一种基于间接平差的免置平设站方法

2021-01-08曹娟华朱洪涛朱嫣吴维军潘旭斌陈首钢

铁道科学与工程学报 2020年12期

曹娟华，朱洪涛，朱嫣，吴维军，潘旭斌，陈首钢

一种基于间接平差的免置平设站方法

曹娟华1, 2，朱洪涛1，朱嫣3，吴维军1，潘旭斌4，陈首钢4

(1. 南昌大学机电工程学院，江西南昌 330031；2. 江西制造职业技术学院，江西南昌 330095；3. 南昌航空大学飞行器工程学院，江西南昌 330095；4. 中国铁路南宁局集团有限公司桂林高铁工务段，广西桂林 541001)

置平是全站仪设站必不可少的先期工作，但手动置平操作繁琐，自动化水平低，影响设站的工作效率。同时，这种以精确置平为先决条件的设站方法也不利于移动站车载全站仪的快速设站和测量。提出一种基于间接平差的免置平设站方法，以高程、平面及姿态的联立求解为基础，通过变量代换、泰勒展开、矩阵求逆等方法求全站仪站点位置和姿态，采用验后精度求权和平差迭代的方法提高设站精度。该方法原理清晰，物理意义明确，打破了置平才能设站的传统。计算机仿真和线路试验表明，该免置平设站方法具有较高设站精度，能够达到高速铁路测量的精度要求。

全站仪；免置平设站；间接平差

在我国高速铁路的建设阶段，无论是前期的地形勘测、坐标放样、平面控制网CPⅡ(隧道内)测设、滑模摊铺机械引导，还是后期的CPⅢ控制网测设、轨道板精测、轨道线路精测等，都离不开全站仪[1]。以客运专线轨道测量仪(以下称测量仪)的轨道线路精测为例，首先对三脚架进行预调平，其次依据全站仪物理气泡和电子气泡分别对全站仪进行粗调平和精调平，然后通过全站仪设站计算站点坐标和方向，最后对小车棱镜进行测量从而得到轨道的三维坐标。设站作为轨道测量的关键步骤，与系统整体测量效率、测量精度密切相关[2]。设站工作包括了高程和平面两大部分，高程使用三角高程法计算，而平面需要计算东北坐标及方向角，相对复杂，所以在设站方法研究中常特指平面站点坐标的计算[3]。置平(通常都是手动置平)是全站仪设站必不可少的先期工作，只有全站仪处于水平状态，才能测量出正确的水平角和天顶距，从而拆分出高程、平面数据以调用现有设站算法完成设站工作。依据现有设站方法，全站仪必须精确置平才可得到高质量的设站成果。虽然随着自动置平底座的出现，全站仪在自动置平底座上进行设站可免除手动操作的繁琐，但其方法本身仍是置平设站，而且自动置平底座破坏了全站仪与其基础固有的位置关系。以基于移动站车载全站仪的快速型轨道测量系统(以下称快速型轨道测量仪)为例，当全站仪站点与轨道中线之间的位置关系发生变化，软件无法再利用之前的全站仪位置参数进行轨道中线坐标求解[4−5]。同时，在置平设站方法中，即使最为熟练和细心的操作人员在不考虑效率的情况下也无法依据电子气泡将全站仪整平到绝对水平状态，为提高设站和后续测量的精度，全站仪还需配备精密的水平补偿测量装置和水平补偿算法[6]，极大增加了系统的成本和复杂性。综上所述，现有置平设站方法在效率、自动化和适用性等方面存在局限性，尤其是在特殊场合中的应用。本文对全站仪在免置平的状态下的设站方法进行研究，有利于简化使用，提高全站仪设站的工作效率和适应性。

1 设站模型及间接平差

图1 免置平设站示意图

将′−′′′坐标系绕′轴旋转一定角度，直到′轴与平面平行，角为旋转前′轴与平面之间的夹角：

将′−′′′坐标系绕′轴旋转一定角度，直到′轴与平面平行，此时Z′轴与轴也处于平行状态，角为旋转前′轴与平面之间的夹角：

将′−′′′坐标系绕′轴旋转一定角度，直到′−′′′坐标系与−坐标系完全平行，角为旋转前′轴与轴之间的夹角：

坐标系′−′′′坐标系与工程独立坐标系可能存在空间尺度上的变换(乘上空间尺度因子)，同时将坐标系′−′′′从−坐标系下的(X，Y，Z)平移至的坐标原点(0，0，0)，此时，′−′′′坐标系与−坐标系完全重合：

