近岸波动平均水动力方程与波浪漫滩边界耦合的理论模型

朱首贤，李 岩，张文静，陈 阳

(1.河海大学海洋学院，南京 210098； 2.国防科技大学气象海洋学院，南京 211101)

海岸是人类重要活动区域，海岸维护对于经济发展和防灾减灾有重要意义。但是，近年来世界各地海岸的海滩普遍侵蚀[1]，海岸稳定性问题备受关注。中国海滩侵蚀也很严重，70%左右的沙质海岸线和几乎所有开阔的淤泥质岸线均存在海岸侵蚀[2]。海岸维护需要深入开展近岸水动力和泥沙运动研究。

波浪对近岸水动力和泥沙输运有重要影响。波浪向岸传播过程中，海水变浅使得波高增大，波动质点运动和波动传播速度也发生变化，当波峰质点水平运动速度大于波动传播速度时，发生波浪破碎(surf)，又称为“拍岸浪”“击岸浪”“激浪”“破浪”等[3]。波浪继续向岸传播，水陆分界线随波峰向岸推进、随波谷向海回退，在一个波动周期中滩地出现被海水淹没和露出水面的过程，这是波浪漫滩(swash)，或者称为波浪爬高、波浪上爬、冲流、溅浪[3]。拍岸浪区带水流紊动强，泥沙运动活跃，一直是近岸水沙和冲淤研究的核心内容[2]。波浪漫滩区最显著的运动是未破碎驻波或破碎短波产生的垂直岸方向的海水来回摆动，使得泥沙运动活跃，其泥沙浓度有时比波浪漫滩区高几个数量级[4-5]。波浪漫滩区在沿岸方向也有海水运动，它不如垂直岸方向的海水运动显著，但是，它对泥沙输运也有重要影响，有些研究[5-6]甚至表明，波浪漫滩区沿岸流的泥沙输运有时占整个近岸区域沿岸方向泥沙输运的50%。

拍岸浪区和波浪漫滩区水沙运动还存在相互作用。波浪上爬时水沙由拍岸浪区向波浪漫滩区输送，拍岸浪区对波动漫滩区水沙运动的影响得到重视。近年来人们也开始关注波浪漫滩区对拍岸浪区水沙运动的影响。Alsina等[7]的波浪水槽实验清晰地表明，改变波浪漫滩区对波能的消耗，波浪漫滩区和破波带水沙运动都发生变化，破波带水下沙坝的位置发生明显的迁移。但是，对于拍岸浪区和波浪漫滩区的相互作用，尤其是后者对前者的影响，目前的认识非常肤浅。

近岸海水运动研究是开展泥沙运动研究的基础。描述近岸海水运动的数学方程基本上可以分为两类：一是波动质点运动类型(wave-resolving)，二是波动平均类型(wave-averaged)。波动质点运动类型方程，如非线性浅水方程[8]、Boussinesq方程[9]和Navier-Stokes方程[10]，利用它们建立的数值模式可以计算波浪浅化、波碎、上爬和回退过程，对计算结果进行波动平均也可以得到波动平均流场。这些方程将波浪漫滩区作为近岸海域的一部分，可以解决波浪漫滩区和拍岸浪区的相互作用。但是采用这类方程建立的数值模式受波周期和波长限制，积分时间步长和空间步长只能取很小的值，计算量很大。利用波动平均类型方程建立的数值模式可以计算天文潮、风、波浪、河流径流、斜压效应、陆架环流等驱动的近岸流场[11-13]，它们所需要的计算量远小于波动质点运动方程数值模式。波动平均水动力方程数值模式可以考虑拍岸浪区的影响，主要是引入辐射应力(波生动量余通量)和波生水体余通量对波动平均流场的影响。但是目前波动平均类型方程数值模式还没有包含波浪漫滩区的影响，主要原因在于：①波浪漫滩区尺度一般小于近岸波动平均类型方程数值模式的计算网格；②因为水边线来回摆动给波浪漫滩区海水运动的波动平均处理带来不方便。为此，建立近岸波动平均水动力方程与波浪漫滩边界耦合的理论模型，为包含波浪漫滩影响的近岸波动平均流场数值计算提供支持。

1 包含拍岸浪区的近岸波动平均水动力方程推导

波浪漫滩的时间尺度一般为几秒至几十秒，漫滩范围为几米至几十米[3]，是一种小尺度运动。海滩上水边线位置定义为xs，在波浪作用下水边线在一个波周期中来回摆动，它的最小值(靠海位置)定义为xl, 它的最大值(靠陆位置)定义为xh。从xl到xh的区域为波浪漫滩区。通常近岸波动平均水动力方程忽略水边线的波周期摆动，不能用于波浪漫滩区，因此xl被当作近岸波动平均水动力方程的边界。

近岸水动力方程可以写为

(1)

(2)

(3)

