低碳经济下三级供应链动态减排的微分博弈分析

姜 跃，韩水华，赵 洋

(1.福建工程学院 管理学院，福建 福州 350118; 2.厦门大学 管理学院,福建 厦门 361005)3.山东工商学院 工商管理学院 山东 烟台264005)

0 引言

随着能源过度消耗，气候异常以及环境污染等问题日益突出，世界各国开始倡导低碳经济。低碳经济是世界经济发展的大势所趋，今后的竞争不是传统劳动力的竞争，也不是石油效率的竞争，而是碳生产率的竞争[1]。我国十三五规划提出未来五年，单位GDP能耗下降15%，单位二氧化碳排放量下降18%，并将碳排放强度削减列入“十三五”规划约束性目标，可见发展低碳经济已成为我国的重要国策[2]。

产品的碳排放量不仅受生产企业所采用的生产技术的影响，供应商所提供的原材料的情况以及零售商针对低碳产品的促销都会影响最终产品的碳排放量，所以产品减排需要供应链上下游企业的共同合作[3]。越来越多的品牌制造商开始甄选能够积极进行节能减排的品牌供应商，或者推动品牌供应商进行节能减排。对供应商在环保、碳减排和社会责任方面进行审核，是众多品牌供应商为保障供应链的低碳水平所采取的策略。在企业的供应链管理中，除了关注上游供应商的原材料的碳排放情况，下游零售商针对低碳产品开展的促销活动有利于提高低碳产品的销量及市场认可度[4]。因此产品减排不能仅依靠制造商，还需要供应商和零售商的紧密合作[5]。

在供应链减排方面，Benjaafar将碳排放融入到供应链决策中，并分析了碳排放对供应链决策的影响[6]。赵道致[7]和Du[8]进一步研究了外部碳排放政策对供应链上下游企业决策的影响。在此基础上姜跃研究了在碳税政策下，供应商参与和零售商减排成本分担是如何影响企业的减排决策的，同时分析了相关参数对企业决策的影响[9,10]。另外还有一些学者主要关注碳排放约束下的供应链协调与合作问题，曹细玉主要研究了在碳减排补贴与碳税政策下，供应链上下游企业如何协调才能同时现在经济和环境最优，研究结果表明供应链的减排量与减排技术投入正相关，碳税与减排补贴负相关[11]。Jaber在此基础上研究了另外一种碳排放政策，即碳排放交易政策下供应链应该如何进行协调与合作[12]。

另外，在实践中，减排投资需要一定的时间才能取得降低碳排放的效果，具有滞后效应，企业今天的减排投资会影响到明天产品的碳排放情况，今年的减排投资会影响到明年产品的碳排放情况，同时企业对减排进行的投资也是持续的，这就说明了企业的减排行为是动态的，研究供应链动态减排问题更符合实际情况。赵道致把减排的动态性融入到供应链减排博弈中，以供应商和制造商组成的供应链作为研究对象，使用微分博弈的方法分析得出了产品碳排放量是如何随时间的变化而变化的[13]。在此基础上赵道致又研究了零售商针对低碳产品进行宣传对产品动态减排量的影响[14]。还有其他部分学者在动态减排问题上也做了一些研究[15,16]。

综上，从动态角度，将微分博弈运用到供应链减排中的研究相对较少，并且多数是以两级供应链作为研究对象，因此本文主要以供应商、制造商和零售商组成的三级供应链作为研究对象，主要分析低碳经济背景下三级供应链的动态减排问题，对比分析在协同状态和非协同状态下分析得出产品的减排量运动轨迹，同时还得到供应商、制造商和零售商的最优决策及利润。最后，使用算例分析的方法分析了各参数对产品减排量的影响。

1 问题描述与模型假设

1.1 问题描述

本文以三级供应链作为研究对象，研究由供应商、制造商和零售商组成的三级供应链的动态减排问题。随着低碳意识的不断深入，部分消费者需求受产品的碳排放情况的影响，而最终产品的碳排放情况不仅受制造商减排的影响，同时供应商所提供原材料的低碳化程度也会影响最终产品的碳排放，因此，为了鼓励供应商参与减排，制造商会分担供应商部分减排成本。同时，低碳产品的市场需求还会受到下游零售商对低碳产品的宣传力度的影响，因此为了鼓励零售商加大低碳产品的宣传促销力度，制造商会分担零售商部分关于低碳产品宣传促销的成本。图1表示供应链减排决策过程。

