导数概念的探究式教学设计

齐 静

(石家庄职业技术学院 信息工程系，河北 石家庄 050081)

高等数学是高职高专理工科学生必修的一门基础课程，是学好其他专业课的基础和工具.导数是高等数学的一个重要的基础概念，既是函数极限的实际应用，也是后续学习不定积分的知识基础，它不仅在物理学、医学、经济学等学科中有着重要的作用，也是研究函数的单调性、极值、最值及解决实际生活中最优化问题的重要工具.导数也是高等数学中的一个抽象概念，虽然学生在高中阶段已初步了解了导数的概念，并能进行一些简单的运算，但对于导数概念的深刻内涵还没有理解透彻，如果用传统教学方法进行教学，很难调动学生学习的积极性，学生学起来也有一定的困难，达不到理想的教学效果.因此，本文尝试采用探究式教学法进行导数概念教学，通过创设情境、合作探究、归纳总结、巩固练习、知识小结来调动学生学习的积极性，让学生主动参与到课程学习过程中，通过自主探究、合作交流，更好地理解导数的概念，掌握用导数求解瞬时速度和切线斜率的方法，即求增量，定比值，取极限[1].

1 创设情境，激发学生学习兴趣

著名物理学家、诺贝尔奖获得者费恩曼曾讲过一则笑话.一位女士因驾车超速而被警察拦住.警察走过来对她说：“太太，您刚才的车速是60英里每小时(1英里=1.609千米)！”这位女士反驳说：“不可能的！我才开了7分钟，还不到一个小时，怎么可能走了60英里呢？”“太太，我的意思是：如果您继续像刚才那样开车，在下一个小时里您将驶过60英里.”“这更是不可能的.我只要再行驶10英里就到家了，根本不需要再开过60英里的路程.”[2]17对此，提出如下问题：(1)车速60英里/小时是怎样测定的？ (2)一小时开60英里，这位太太又是怎么计算的？(3)这位太太没弄清楚什么概念？

通过与学生讨论这些问题，引出高中学习过的瞬时速度概念，进而抛出如何求瞬时速度的问题，从而自然地过渡到第二个环节.超速是每个学生都熟悉的实际问题，有的学生可能还亲身经历过.用学生熟知的实例引出相关概念，既可激发学生的求知欲与学习兴趣，又能唤醒学生的记忆，为用极限求瞬时速度做好铺垫.

2 合作探究，类比迁移，交流讨论

例1求变速直线运动的瞬时速度.

通过解决这一系列的小问题可降低学习的难度，让每个学生都参与其中，主动探究；借助几何画板动态演示将抽象的知识形象化、具体化，化解了难点；利用“非常非常小”“越来越小”“越来越接近”等这些形象的、常见的极限语言，可以使学生很自然地理解瞬时速度的定义，从而解决问题.

例2求平面曲线的切线斜率.

(1)圆的切线是如何定义的？(2)任意曲线的切线也可以这样定义吗？给出理由.

用几何画板描绘出一条曲线，如y=sinx，作出曲线上某一点的切线，让学生观察，随着点在曲线上的运动，切线也随之变化，而切线与曲线的交点不只一个，这就与学生已有的知识产生冲突，让学生意识到用已有的知识定义切线已经不合适了，从而激起学生的求知欲，让学生带着问题学习.

用PPT展示切线定义： 设有曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.用几何画板动态展示切线的形成过程，让学生进行观察、思考、讨论，回答几个问题： 一是当点N沿曲线C趋于点M时，割线MN是如何运动的；二是当割线MN运动到它的极限位置割线MT时，弦长|MN|的变化趋势？∠NMT的变化趋势？对此，通过几何画板的动态展示，帮助学生从运动角度直观地理解曲线的切线定义，从新的角度认识到切线就是割线的极限位置，为用极限思想求切线斜率打下知识基础；三是要求出过点M(x0,y0)的切线方程，还需要知道什么条件；四是直线的斜率怎么表示；五是既然切线是割线的极限位置，能否用割线斜率的极限来表示切线的斜率？

通过让学生讨论、交流，再加上一系列问题的引导，用割线的斜率逼近切线的斜率的思路就自然而然了，这个过程有利于培养学生的创新思维及知识迁移能力；通过几何画板的动态演示，借助例1的方法让学生主动探究，体验数学知识的形成过程，在运动变化过程中感受极限思想的运用，体会数学的过程美.

3 归纳总结，形成概念

引导学生对例1、例2的解决过程进行分析，发现二者虽然一个是物理问题，一个是几何问题，但仅从数学角度考虑，二者解决问题的思路是一样的，即数学的本质是相同的，都是函数增量与自变量增量比值的极限，所运用的都是极限思想.这种特殊的极限就是函数的导数，从而进行点题，引出导数的概念及公式[3]，指明导数就是函数的变化率，进而引导学生用导数表示例1、例2中的瞬时速度和切线斜率，熟悉导数的记法和符号，通过两个例子的解决过程，归纳出解决此类题目的步骤：求增量，定比值，取极限.最后利用这个方法求解课后习题.

