。在高等数学的教与学中，认知基础非常重要，比如，微积分的教学需要函数知识基础，而这个基础的构建贯穿了几乎整个初、高中阶段，一旦这个知识结构存在重大缺陷，将会给大学数学的学习带来极大的障碍。当然，如果我们的学生有相关的学习障碍时，教师恰好需要以教育心理学的相关理论为支撑切实帮助学生突破学习困难，比如，借助于信息化技术和工具——如数学软件等将抽象的数学符号视觉化，充分发挥人类表象的形象化优势来帮助学生突破学习瓶颈。

我们不能离开历时性原则来孤立地谈结构，历时性（强调时间线，侧重心理发展角度）和共时性原则（强调共时性结构，侧重相互逻辑联结）共存于认知结构中。在中学素质教育改革的背景下，面对一部分被删减的且影响了新知识建构的中学数学知识，如极坐标、排列组合的基本计数原理等，我们需要结合教学进度将其有机地纳入教学设计之中，在新旧知识联结处给予学生重新构建的可能性。

2.2认知图式的操作与数学理解

认知图式是瑞士认知心理学家皮亚杰的核心概念，图式是主体在与外部环境交互作用的过程中不断发展建构的。皮亚杰提出了三种能力结构：动作图式（感觉运动图式）、符号图式和运算图式（1952，1977）。其中，符号图式已经具有完备的心理表象并可以通过外部动作或行为外显化，这种具有整体性的格式塔意义的符号图式发展的关键期是1.5～7岁，当然，符号图式具有明显视觉化的特点。与数学教育密切相关的图式是运算图示，它具有逻辑性和可逆性，这是最早的算术运算的内部心理活动的基础，根据皮亚杰的发展理论，7岁以后的儿童思维的主要特征已经是运算图式了。

对发展至关重要的三个过程：同化、顺应和平衡化。当主体根据现有的图式或运算来知觉新的外部客体时，就发生了同化，主体倾向于使用任何可用的心理结构来同化新的外部事件。当必须修改现有的图式或运算以便于解释一种新的经验时，就发生了顺应。顺应影响同化，反过来也一样。平衡化是主要的发展过程，包括同化和顺应。平衡化刻画了主体从一个发展阶段向另外一个发展阶段的过渡。

2.3对促进数学理解的启发

皮亚杰曾从哲学的角度指出，“每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是从一个较初级的结构过渡到一个不那么初级的（或较为复杂的）结构”，数学理解正是在平衡——不平衡——再次建立平衡的循环往复的发展过程中不断深化的，帮助学生在这样的过程中实现了数学理解正是教学的根本任务。

由于新课标的实施，大一修习“微积分”的同学在中学里已经学过导数了，而中学的导数教学是从直观的变化率意义下引入的，因此当他们来到大学学习导数这部分内容时，同化的心理机制虽然易于构建，但是，全面地把握在特定类型极限意义下的导数概念却对他们带来了干扰和理解上的困难，这里不平衡发生了，而顺应过程并未重新构建。平衡-不平衡的心理发生机制对教师调整教学策略具有深刻的指导意义，布雷纳德（1978）提出了冲突教学，他认为引发不平衡并使学生注意到其思维的冲突和不一致之处是重要的教学策略。

在这样的平衡-不平衡的认知发展过程中，给教師提供了创设学生学习需求激发学习动机的绝佳时机，创设学习需要的教学智慧可以从微积分发展的历史入手，向学生指出严密的导数概念的价值和意义，也可以结合“最近发展区”的教育理论优化重组教学次序，把同化作为顺应产生的前设和基础。总之，如果找不到知识结构重新构建的机会的话，学生现有的数学认知结构便无法得到改善和提高，正如我国教育家陶行知先生所说：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”事实上，数学学习大部分的过程是顺应过程，这是数学难学的重要因素。