对式(1)～(4)进行整理：

其中：

一方面，观测量中含有观测误差，数值解精度有限，增加多余观测量并采用平差算法可有效提高模型的解算精度。另一方面，1～9之间并非相互独立的，存在一定的函数关系(如3=−sintan6；6=tantan9)；直接基于进行平差，可能导致中元素失真，从而具有局限性。

根据工程经验，全站仪坐标系与工程独立坐标系之间的空间尺度基本相同，以1 000 m为例，其空间尺度变化小于20 cm，尺度因子近似于1，因此，采用式(6)求初值0时，先令01。

基于上一节所得到的设站模型，得到误差方程：

将0代入式(10)，求解式(7)～(9)中的变量l，l和l。

整理式(7)～(9)，表示成矩阵形式：

式(11)中是CPⅢ控制点的观测个数，有7个待定未知数和3个改正数，共3+7个待定量，而方程组中只有3个方程，因此方程组有无穷多组解。为从无穷多组解中找出最优解，根据最小二乘原理，为其设定条件：T=min，即改正数偏差的加权平方和最小。同时，T=min，符合数学中求函数自由极值的理论，得到T=0，最后通过矩阵求逆的方法求解待定改正数[9]。

式中：为权阵，以Leica TS15全站仪为例，测距精度1 mm+1.5 mm/km，根据坐标误差与全站仪测距之间的关系，设置权重系数。

当对8个控制点进行观测，可得到24个观测量，具有17个多余观测量，能较大程度提高解算精度，全站仪免置平设站模型参数的最终解为：

2 精度评定与精度改善

由于测量误差的存在，Tmin不等于0，因此，可基于T对设站精度进行评定。测量平差的又一功能就是评定测量成果的精度，包括单位权方差的估值、平差值函数的协因素和相应的中误差计算。同时，还需要导出有关向量平差后的协因素阵(或称验后协因素阵)。

二次型T可利用已经计算出的和已知的进行计算，也可按式(15)进行计算：

单位权方差的估值和单位权中误差分别为：

根据协方差阵与协因素阵之间的关系，得到的方差阵：

若各观测值的权比关系定得不当，则会扭曲平差结果。上一节中，根据测距精度设定v的权值，属于经验定权方法，简单易行，但坐标测量精度除与测角有关外，还与当时的测量环境有关，因此经验定权方法在实际使用上存在一定的局限性。此时，可依据式(20)推导的观测量精度估计值重新定权，多次平差，反复迭代，直至得到观测值正确的权比关系。具体的计算步骤如下：

1) 进行观测值的验前权估计，定出观测值的权的初值p，p和p。

2) 进行第一次平差，求得各类观测值改正数平方和T。

4) 反复进行第2)，3)两步，直到待求未知参数趋于稳定。

3 算法仿真及线路试验

设站成果的精度评定主要针对具体设站而言，防止设站时因测量误差大而导致设站精度无法满足要求。课题组前期曾基于矩阵直接进行平差，也曾采用1～9间的相互关系进行约束平差，但通过算法仿真发现其设站精度受设站位置、测站与被观测的CPⅢ点构成的网形等的影响。

3.1 算法仿真

图3 全站仪姿态−点位误差

如图4所示，当全站仪倾斜角在−23°到30°之间变化时，全站仪设站倾斜角误差(Δ和Δ)在−0.001 2°到+0.001 2°之间变化。如图5所示，当全站仪方向角在−180°到+180°之间变化时，全站仪的方向角误差小于0.000 4°。同理，根据一系列的计算结果(=2 026)，免置平设站倾角中误差= 0.000 25°和=0.000 27，方向角中误差= 0.000 12°。