图1 供应链决策过程图

在该供应链动态减排过程中，制造商为领导者，主要负责最终产品的减排工作，供应商和零售商为跟随者，分别负责原材料减排和低碳产品宣传与促销。决策时，制造商首先确定产品减排量、供应商减排成本和零售商低碳产品促销成本的分担比例，然后供应商和零售商分别确定减排努力程度和低碳产品宣传与促销的努力程度。

πS,πM,πR表示供应商、制造商和零售商生产和销售单位产品所获的利润；ES(t)EM(t)和表示供应商和制造商在t时刻的减排努力程度；ER(t)表示零售商在t时刻针对低碳产品的宣传与促销的努力程度；θ(t)和σ(t)分别表示在t时刻制造商分担的供应商减排成本比例和分担的零售商低碳产品宣传促销成本比例；x(t)表示t时刻产品的减排量。

1.2 模型假设

本文假设条件如下：

(1)

(2)

(3)

(3)最终产品的减排量取决于供应商和制造商的减排努力程度，假设βS表示供应商减排努力对产品减排量的影响系数，βM表示制造商减排努力对产品减排量的影响系数，λ表示供应链产品减排量的自然衰退率，则产品减排量变化过程的微分方程:

(4)

同时在初始时刻，供应链产品的减排量x(0)=x0≥0。

(4)假设产品的市场需求取决于碳减排总量和零售商低碳宣传的努力程度的线性组合，即:

D(x(t),ER(t))=μ+ηx(t)+δER(t)

(5)

其中μ>0为不进行减排和低碳宣传时产品的潜在需求；η>0，δ>0分别表示产品减排量和零售商低碳宣传对市场需求的影响系数。

(5)为了鼓励供应商减排和零售商宣传促销低碳产品，制造商会分担一部分供应商减排成本和零售商的促销成本，即θ(t)<1和δ(t)<1。

(6)假设供应商、制造商和零售商的贴现率均为ρ(ρ>0)，目标函数均为无限时间下的利润最大化。

(7)假设相关参数的取值符合分散决策和集中决策存在最优解的基本条件

2 模型构建及求解

2.1 非协同控制的分散决策

在非协同状态下的供应链动态减排过程中，制造商为领导者，主要负责最终产品的减排工作，供应商和零售商为跟随者，分别负责原材料减排和低碳产品宣传与促销，供应商、制造商和零售商的决策目标都是自身利润的最大化，制造商首先确定产品减排量、供应商减排成本和零售商低碳产品促销成本的分担比例，然后供应商和零售商分别确定减排努力程度和低碳产品宣传与促销的努力程度。根据上文假设，供应商、制造商和零售商贴现因子均为ρ，决策目标为各自利润在无限时区的最大化，即:

(6)

(7)

(8)

根据逆向归纳法，首先求供应商和零售商的最优决策，然后制造商根据供应商和零售商的最优决策确定自己的减排努力程度，以及分担的供应商减排成本和零售商低碳产品促销成本比例。

根据最优控制的解法，在t时刻，供应商的利润最优化问题为:

(9)

则t时刻供应商的最优减排量问题转化为：

(10)

满足的如下HJB方程:

(11)

易知ρVS(x)ES″<0，所以存在关于ES的最大值，且最大值在偏导数等于0处取得，通过对HJB方程的右端求偏导数，可以得到：

(12)

公式(12)表示供应商的反应函数，分析公式(12)可以得出如下结论。

结论1供应商的减排努力程度与制造商所分担的减排成本系数正相关，与自身的减排难度系数负相关。

结论1说明了制造商可以通过增加减排成本分担系数来提高供应商减排的积极性，进而提升供应商减排努力程度，降低原材料的碳排放量，同时供应商减排难度越大，供应商的减排成本就越高，因此供应商的减排努力程度就越低。

在t时刻，零售商的利润最优化问题为:

(13)

t时刻零售商最优低碳产品促销问题转化为:

(14)

满足的如下HJB方程:

(15)

易知ρVR(x)ER″，所以存在关于ER的最大值，且最大值在偏导数等于0处取得，通过对HJB方程的右端求偏导数，可以得到:

(16)

公式(16)表示零售商的反应函数，分析公式(16)可以得出如下结论。

结论2零售商低碳产品促销努力程度与其单位产品利润正相关，与零售商促销成本系数负相关，与制造商能够帮助零售商分担的低碳产品促销成本正相关。

结论2说明了制造商可以通过增加减排成本分担系数来提高制造商针对低碳产品促销的积极性，提高促销努力程度，进而提高低碳产品销量，同时零售商销售单位产品利润越高，零售商就越希望能够提高产品的销量，因而促销努力程度就越高，另一方面零售商促销的成本系数越大，零售商的促销成本就越高，因此零售商的促销努力程度就越低。