式中：x为向岸方向坐标；y为沿岸方向坐标；η为水位；水深d=h+η，h为静止水深；u=(u1,u2)为深度平均流；f为科氏力；τa=(τax,τay)为风应力；Ah为湍混合系数；p为压强，τ=(τ1,τ2)为底摩擦力；ρ为海水密度，近似取为常数。

根据Longuet-Higgins和Stewart的研究[14-15],p可以近似写为

(4)

式(4)中：u3为垂向速度；g为重力加速度；d、u1和u2可以分解为波动平均项和波动项：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(13)中：θ为波浪传播方向波浪传播方程与x轴的夹角。在拍岸浪区之外，Longuet-Higgis等[14]给出的Sm和Sp表达式为

(14)

式(14)中：H为波高。在拍岸浪区，需要考虑水滚效应对辐射应力的影响[15]，Sm和Sp表达式为

(15)

式(15)中：c为波速；B0为波形参数，Hansen[16]给出其值为1/8；A为水滚面积，Svendsen[15]给出的参数化计算公式为0.9H2，Okayasu等[17]给出的计算公式为0.06HL。在拍岸浪区之外，Svendsen[15]给出的波生水体余通量为

(16)

在拍岸浪区为

(17)

2 波浪漫滩区水流积分波动平均方程推导

在波浪漫滩区，可以利用非线性浅水方程来描述海水运动。Brocchini等[18]给出其形式为

(18)

(19)

(20)

式中：α为海滩坡度，沿y轴方向的海滩地形变化忽略。

与式(1)～式(3)比较, 式(18)～式(20)忽略了科氏力、风应力和湍混合项。波浪漫滩区水深很浅，水流垂向速度很小，它对压强的贡献可以忽略。

对式(18)～式(20)从xl到xh积分得到：

(21)

(22)

(23)

参考Brocchini等[18]的工作，波浪漫滩区水流可以做长时间尺度(大于波周期)运动和短时间尺度(小于或等于波周期)分离。

(24)

将式(24)代入式(21)～式(23)，并且进行波动平均处理，得到

(25)

(26)

(27)

(28)

式(25)～式(27)的左边项描述波浪漫滩区水流积分的波动平均值在长时间尺度上的变化，右边项描述xl位置波动平均运动作用。

Brocchini等[18]考虑波浪垂直于海岸传播的情况，采用非线性浅水方程数值模式进行了包含波浪漫滩的水流数值模拟，基于这些模拟数据给出了一些物理量的统计值：

(29)

(30)

(31)

<γ1>≈CγgHl2,Cγ=-0.034Cf/α

(32)

(33)

式中：Hl为xl位置的波高；Cf为底摩擦系数。

考虑波浪入射方向和海岸垂直方向有夹角的情况，Antuono 等[19]也采用非线性浅水方程数值模式进行了包含波浪漫滩的水流数值模拟，利用数值模拟结果给出了部分物理量的统计值：

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

式中：θl为xl位置波浪传播方向与海岸垂直方向的夹角；CP2、CM22、CQ2、CS2和Cγ2可以写为统一的形式：

(39)

表1 CP2、CM22、CQ2、CS2和Cγ2的参考取值

(40)

(41)

(42)

(43)

3 波浪漫滩边界条件与近岸波动平均水动力方程的耦合

(44)

式(44)的Ew和式(25)的右边项是相同的，因此Ew也可以用式(25)的左边项计算，即

(45)

式(8)可以写为

-gα+(τax-τ1)+

(46)

(47)

利用式(25)，可以得到

(48)

(49)

式(49)的Emy和式(27)的右边项相等，因此它也可以用式(27)的左边项计算，即

(50)

近岸波动平均水动力方程和波浪漫滩区水流积分的波动平均方程都包含Ew、Emx和Emy项。Ew描述波浪漫滩区和拍岸浪区水体交换，Emx和Emy描述波浪漫滩区和拍岸浪区动量交换。从理论上来说，如果能给出Ew、Emx和Emy，将式(7)、式(9)、式(46)的相关项分别用Ew、Emy和Emx替换，利用式(7)、式(9)和式(46)就可以计算包含波浪漫滩边界影响的近岸波动平均流场。因此Ew、Emx和Emy可以作为近岸波动平均水动力方程的波浪漫滩边界条件。

Brocchini等[20]将近岸波动平均水动力方程的波浪漫滩边界条件取为

(51)

4 结论

建立了近岸波动平均水动力方程和波浪漫滩区水流积分的波动平均方程，它们通过Ew、Emx和Emy建立联系。这三个物理量分别描述波浪漫滩区和拍岸浪区的水体和动量交换，给出了这两个区域在长时间尺度上(大于波周期)的相互作用机制，可以作为近岸波动平均水动力方程的波浪漫滩边界条件。利用这三个物理量和近岸波动平均水动力方程，可以计算包含波浪漫滩影响的近岸波动平均流场。