2020年高考全国卷Ⅰ理综第18题的多种解法比较*

陈新光

(福建师范大学附属中学 福建 福州 350007)

葛渊波

(福州第三中学 福建 福州 350003)

谢源浩

(福建师范大学附属中学 福建 福州 350007)

1 原题呈现

【题目】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图1中虚线所示，ab为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )

图1 高考原题题图

2 试题分析

本题主要考查知识点是不同速率的带电粒子在匀强磁场中的偏转情形，结合有界磁场边界(半圆形)，要求学生分析粒子在磁场中运动的最长时间，对学生的批判性思维能力要求颇高，具有较好的区分度．本文先给出网络上普遍的分析方法(解法1)，再推导得到严谨的理论表达式(解法2)，最后通过知识迁移、模型转化，给出巧妙解法(解法3)．

解法1：放缩圆法

图2 放缩圆法示意图

粒子运动最长时间为

选项C正确．

解法2：解析法

由于当r≤0.5R和r≥1.5R时，粒子运动时间都是半个周期，学生容易想到，在此不再赘述．重点考虑当0. 5R

图3 解析法示意图

令

且由

0. 5R

可知，x的取值范围为0.5

从表达式可以看出，当x=1时，表达式f(x)有最小值，角度φ有最大值．

当f(1)=0.5时，cosφ=0.5，在本题中φ=60°，即粒子在磁场中运动轨迹转过的圆心角度为θ=π+φ=240°．

解法3：图像法

基础模型——单边界磁场模型：如图4所示，当带电粒子从M点以π-φ角度入射到MN上半区为匀强磁场的区域中，从N点离开磁场．根据圆的对称性，在磁场中运动转过的圆心角θ=2(π-φ)．

图4 粒子在单边界磁场中运动示意图

对于本题，由于不同速度粒子都是在磁场中运动，可以理解为固定c点与离开磁场边界点连线的单边界模型，如图5所示，cN,cP和cQ分别为3个单边界磁场模型．从图中可以明显看出，当cP与圆边界相切时，边界线的偏离角度最大，即相对cP单边界而言，速度入射方向与边界cP的夹角最大，进而可知轨迹转过的圆心角最大．

图5 转动单边界法示意图

3 总结

对比3种解法，解法1是较为常规，是绝大多数学生能够想到的方法，也是平时教学中要求重点掌握的方法．但是，在卷面上手动画放缩圆比较困难，轨迹转过圆心角的最大值不易找到；解法2从物理模型中得到圆心角的数学表达式，从公式中得到圆心角的最大值，方法严谨，但步骤繁琐，对数学计算能力要求极高；解法3利用知识迁移，把带电粒子在单边界磁场中运动的相关结论迁移到本题解题中，由圆心角的判断转化为磁场边界角的判断，角度变化趋势直观，计算简单，是考试和平时学习中最佳选择方法．

以上仅是笔者的一些拙见，还请同行批评指正．