3数学教育教学中的情感支撑

在我国，这样一个专题是相较于“智力因素”而提出的“非智力因素”，它包括情绪、意志、兴趣、信念等心理因素，随着认知心理学研究的深入，认为后者也涉及了智力，故改称为“非认知因素”，数学教育心理理论将此类因素统称为情感因素。我们所教学的对象，相较于中学阶段，师生关系更加是平等的主体间关系，更加适用于“学生中心”的教育教学。

3.1“期待”的数学课堂与承载情绪情感的教学语言

无论教师还是学生，在走进教室的时候，对这样一堂课心里是充满期待还是不情愿甚至是排斥的，都将预示这是一次成功的教学还是失败的教学。这一点，无关归纳和演绎的逻辑法则，也无关数学的认知知识结构，它仅仅关乎人的异化本质，即人类的基本联结是爱，而爱的符号载体正是语言。心理学著名的“皮格马利翁效应”表明，对教学对学生满怀正面意义的期待是可以跨越智力因素的，它可以直接影响到数学教学的效果。美国哲学家杜威曾指出，“人类本质最深远的驱策力就是希望具有重要性”，期待得到他人的认可和承认是人重要的天性。

语言不仅仅是信息符号的载体，也是情绪情感信息的载体，语言的感染力是课堂教学的重要技巧。当我们需要吸引学生的注意力、激发学生的学习热情和兴趣时，我们需要变换语调语速使用“饱含温情的”或“慷慨激昂的”等富有情绪感染力的语言；当我们聚焦于结合板书演示解题的思路与推理细节时，需要使用“清晰的”理性的语言。刻意维持和锻炼教学语言能力也是数学教师的基本功之一。

3.2数学学习态度的相关研究及其对教学的启发

态度是主体对特定对象所持有的稳定的心理倾向。这种心理倾向蕴含着个体的主观评价以及由此产生的行为倾向性。那么，数学学习态度即是学生对数学知识内容或数学教师等所持有的稳定的心理倾向，它具有主观性和行为导向型。一些研究结果表明，学生的学习态度积极与否，与他们的学习效果或成绩高低是正相关的，因此，我们要注意引导学生积极的数学学习态度，比如，向学生传达“后天的努力”比“先天的智力”更重要的信息，因为认知心理学的相关研究表明智能是可变的，“人定胜天”正是人类主观能动性的精神价值的表达，引导学生注重练习，数学的学科特殊性决定了后天不懈努力的重要性；再比如，通过数学课堂向学生传递“失败并不可怕”的氛围，鼓励他们从错误中学习，“试错-顿悟”也是人类发现和创造的重要途径。

综上所述，教育的本质是关于人的主体的教育，以符号性数学知识为载体的数学教育也不例外，只有我们的数学教育教学方法符合了人类认知发展的科学规律以及教育教学的一般理论，我们的数学教育教学工作才真正是立足于“立德树人”的素质教育的践行。

基金项目：该文系2019年北京理工大学珠海学院“金课”培育项目：高等数学（19012016）阶段性成果

参考文献

[1]李士锜，吴颖康.数学教学心理学[M].上海：华东师范大学出版社， 2011.

[2]M.P.德里斯科尔.学习心理学——面向教学的取向[M].王小明等，译.上海：华东师范大学出版社，2006.

[3]张积家编.高等教育心理学[M].北京：高等教育出版社，2016.

[4]蘇旷德，余继光编.基础高等数学——中学数学内容补充与数学概念和思维方法简介[M].北京：高等教育出版社，2015.

[5]丹尼尔.T.威林厄姆.为什么学生不喜欢上学[M].南京：江苏教育出版社，2010.

[6]肯.贝恩.如何成为卓越的大学教师[M].北京：北京大学出版社，2014.

[7]黄兴丰，庞雅丽，李士锜.数学课堂教师教学行为的继承和发展——3节录像课的比较研究[J].数学教育学报，2009，18（06）.