在t时刻，制造商的最优决策问题为:

(17)

则原问题可以转化为：

(18)

根据HJB方程可知：

(19)

上式(19)分别对EM，θ和σ求偏导数，并令偏导数等于0，可以得到(EM,θ,σ)如下:

(20)

将公式(20)入到(11)(15)和(19)中，并进行整理，可得：

(21)

(22)

(23)

根据(21)～(23)推测微分方程的特点，推测关于x的线性最优值函数是HJB方程的解，

VS(x)=a1x+b1,VR(x)

=a2x+b2,VM(x)=a3x+b3

(24)

将公式(24)代入到公式(21)-(23)中，并进行整理，把等式两边的同类项进行比较，并进行求解可得:

(25)

将公式(25)代入到(12)(16)和(20)中，可以得到供应商、零售商和制造商的最优策略为:

(26)

将公式(26)代入到公式(4)所表示的状态转移方程中，可以得到:

(27)

(28)

其中C表示常数。由于初始供应链产品的减排量x(t)=x(0)=x0≥0，可以求得x(t)的特解，则可以求得供应链产品减排量的运动曲线。

(29)

命题1在非协同状态下，供应商、制造商和零售商组成的三级供应链减排决策中：

(2)供应链系统达到最优减排量时的各供应商、制造商和零售商的均衡策略为:

(3)供应商、制造商和零售商的最优利润为:

命题1得出了在非协同状态下，由供应商、制造商和零售商组成的三级供应链动态减排中，制造商所生产的产品的最优减排量是如何随着时间的变化而变化的，供应商和制造商的最优减排努力程度和零售商对低碳产品进行促销的努力程度，以及制造商分担的供应商减排成本和零售商促销成本最优比例。命题1表明随着时间的变化，供应商、制造商和零售商要不断调整其最优决策，进而产品的减排量也会由于供应商、制造商和零售商最优决策的变化而不断变化。由命题1可得如下推论：

推论1制造商是否承担部分供应商的减排成本需要满足一定条件，当2βMπM>πS时，制造商才会承担部分供应商的减排成本，否则制造商不会分担供应商的减排费用，反而还会向供应商收取一定费用。制造商是否承担部分零售商低碳产品促销成本需要一定条件，当2πM>πR时，制造商才会承担部分零售商低碳产品促销成本，否则制造商不会分担零售商低碳产品促销费用，反而还会向零售商收取一定费用。

推论2随着供应商、制造商和零售商单位产品所获得的利润的不断上升，减排努力程度与低碳产品促销努力程度不断增强；随着贴现率、减排量的自然衰退率以及供应商、制造商的减排成本系数和零售商的促销成本系数的上升，减排努力程度与低碳产品促销努力程度不断减弱；随着消费者对减排量的敏感度和对促销敏感度的不断增加，减排努力程度与低碳产品促销努力程度不断增强。

推论2说明了如果消费者对减排量的敏感度和对促销敏感度较强，供应商、制造商和零售商进行减排和低碳产品促销的积极性较高，会增加产品减排和低碳产品促销方面的投入，进而获得较高利润。如果供应商和制造商的减排成本系数和零售商促销成本系数较高，此时供应链减排与促销成本相对较高，则减排和促销的积极性就会受到一定影响，因此需要政府进行一定干预，例如政府可以对供应商和制造商减排以及零售商的促销提供一定的补贴。

2.2 协同控制的集中决策

在协同状态下，供应链集中决策，决策变量为供应链各企业的减排努力程度。根据假设每个企业具有相同的贴现率ρ(ρ>0)，在集中决策下，供应链系统以贴现率ρ进行贴现后，决策目标为供应链总利润在无限时区的最大化，即:

πMD(x(t),ER(t))+πRD(x(t),ER(t))-

(30)

根据最优控制的解法，在t时刻，整条供应链供应商的利润最优化问题为:

(31)

则t时刻供应链系统的最优减排量问题可以转化为:

(32)

满足如下HJB方程:

(33)

(34)

将公式(34)代入到(33)整理可得:

(35)

根据(35)推测微分方程的特点，推测关于x的线性最优值函数是HJB方程的解，设

(36)

将公式(36)代入到公式(35)中，可得

(37)

求解可得:

(38)

(39)

将公式(39)代入到(34)中，可以得到供应商、零售商和制造商的最优策略为:

(40)

将公式(40)代入到公式(4)所表示的状态转移方程中，可以得到

(41)

由于初始供应链产品的减排量x(t)=x0≥0，可以求得x(t)的特解，则可以求得供应链产品减排量的运动曲线:

(42)

