FRP筋锚杆拉拔试验剪切刚度变化及损伤力学模型1)

2021-01-06杨钊乔春生陈松

力学与实践 2020年6期

杨钊乔春生陈松

*(北京交通大学土木建筑工程学院，北京100044)†

(河北地质大学城市地质与工程学院，石家庄050031)

近几十年来，锚杆支护在铁路、水利、建筑工程等领域得到广泛运用。全长黏结锚杆作为锚杆支护的一种类型，在岩土工程中得到广泛运用[1-3]，研究锚杆界面处剪应力和剪切位移关系对锚杆的受力的解析计算和数值方法计算具有重要意义[4-6]。目前，常见的全长黏结锚杆根据材料类型可以分为钢筋锚杆和纤维增强塑料(fiber reinforced plastic，FRP)筋锚杆。在拉拔试验中，由于锚杆和浆液的界面层出现破坏，导致锚杆浆液界面的剪应力和位移关系发生变化。针对钢筋锚杆锚浆界面的剪应力和剪切位移关系，Benmokrane等[7]提出了钢筋锚杆的三折线的剪应力和剪切位移模型，受到许多学者的认可；王保田等[8]使用描述弹脆性岩石的子链单元模型，考虑锚杆界面的残余强度，并结合统计损伤理论，推导出钢筋锚杆的剪应力和剪切位移关系，并通过载荷传递法进行了受力计算。FRP筋锚杆由于材料性质和钢筋有一定区别，因此描述钢筋锚杆的方法适用性不强，对此许多学者针对FRP筋锚杆的剪应力和剪切位移关系做了一些工作。文献[9-12]均对FRP筋锚杆锚浆界面的剪应力和位移关系进行了研究，发现FRP筋锚杆界面的剪应力剪切位移关系呈现较强非线性，剪切刚度不为常数。通过对文献[9]中多组试验数据分析发现，一些试件中的剪应力随着位移增大而发生软化的程度并不明显，并且在位移几乎为零的初始阶段，由于锚浆界面的黏结强度很大导致界面剪切刚度极大[11]，甚至接近无穷，故在此位移很小的阶段已经产生了一定的剪应力。随着锚浆界面发生较为明显的剪切位移，其界面剪切刚度也伴随剪切位移发生变化。

界面剪切刚度是体现锚浆界面力学性能的重要力学指标，界面刚度劣化说明锚浆界面发生损伤，结合损伤力学分析FRP筋锚杆界面剪切刚度的变化规律对准确计算不同剪切位移下的界面剪应力具有重要意义，目前针对这一问题的研究甚少。鉴于此，本文参考文献[9]中的FRP筋室内拉拔试验中的界面剪应力和剪切位移的试验数据，通过计算统计界面剪切刚度劣化的规律，从不同角度出发，结合损伤理论，使用Weibull和幂函数[13]概率分布，采用与弹脆性子链单元模型不同的应变等效假设，分析FRP筋锚杆锚浆界面的剪切刚度劣化规律以及剪应力与剪切位移关系，确定FRP筋锚杆锚浆界面剪切刚度劣化的函数规律，并在此基础上进行锚杆的传力

分析。

1 FRP筋锚杆拉拔过程中剪切刚度变化规律

参照文献[9]所使用的试验数据，FRP筋锚杆在锚杆拉拔试验中的剪应力和位移关系曲线具有很强的非线性。为了对其非线性特性进行分析，定义锚杆和浆液界面的剪切刚度为

式中，ui为某一界面剪应力下对应的剪切位移，τi为某一位移下的FRP筋锚杆浆液界面的剪应力，τo为位移几乎为零时的剪应力，是由锚浆界面黏结现象产生的[11]，因为此时界面刚度很大，所以产生的剪切位移极小，为了简化分析，认为此时的位移为零。若是锚浆界面没有明显的黏结现象，τo可能为零。

按照式(1)计算锚浆界面剪切刚度，可得各个试件的剪切刚度变化规律，如图1所示。

图1 各个试件剪切刚度变化规律

由图1可知，锚杆在拉拔作用下出现位移后，锚浆界面的剪切刚度呈现随着剪切位移的增大而降低的趋势。为了研究剪切刚度和剪切位移的关系，通过观察曲线形态，采用指数函数进行拟合，定义拟合表达式为

按照式(2)对各个试件的数据进行拟合，结果如表1所示。

由表1可以看出，六个试件的指数函数拟合优度R平方接近1，拟合效果好，表明随着位移的增大，FRP筋锚杆的界面剪切刚度呈指数形式降低。界面剪切刚度是锚杆锚浆界面力学性能的综合体现，反映了FRP筋锚杆与浆液界面在拉拔作用下逐渐发生破坏的过程。

表1 试件试验数据拟合结果

2 损伤理论在FRP筋锚杆剪应力和位移关系中的应用

锚浆界面剪切刚度随着拉拔产生的位移而降低，反映出锚浆界面在拉拔作用下缺陷构造产生和发展的过程，可以通过损伤力学来描述这一渐进破坏的过程。剪切刚度的大小是衡量FRP筋锚杆锚浆界面性能的重要指标，其随剪切位移的增大而降低，说明锚浆界面力学性能发生劣化，故定义损伤变量为