图5 全站仪方向角−姿态误差

根据全站仪测量的极坐标法、设站位置和姿态误差的分析结果，可进一步得到待测点位置的测量中误差m。

根据测量仪器示值误差符合性评定的基本要求[13]，应有：

若全站仪(Leica TS60)是配合测量仪在三脚架上进行免置平设站，然后测量小车上的棱镜，以最大测量距离=80 m计算，m=1.07 mm。若全站仪是配合快速型轨道测量仪在小车上进行免置平设站，全站仪站点就是小车特征点，则m=0.37 mm。依据文献[14]，轨道中线横垂向偏差主要来源于小车特征点测量误差，因此，结合高速铁路轨道中线±10 mm的定位精度控制要求[15]，测量中误差应小于1.67 mm，全站仪免置平设站精度能满足要求。

3.2 线路试验

温度：24 ℃～28 ℃；气压：1 010～1 012 hPa；相对湿度：60%～70%；空气条件：微风；仪器：Leica TS60全站仪。

试验方法：1) 关闭全站仪的水平补偿功能，将全站仪安装于轨检小车上；2) 将轨检小车推到指定位置停稳并打开刹车，在CPⅢ控制点架设Leica GPR1圆棱镜，全站仪(免置平状态)依次观测8个CPⅢ控制点；3) 调用免置平设站算法计算全站仪站点参数，并以此为基础依次求解3个已知待测点的观测结果。

对照试验：1) 打开全站仪的水平补偿功能，安装于三角架上，依据物理气泡和电子气泡将全站仪调到水平状态(2个倾斜角均小于0.001°)；2) 打开全站仪机载的设站程序，依次观测8个控制点；3) 计算全站仪站点坐标和站点残差，对3个已知待测点进行观测；

分别记录设站残差和待测点坐标，计算对应项目的观测误差，如表1所示。

表1 站点残差及待测点精度对比

结果表明：免置平设站平差方法与置平设站方法精度相当，个别项目甚至略好于置平设站；在测量效率上，免置平设站明显优于置平设站。

4 结论

1) 以空间坐标转换建立高程和平面一体化的数学模型，通过变量代换、泰勒展开、函数自由极值、矩阵求逆等方法实现间接平差。该方法原理清晰，物理意义明确，打破了置平才能设站的传统。

2) 采用验后精度求权使观测值的权比关系更加合理，采用平差迭代方法使误差方程的线性化处理方式更有精度保证，两者联合使用进一步提高了设站的精度。

3) 对免置平设站方法进行了算法仿真，以任意姿态在任意位置设站，站点坐标点位中误差0.37 mm，姿态角中误差小于0.000 3°。对待测点进行测量，其点位中误差1.07 mm，表明该免置平设站方法具有较高设站精度，能满足高速铁路±10 mm的定位精度控制要求。

4) 线路试验表明：免置平设站方法在设站残差和待测点坐标测量方面，与置平设站方法精度相当，特别是在一些特殊场合，完全可以用其替代现有的置平设站方法，从而提高设站效率和设站适应性。

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A free-stationing method of ETS without leveling based on indirect adjustment

CAO Juanhua1, 2, ZHU Hongtao1, ZHU Yan3, WU Weijun1, PAN Xubin4, CHEN Shougang4

(1. College of mechanical and electrical engineering Nanchang University, Nanchang 330031, China;2. Jiangxi Technical College of Manufacturing, Nanchang 330095, China;3. College of Flight Vehicle Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330031, China;4. Guilin Maintains Department of High Speed Railway, China Railway Nanning Bureau Group Co., Ltd., Guilin 541001, China)

Leveling ETS is an essential preparation work of free-stationing in engineering survey practices. However, the leveling operation is cumbersome and insufficiently automated, which affects the efficiency of free-stationing. Meanwhile, this free-station method based on precise leveling is not applicable to the rapid free-stationing and measurement of mobile ETS. A free-stationing method of ETS without leveling based on indirect adjustment was proposed. Based on the simultaneous solution model of elevation and plane, the methods of variable substitution, Taylor expansion and matrix inversion were used to calculate the position and attitude of ETS. The method of weighted calculation by post inspection accuracy and adjustment iteration were used to improve the accuracy of free-stationing. The principle is clear, physical meaning is sound, and it eliminates the conventional prerequisite procedure of leveling for free-stationing operations. Computer simulations and field measurement trials show that this method has high accuracy and meets the precision requirement of high speed railways.

electronic total station (ETS); free-stationing without leveling; indirect adjustment