同时把公式(42)代入到(32)和(36)中，可以得到供应链的最优利润为:

(43)

由此分析可得命题2。

命题2在协同状态下，供应商、制造商和零售商组成的三级供应链减排决策中：

(2)供应链系统达到最优减排量时的各供应商、制造商和零售商的均衡策略为:

(3)供应链的总利润为:

其中，

2.3 协同状态与非协同状态比较分析

本节主要对比分析协同前后制造商的减排努力程度以及协同前后供应链系统的利润变化情况，求得:

命题3说明，制造商在协同状态下会比非协同状态下在减排方面投入更多努力，并且在协同状态下能够实现供应链系统的帕累托最优，这就意味着供应链在协同状态下进行决策不仅能够提高供应链系统的利润，还能够降低产品的碳排放量，同时实现经济与环境的最佳状态。

3 算例分析

为了进一步分析相关参数对产品减排量变化曲线的影响，本节使用算例分析分方法来分析产品减排的变化情况。根据前文假设，以及对参数的要求，算例相关参数取值如下:kS=22;kM=18;kR=12;μ=1000;η=2;δ=3;βS=2;βM=3;λ=1;πS=4;πM=6;πR=5;ρ=0.8;x0=0。

首先，将参数代入相关命题，利用Matlab可以得出产品的减排量是如何随着时间的变化而变化的，如图2所示。

分析图2可以发现，在协同状态下产品的减排量高于非协同状态，可见供应链协同决策更利于产品减排，同时还可以发现不论在协同状态还是非协同状态下，随着时间的变化，产品的减排量逐步上升，但是上升的速度越来越慢，并且逐步趋于稳定，这就说明了产品的减排量如果受到外部环境的影响会发生一定程度的变化，但是随着时间的发展，产品的减排量可以逐步返回均衡状态。

图2 减排量变化曲线

下面继续分析相关参数变化对减排量的影响，由于篇幅限制，本文仅分析供应商与制造商减排努力程度对减排量影响系数βS和βM，碳排放量对市场需求的影响系数η，供应链产品减排量的自然衰退率λ对减排量的影响，如图3～6所示，其它参数类似，不再赘述。

图3 βS对减排量的影响

图4 βM对减排量的影响

从图3、图4和图5可以看出，随着供应商与制造商减排努力程度对减排量影响系数βS和βM的不断增大，产品的减排量逐步增加，这主要是因为供应商与制造商减排努力程度对减排量影响系数βS和βM越大，供应商和制造商为减排而付出的努力越容易实现减排目标，因而长期减排效果越显著。随着碳排放量对市场需求的影响系数η的增加，产品减排量逐步增加，这表明碳排放量对市场需求的影响系数η越大，消费者越倾向购买低碳产品，此时长期减排效果越显著。

图5 η对减排量的影响

图6 λ对减排量的影响

图6表示供应链产品减排量的自然衰退率λ对减排量的影响，从图6可以看出，随着λ的增加，产品减排量不断下降。这表明当企业产品减排量的自然衰退率λ越大，企业减排成本越高，因此长期减排效果越差。

4 结论

本文考虑到碳减排的连续性，引入时间因素，从动态角度将微分博弈的方法应用到三级供应链的减排决策中，构建了由一个供应商、一个制造商和一个零售商组成三级供应链的动态减排模型，通过对比三级供应链在协同状态和非协同状态下的减排量及供应链系统利润，寻找实现供应链实现减排量最大时各企业的最优决策模式，通过求解所构建的模型，并进行分析，可以得到以下结论：

(1)协同状态下产品减排量及供应链系统利润均高于非协同状态，这就说明了供应链协同决策能够帮助供应链同时实现经济与环境最优，达到帕累托最优状态。

(2)随着时间的变化，产品的减排量逐步上升，但是上升的速度越来越慢，并且逐步趋于稳定，这就说明了产品的减排量如果受到外部环境的影响会发生一定程度的变化，但是随着时间的发展，产品的减排量可以逐步返回均衡状态。

(3)供应商与制造商减排努力程度对减排量影响系数βS和βM，以及碳排放量对市场需求的影响系数η越大，长期减排效果越显著；企业产品减排量的自然衰退率λ越大，长期减排效果越差，本文所得结论可以为供应商、制造商和零售商的决策提供理论依据。

由于本文重在研究三级供应链动态减排问题，因此没有考虑到外部环境政策对三级供应链动态减排及供应商、制造商和零售商最优决策的影响，因此在考虑外部环境政策时的三级供应链动态减排问题将是进一步研究课题。另外，在研究三级供应链动态减排问题时考虑多个供应商、制造商和零售商也将是未来的研究方向。