式中，K为第二数据点到第一数据点的初始剪切刚度。

将式(2)代入式(3)可得损伤演化方程

由Lemarite应变等效假定[14-15]可得，锚浆界面发生损伤后，锚浆界面的剪应力和位移关系为

考虑几乎未产生位移时的“黏结强度”，将式(4)代入式(5)后平移τo，可得FRP筋锚杆锚浆界面的剪应力和剪切位移关系表达式

若从锚浆界面微裂纹微元强度的角度出发，锚浆界面发生的损伤为破坏的微裂纹个数和总的微裂纹个数的比值。采用位移作为衡量强度的指标，假定锚浆界面的随机微裂纹强度服从Weibull和幂函数[13]概率分布，概率密度函数的表达式为

式中，m和uo为拟合参数。

损伤变量的表达式为

将式(7)代入式(8)可得

同理可得两种FRP筋锚杆锚浆界面的剪应力和剪切位移关系表达式

3 基于载荷传递法的锚杆传力分析

在锚杆微段上，假定微段上的界面剪应力均匀分布，通过锚杆微段受力平衡可得[16]

式中，d为锚杆直径；P(x)为某一杆长截面处的轴力，满足

式中，E为锚杆的弹性模量。

某一杆长处的应变满足

式中，u(x)为不同杆长处的剪切位移。

联立式(11)～式(13)，并将式(6)和式(10)代入可得三种模型受力平衡方程

联立式(12)和式(13)可得轴力沿杆长分布的关系式

边界条件为式中，l为锚杆长度，P(x=0)为所施加的拉拔力大小。

同理可得三种模型剪应力随杆长的分布

同理可得三种模型损伤沿杆长的分布为

4 算例分析

4.1 锚杆锚浆界面损伤剪切滑移曲线

为进一步验证FRP筋锚杆锚浆界面剪切刚度呈指数衰减的合理性，采用上述所建立的三种FRP筋锚杆锚浆界面剪应力和剪切位移关系计算方法对锚浆界面的剪应力进行计算，拟合参数如表2所示，与试验结果对比如图2所示。

由图2可知，基于Weibull概率分布和剪切刚度指数形式劣化所计算的锚浆界面剪应力与试验数据较为吻合，幂函数概率分布所计算出的剪应力与试验数据差距较大，说明锚浆界面的随机微裂纹更好地服从Weibull分布。Weibull概率分布函数为指数函数形式，跟前文中对FRP筋锚杆锚浆界面的剪切刚度拟合方程形式非常接近，与试验数据较为吻合。通过Weibull概率分布剪应力和剪切位移模型可以再一次证明锚浆界面的剪切刚度呈指数形式衰减。

4.2 锚杆传力算例分析

使用试件三剪应力-位移数据的拟合参数，取锚杆直径为30 mm，FRP筋弹性模量为60 GPa，锚杆长度为500 mm。考虑到式(6)相对简单且拟合效果较好，故对式(14)中的第一分式进行分离变量

式中，c1为待求参数。

由式(16)可知，在锚杆锚固端的位移ux=l=ul为一常数，需要确定该常数才能进行进一步求解。先将式(16)中锚固端处的边界条件代入式(19)，可求得c1为

联合式(19)和式(20)有

表2 拟合参数表

图2 各试件拟合参数与试验数据的对比

将式(21)代入式(15)有

参考文献[16]中求解微分方程的方法，根据得出结果绘制载荷-位移曲线、轴力沿杆长分布、剪应力沿杆长分布、损伤沿杆长分布曲线，如图3～图6 所示。

由图3可知，本文计算所得载荷-位移曲线形式和文献[16]对于钢筋锚杆所计算结果有一定相似性。在未达到峰值之前，载荷-位移曲线呈曲线上升趋势，与文献[16]计算结果趋势一致；在达到曲线峰值之后，即锚杆位移达到一定值后，杆体突然被拔出，拉拔载荷降低，曲线呈突然下降趋势。该趋势和文献[16]所计算载荷-位移曲线趋势一致，区别是曲线下降幅度相对降低。这是因为FRP筋锚杆界面剪应力-位移关系和钢筋的剪应力应变有一定区别。FRP筋锚杆界面剪应力峰值后随着位移的增大跌落较少，没有出现非常明显的“残余强度”。考虑到锚杆轴力和界面剪应力呈现平衡关系，因此此时的端头轴力(载荷)会相对下降较少。除此之外，在较低载荷情况下，锚杆端头几乎不会出现位移，因为锚杆界面在位移极小时界面强度较大。

图3 载荷-位移曲线

图4 锚杆轴力沿杆长分布曲线

图5 锚杆剪应力沿杆长分布

图6 锚杆界面损伤值沿杆长分布

由图4可知，轴力随着在锚杆长度方向上逐渐衰减，与文献[16]中钢筋锚杆的轴力变化趋势一致。锚杆端头的轴力越大，沿杆长分布的锚杆轴力整体也就越大。这是因为在较大端头的拉拔力下，锚杆界面损伤越严重，锚杆杆体产生的应变越大。由图5(a)～图5 (c)可知，在锚杆杆端位移较小时，剪应力沿着杆长降低；在锚杆杆端位移到达一定值后，在杆中间部位出现剪应力峰值点，并随着杆端位移增加，峰值点向锚杆锚固段移动。由图6(a)～图6 (c)可知，在杆端位移较小时，杆端附近会发生较大的损伤，锚固端附近损伤较小。随着杆端位移的增大，锚固端附近的损伤增大，当位移达到一定程度时，杆端和锚固端处都接近完全损伤，此时锚杆界面已经基本破坏，界面剪应力要低于峰值。