通过分析，引导学生由具体的实际问题抽象得到导数的概念，实现由具体到抽象、由特殊到一般的思维飞跃；初步运用求导的三个步骤解题，让学生认识到三个步骤缺一不可，从而加深学生对导数概念的理解，培养其运用所学知识解决问题的能力.

为了加强学生对导数的理解，对导数公式进行等量变换，得到导数的几种常见形式：

其中，h为自变量的增量.

通过这几种常见形式，让学生体会到导数公式可以有不同的形式，但其本质相同，即函数值的增量与对应的自变量增量的极限，以进一步理解导数的概念.

这几个变式是对导数公式中“相应自变量”形式的变化.通过这几个变式练习让学生更加深刻地认识到，导数就是函数增量与相应的自变量增量比值的极限，进一步体会导数的形式可以千变万化，但实质不变——变化率，为学习导函数做好铺垫.

4 巩固练习，深化认识

例3判断函数f(x)=|x|在x=0处是否可导[3].

引导学生根据导数的定义先独立解答，然后就学生解题过程中出现的问题(|x|=x还是|x|=-x)让学生思考讨论，提示导数的本质是一个极限，而函数的极限有左、右极限，那么函数的导数有左、右导数吗？引入左、右导数的概念，并展示完整的解题过程供学生修正.

通过此题让学生主动发现问题，引发学生的思维碰撞，激起学生的求知欲，使他们更加积极主动地探究，也为自然而然地引入左、右导数做好铺垫，而由左、右极限引入左、右导数，实现了知识的迁移，便于学生理解.

x=1处是否可导.

练习2和练习3是对例1的补充.求分段函数分界点的导数是学生学习的难点，但有了例1的方法作铺垫，对这种问题的解决方法学生就容易掌握了.首先，通过这两个练习巩固学生对左、右导数的认识，强调从x0的左边或右边逼近x0时函数的表达式是不同的，但是f(x0)的值却只有一个；其次，说明不可导点也是存在的，为学习可导与连续之间的关系埋下伏笔；再次，对有的学生“投机取巧”妄图通过求出每段函数的导函数，代入分段点的值来求导数的做法，给出有力的“打击”，说明对于分段函数分段点的导数只能通过左、右导数来求解，为求分段函数的导函数埋下伏笔.

例4探究函数f(x)=|x|在x=2，x=1，x=-1，x=-2处的导数.你发现了什么？

例4与例1相对应，首先，让学生明确不是分段点的导数值可由导数公式直接求解，不需要求解左、右导数.

其次，通过求导让学生发现x0与f′(x0)的一一对应关系，联系函数的定义得到导函数的概念.

给出导函数的定义，让学生明确在x0处的导数与导函数、导数的区别：导数是导函数的简称，二者都是一个函数，在x0处的导数是一个具体的值，是导数在x0处的函数值，它们是整体与个体的关系.

再次，给出求函数导数的例题，引导学生按照求导公式求出导函数，并说明这些可以作为求导公式使用.

练习4求出练习2、练习3中分段函数的导数.

通过练习巩固新学的知识，总结出求导的三个步骤，为熟练掌握求导打下坚实基础；通过变式可培养学生的发散思维，加深学生对函数导数的认识，并与前面相呼应，进一步认识到求解分段函数的分界点的导数只能用定义求左、右导数.

5 知识小结，拓展提高

组织学生对所学知识点进行总结，归纳出求导的步骤，感悟其中蕴含的极限思想，反思学习过程中遇到的难点及化解方法，找出解决问题的关键，体会数学的过程美和严谨美.通过例1、例2让学生拓展理解导数的物理意义和几何意义，并给出相应的练习和变式练习.

通过总结，使学生学习的知识形成一个完整的系统，锻炼学生的逻辑思维能力和语言表达能力，通过拓展，培养学生的思维能力，并与开头相呼应，使学生进一步体会到数学的实际价值.

6 结语

导数是一个抽象性较强的概念，如果按传统的教学方法，学生能掌握求导过程及求导方法，但对于导数概念的理解及为什么这样求导会比较模糊.采用探究式教学法，通过实例可让学生明白导数的内涵，让学生带着目的学习，激起学生的学习兴趣.通过两个例子中的问题，充分调动学生学习的积极性和主动性，让学生进行思考和讨论交流，自主探究，在活动中不断地解决问题，更好地理解导数的实质.在这个过程中，要引导学生利用已有的知识来解决新问题，实现知识的迁移，通过设置问题梯度降低学习的难度，借助几何画板的动态演示来降低知识的难度，化解难点，使每个学生都能参与到课堂教学中，真正体会到学习的乐趣.

“还课堂于学生”“以学生为本”是新课改的理念，而探究式教学恰好体现了这一理念，课堂上学生讨论交流、各抒己见，积极性很高，有的学生还能主动到讲台讲解知识点，学习的主动性显著提高，但是如何发挥出探究式教学的最大效率，还需进一步努力和探索.