考虑交易费用的均值-VaR 多阶段投资组合优化模型

2021-01-09王晓琴高岳林

工程数学学报 2020年6期

王晓琴, 高岳林,

(1- 宁夏理工学院理学与化学工程学院，石嘴山 753000;2- 北方民族大学数学与信息科学学院，银川 750021;3- 宁夏智能信息与大数据处理重点实验室，银川 750021)

1 引言

现代证券投资组合理论开始于Markowitz 1952 年提出的“均值-方差”模型，为理性投资者在不确定条件下进行资产组合的理论和方法开创了先河，在考虑投资收益的同时考虑风险，阐述了如何利用投资组合，创造更多的可供选择的投资品种，以达到分散风险获取最大可能的投资收益.但该理论是以静态的观点研究和论述投资组合的理论和方法，不符合实际的具有动态特征的投资组合问题.由于在不同时期，资产的收益率不同以及投资者对风险和收益的偏好会发生改变等因素，投资者会考虑多阶段的投资组合策略，在每个阶段的开始对资产进行重新分配.Chan 等[1]利用可视化的情景树构建了资产分配的最优动态平衡投资策略.20 世纪90 年代，风险价值(VaR)被Jorion[2]提出，其本质就是概率分布中的分位数，因简单实用被广泛采纳.闫伟等[3]研究了带约束的多阶段均值-方差投资组合问题.高岳林和苗世清[4]提出了基于收益和风险控制下的投资组合优化模型.贺月月等[5]研究了基于条件风险价值下的多阶段投资组合优化模型.Roorda[6]提出了在二叉树中的一种序列尾部风险价值的算法.周忠宝等[7]提出了考虑交易成本的多阶段投资组合评价方法.Filomena 和Lejeune[8]研究了同时具有固定和比例交易成本以及徐永春[9]研究的非线性交易费用的多阶段投资组合优化.Liu 等[10]研究了考虑基数约束和张鹏等[11]研究的考虑最小交易量限制的多阶段投资组合选择模型.考虑到度量的约束性，Krokhmal 等[12]研究了多阶段均值-方差投资组合.吴庆洪等[13]对粒子群优化算法及其应用进行了研究.之后，郭文忠等[14]对离散粒子群优化算法又做了进一步的研究.

本文以风险价值(VaR)为约束控制风险，构建了考虑交易成本的均值-VaR 多阶段投资组合优化模型，并运用带有罚函数处理机制的粒子群算法对新建立的多阶段投资组合优化模型进行求解，并进行实证分析.本文内容安排如下：第2 节给出模拟路径；第3 节给出VaR 的定义；第4 节建立考虑交易成本的均值-VaR 多阶段投资组合优化模型；第5 节给出实证分析；第6 节给出本文的结论.

2 模拟路径

为了模拟某一特定市场的随机性情况，本文采用情景树描述整个多阶段投资周期的不同路径，见图1 所示.某一特定情况由市场指数的变化定义，市场指数的变化有两种情况：市场指数下降(用0 表示)和市场指数上升(用1 表示)[1].

图1 模拟路径的情景树

3 VaR 的定义

目前关于市场风险的度量方法已经有很多种，比如方差、下半方差、绝对偏差、风险价值等等，但以VaR 方法[2]使用最为广泛，VaR 所测度的是在一定概率的保证下，在一定的投资期内，投资组合在未来潜在的最大可能的损失值.它可以动态的测量不同情况下的不同风险并将它用一个确切的数值表示出来，因此适用性比较广泛.假设用f(x,y)表示投资组合x 的损失函数，y 表示影响损失的一些不确定性因素，如证券市场的波动性或资产的收益率.在此我们假设p(y)为y 的密度函数，f(x,y)不超过ε 的概率为

与x 对应的损失累积分布函数用φ(x,ε)，VaR 在置信水平α 下的损失值用εα(x)表示，有

ε 所在区间的左端点也包含在εα(x)内，所以φ(x,εα(x)) = α，那么f(x,y) ≥εα(x)的概率为1 −α.因此φ(x,εα(x))是损失f(x,y)大于等于εα(x)的条件期望.

假定资产的收益率服从正态分布.由VaR 的定义得损失f(x,y)在α(0<α<1)置信水下的VaR 值为

其中R(x)为投资组合的期望收益，σ(x)为R(x)的标准差，φ 为标准正态分布N(0,1)的分布函数，φ−(α)为标准正态分布N(0,1)的α-下侧分位数.

4 考虑交易成本的均值-VaR 多阶段投资组合模型

假设证券市场上有n 种风险资产和1 种无风险资产，投资者从0 时刻起到T 时刻末，进行为期T (t = 1,2,··· ,T)个阶段的投资，并且在每个阶段的初始时刻进行资产的重新分配.为此，我们有：

(a) 模型参数

2) πs：表示第s 条路径发生的概率，即∑sπs=1；

3) W0：表示投资开始时的资产总量；

4) Wst：表示路径s 下第t 阶段结束时所拥有的资产总量；

5) T：投资阶段的总数；

(b) 决策变量

在实际的证券交易中，不管是买入还是卖出证券，总存在着交易成本的问题，且交易成本影响着投资的最终收益.因此在模型中忽略交易费用会导致无效的资产组合.

