关于研究地下水运动的方法探讨

2021-01-08郭倩王超都兰

环境与发展 2021年2期

郭倩，王超，都兰

（1.内蒙古环科园环境科技有限责任公司，呼和浩特010011；2.内蒙古生态环境科学研究院有限公司，呼和浩特010011；3.内蒙古自治区环境科学研究院，呼和浩特010011）

1 研究地下水运动的主要方法

1.1 数学模型法

运用该方法首先需要将现实中复杂的水文地质条件概化为水文地质概念模型，该概念模型应对所要表述的实际地下水流运动状态具有较高的仿真度，并且能够通过已知的一些数学工具来进行定量表述，这一定量表述的结果即为水文地质模型对应的数学模型。成功运用该方法的关键在于水文地质模型的建立，如果建立的水文地质模型与实际情况相符性较差，用其数学模型求解出的结果就不能用来准确表征研究区域的地下水运动规律，甚至与实际大相径庭，而对于数学模型的解算，纯粹属于计算方法的问题。

对于描述同一个水文地质模型，可根据实际生产需要的不同要求，建立不同类型的数学模型。本次简单论述几类常见的数学模型，包括线性模型与非线性模型、静态模型与动态模型、集中参数模型与分布参数模型、确定性模型与随机模型、黑箱模型与白箱模型。

1.1.1 线性模型与非线性模型

非线性模型指反映自变量与依变量间非线性关系的数学表达式，它相对于线性模型而言，其依变量与自变量间不能在坐标空间表示为线性对应关系。在描述地下水运动规律中，线性模型与非线性模型的划分依据是模型中变量的阶次，线性模型是指该数学模型由线性微分方程与线性定解条件组成，不符合该组成条件的则为非线性模型。在地下水的饱和流计算过程中，大多数情况下可以用线性模型来定量描述承压水，而对于潜水模型而言，除了一些特殊情形，如在某种近似表达的意义下，近似用线性模型来定量描述，其他条件下均属于非线性模型。

1.1.2 静态模型与动态模型

静态模型与动态模型是根据模型中的变量与时间是否有关来划分的，静态模型是指模型中的变量与时间无关，动态模型则是指模型中的变量与时间有关。在地下水的饱和流计算过程中，稳定流是流动系统中各物理量的大小仅随位置变化，不随时间变化，因此用来表示稳定流的模型属于静态模型，非稳定流是流动系统中各物理量的大小不仅随位置变化，而且随时间变化，因此用来表示非稳定流的模型属于动态模型。

1.1.3 集中参数模型与分布参数模型

集中参数模型与分布参数模型是根据模型中是否含有空间变量来进行划分的。集中参数模型是指模型中各变量与空间位置无关，变量在整个系统中是均一的，在稳态模型中，这种表述为代数方程，在动态模型中，这种表述则为常微分方程。分布参数模型是指模型中至少有一个变量与空间位置有关，在稳态模型中，这种表述为空间自变量的常微分方程，在动态模型中，这种表述则为空间、时间自变量的偏微分方程。比如《地下水动力学》中利用最小二乘法配置的井涌水量与降深之间的经验公式，属于集中参数模型，而裘布依模型、泰斯模型、纽曼模型等，均属于分布参数模型。

1.1.4 确定性模型与随机模型

确定性模型与随机模型是根据模型中变量的取值性质来进行划分的。确定性模型是一个由完全肯定的函数关系所决定的数学模型，模型中的变量只能取确定的值，可用解析法、数值法和电模拟法求解。随机模型亦称“非确定的、概率的模型”，模型中的变量只知其取值的概率。比如当水均衡要素不作为随机变量处理时，水均衡方程式所描述的模型属于确定性模型，否则为随机模型。

1.1.5 黑箱模型与白箱模型

黑箱模型与白箱模型是根据模型本身所描述的对象来进行划分的。黑箱模型是指在模型中仅仅关注实体与外界的信息交换，而不考虑实体内部的性质与结构。白箱模型是指需同时关注实体与外界的信息交换以及实体内部的性质与结构。比如研究一个泉域，若只研究泉域的降雨补给量与泉的排泄量之间的关系，而不考虑泉域含水层本身的赋存条件，该数学模型属于黑箱模型；若同时考虑泉域与外界的交换条件与规律以及泉域含水层本身的赋存规律，则属于白箱模型。

1.2 物理模型法

物理模型法与数学模型法相同的是，两种方法均是将现实中复杂的水文地质条件概化为简单的水文地质模型，不同的是，数学模型法是通过求解数学模型来研究地下水的运动规律，而物理模型法则是通过比拟水文地质模型，建立起相似的物理模型来研究地下水流的运动规律。

2 地下水流模型的求解方法

2.1 解析法

解析法是指利用数学上的积分法或积分变换等方法直接求解数学模型，得出的解即为解析解，它是数学模型的精确解。

该种方法的优势在于可以把表征地下水运动规律的各种物理量与激发条件、时空变化包含在一个表达式中，用数学分析的方法去求解各个物理量之间的相互联系与相互制约的内在规律，求出的解可以直接、精确的用于分析地下水的运动规律及变化特征。同时，该种方法的局限性又表现在如下几个方面：

（1）由于数学模型的适用条件较为苛刻，使得其很难准确描述自然界复杂的水文地质边界条件，有时可以用数学表达式来描述概化后的边界条件，但结果可能已严重偏离实际的水文地质问题。

（2）在处理含水层的非均质性、各向异性、线状补给及局部面状补给的问题时较为困难。解析法只能处理均质含水层且含水层的主渗流方向不变条件下的地下水流问题，但自然界中由于地质环境的变化，不存在严格意义上的均质含水层，而且往往在研究区域含水层的主渗流方向随空间变化，因此无法求得解析解。例如在潜水含水层中，如果涉及有渠道或河流的线状补给或地表水体的局部面状补给问题时，现有典型模型的解析解也无法用来描述此类复杂条件下地下水的运动规律。

2.2 数值模拟法

由于复杂条件下解析解的仿真度较低，并且随着电子计算机的极速发展，数值模拟方法在实际处理复杂地下水流运动中表现出了其优越性。用数值模拟方法求出的解称为数值解，离散化方法是求解各种分布参数模型数值解的基本方法。主要包括有限差分法及有限元法。

2.2.1 有限差分法

有限差分法是指求偏微分（或常微分）方程和方程组定解问题的数值解。在地下水流系统中，就是按一定的方式把所研究的渗流区域离散成很多但有限的小均衡域，在满足一定的精度条件下，每个小均衡域内的各种参数均视为常数，小均衡域内的水头以其中心点的水头作为代表，相邻小均衡域间的水头变化近似看成是线性变化。有限差分法求出的解为地下水流系统离散点上的近似值，而不是精确解。

2.2.2有限元法

有限元法是指通过剖分插值把区域连续求解的微分方程离散成求解线性代数方程组，用近似解来代替精确解。由于所依据的原理不同，有限元法可划分为变分有限元法、伽辽金有限元法及均衡有限元法等，尽管依据原理不同，但在求解相同条件下的地下水渗流问题时，最终得到的线性方程组均是一致的。