根据投资组合理论，投资者偏好收益而厌恶风险.因此，一般情况下，投资者在最大化终端财富的同时，也希望投资组合的风险能达到最小，因此本文所建立的模型如下

其中i = 1,2,··· ,n+1，当i = 1 时表示现金；s = 1,2,··· ,S 为多阶段投资组合的路径数；t = 1,2,··· ,T 为投资组合的阶段数；mit和Mit是资产i 在阶段t 的最小和最大投资比例；是一个二元变量，= 1 表示在路径s 下，资产i 在阶段t 进行投资，= 0 表示不投资；γ 表述指投资者对投资风险的偏好程度，γ 值越小，表示投资者对投资风险越敏感.第一个约束条件表示在给定的置信水平α 下，将路径s 中每个阶段的风险价值VaR 都控制在阈值ω 范围内.第二、三个约束条件表示投资开始时所拥有的资产量.第四个约束条件表示每个阶段开始时的总资产.第五个约束条件表示路径s 下第t 阶段的资产量与t −1 阶段的资产量之间的关系.第六、七个约束条件表示现金和其他种类资产在平衡后的净资产量.第八个约束条件表示每一种资产在同一阶段通过同一结点的不同路径上的投资数量相同.

本文仅考虑γ = 1 的情况，且利用外点半罚函数方法把模型P0 中的不等式约束放到目标函数中构造罚函数，产生一系列含有等式约束和界约束的如下优化问题P1 进行求解，从而得到对原问题P0 的求解

其中i = 1,2,··· ,n+1，当i = 1 时表示现金；s = 1,2,··· ,S 为多阶段投资组合的路径数；t = 1,2,··· ,T 为投资组合的阶段数.设置惩罚因子δ 的初值为10，通过迭代δ = δ+i ∗10 得到{δt}为正的数列且δt→+∞，把模型P0 转化为模型P1.其中模型P0 和P1 不是凸优化问题.

5 求解多阶段投资组合的粒子群算法

粒子群算法(Particle Swarm Optimization, 简称为PSO)，是由Kennedy 等提出的一种新的进化算法.PSO 算法属于进化算法的一种，和其他的智能优化算法类似，随机产生一群粒子，通过不断的更新粒子的速度和位置来找到最优解，通过适应度函数来评价模型的目标函数.该算法因容易实现、求解精度高等的优点引起了许多学者的高度关注.

5.1 需要求解的问题

文中所建立的是一个在给定的风险水平下最大化终端财富的单目标模型，在算法求解过程中，约束条件中的max 是非光滑函数，实际计算时首先需要把原来的可行区域松弛为一个凸区域，使得凸区域包含原来的可行区域，再将非光滑函数在扩展的凸区域内进行线性化处理.把不等式约束采用罚函数法放到目标函数中，等式约束在不同路径的每个阶段都进行求解.在多阶段投资组合的求解算法中，各个阶段之间的财富传输方式就是在第一阶段初所拥有的资金分配到几种不同的资产上，把每条路径中第一阶段末所得财富作为第二阶段的初始财富，在第二阶段进行重新分配.依次下去，直到第T 阶段.

5.2 粒子群算法步骤[14]

步骤1 初始化每条路径，随机生成初始粒子的位置和速度.设置最大迭代次数Tmax(Tmax=120).对第一个约束条件和第二个约束条件进行判断，如果满足则继续步骤2，不满足则重新初始化，因为粒子群算法中初始化粒子的位置对全局最优解的搜索有一定的影响，我们通过这个判断使得初始化的粒子尽可能的靠近可行解所在的区域；

步骤2 根据构造的罚函数，依次评价粒子的适应度值；

步骤3 根据下面的方法确定当前代的个体最优解Pi(t)及当前代的群体最优解Pg(t)，本文的目标函数为最大化问题，则第i 个粒子的个体极值由下式确定

群体的最好位置由下式确定

步骤4 对第i 个粒子的位置和速度按照以下公式进行更新

其中惯性权重ω 根据如下公式取值ωmax和ωmin分别为ω 的最大值和最小值，一般取值0.9 和0.4，t 为当前迭代次数，tmax为最大迭代次数；

步骤5 若满足算法所设定的终止条件，就停止迭代并输出所需求解的最优解；否则进行下一步的迭代.

6 实证分析

表1 和表2 中的数据来自文献[5]，文中的路径用0-1 二进制代码表示，1 表示未来市场发展趋势表现为上升，0 表示未来市场发展趋势表现为下降，如101 表示在第一阶段市场发展表现为上升趋势，在第二阶段市场发展表现为下降趋势，而在第三阶段市场发展表现为上升趋势.

表1 从标准普尔100 指数中选取的9 只成分股

表2 每条路径发生的概率

将表1 中的9 只股票和银行存款作为投资的对象，将整个投资周期划分为三个阶段，根据市场指数的上升和下降共产生了8 条投资路径.粒子群算法中的参数分别设置为：种群规模为NP = 100，最大迭代次数Tmax= 120，投资者所能承受的最大风险水平ω = 0.3，置信水平为α = 0.95.投资比例的下界为0，上界为0.4.按照以上参数计算得出各路径各阶段的最优投资策略，如表3 至表11 所示.

从表11 可以看出，随着置信水平的不断增大，VaR 和期望收益的值也在不断的增加，即高风险高收益，符合实际的金融市场.

一般情况下取风险水平ω = 0.5，如文献[5,8]，为确保投资得到的风险价值ω ≤0.5，又由于外点半罚函数法得到的解可能不满足风险价值ω ≤0.5，所以取ω′= 0.3 时进行仿真实验，虽然解不满足∆= φ−(α)−< 0.3，当罚函数无穷大以后∆=φ−(α)−的数值结果接近0.3，但满足φ−(α)−≤0.5.