“数学建模”在高中数学解题中的应用研究

王洋洋

(北京师范大学(珠海)附属高级中学 519000)

“数学建模”是利用抽象的数学知识描述具体的现实问题，并依托数学模型分析、解决问题的素养.高中数学教材中蕴含着深刻的建模思想，在教学实践中，引导学生通过“数学建模”解决问题，能够有效锻炼学生的抽象思考能力，提升学生的逻辑推理水平，同时激发学生深入解读数学知识在社会生产生活中的应用价值，进而达到学以致用教学目的.因此，教师在解题指导中应利用建模思想启发学生探究解题思路，提高数学核心素养.

一、“数学建模”在高中数学解题中的应用实践

本文根据高中数学人教A版必修一教材内容，结合函数模型相关例题说明“数学建模”的实践应用.

例1某灯具城新进一批台灯，进价20元/台.台灯日销售量为w(台)，且销售单价x(元)与销售量之间存在函数关系，即w=-2x+80，如果每日销售台灯的利润为y(元)，那么(1)y与x之间存在怎样的函数关系？如果在保证销售量最大的前提下，灯具城要想每天获得150元的利润，则售价应如何调整？

解答(1)由于每天的销售利润等于每台的利润乘以销售量，则有y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600.

(2)根据题意，令y=150，即-2x2+120x-1600=150，解的x1=25，x2=35，根据w=-2x+80，可知函数单调递减，即当w增大时，x减小，所以，每台售价为25元时，灯具城能够在保证销售量最大的前提下，每天获得150元的利润.

例2某景区为方便游客设置了租车服务.已知景区共投放单车50辆，单车的日常管理费用每天115元，根据数据显示当单车日租金不高于6元，单车可以全部租出；超过6元，每增加1元，租出的单车就会减少3辆.如果单车日租金x取整数，且景区要求租车日总收入高于日常管理费用，用y表示租车的日净收入，请问当日租金为多少元，租车的日净收入最多？

解答根据题意列出y与x的函数关系式，即当x≤6时，y=50x-115，令50x-115>0，解得x>2.3.由于x∈N*，所以x≥3，且3≤x≤6，x∈N*.

当x>6时，y=[50-3(x-6)]x-115.

令[50-3(x-6)]x-115>0，有3x2-68x+115<0，

上述不等式的整数解为2≤x≤20(x∈N*)，

所以6

对于y=50x-115(3≤x≤6，x∈N*).

显然当x=6时，ymax=185(元)，

当x=11时，ymax=270(元).

由于270>185，

所以，当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多.

例3一电子企业年终报表中反映2010年共生产智能手机2万部，为扩大生产，该企业计划从2011年起以 20%的年增速度逐步扩大产量，请问按照这一速度，这家企业从哪一年开始智能手机的年产量超过12万件？

解答根据题意设该企业的年产量为y，n年后的产量为y=2(1+20%)n.

当该企业产量超过12万件时，则有y>12，即2(1+20%)n>12，化简(1.2)n>6.

两边以1.2为底取对数，可得n>log1.26,查看对数表可以得出n≈9.8.取整数n=10.

所以，从2020年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过 12 万件.

上述例题结合高中常见问题集中分析了“数学建模”在解题中的运用.当然，“数学建模”的应用并不仅限于此，方程建模、数列建模以及统计学中的相关模型，学生在日常解题遇到的概率也很大.教师在解题指导中，应着重强调对建模思想的渗透，具体来讲就是针对建模步骤启发学生的深入思考，让学生在规范解题过程中深化对“数学建模”的思考，把握“数学建模”的应用规律，提高自主运用能力.

二、“数学建模”在高中数学解题中的应用反思

“数学建模”在高中数学解题中的渗透是课程教学指导的重要内容，数学教师为保证教学效果，提升学生的数学思维，提供学生的自主建模、独立解题能力，应不断反思“数学建模”过程，提高解题指导效果.

“数学建模”不仅是一种解题思路，更是一种数学思想，其中蕴含着深刻的数学理论.学生在解题中运用函数等数学知识很容易，但是形成建模思维却很难，这不仅需要扎实的数学知识基础支撑，更需要学生保持对数学探究与应用的兴趣.针对此，在解题指导过程中，教师应立足于知识基础与学习兴趣，一方面结合教材完善课程讲解，帮助学生深入知识理解，建立完善的知识体系，并把握常见的数学模型；另一方面注重兴趣引导，将数学模型与现实问题相结合，激发学生建模兴趣，促使学生深入认识实际问题与数学知识之间的关联性，产生探索数学建模本质的强烈愿望.

“数学建模”需要学生分析数学知识抽象运用，更应该注重对教学情境的构建，促使学生一边建模，一边体验利用数学知识和方法的乐趣，并鼓励学生围绕建模进行联想与想象，针对已知问题进行适当变形，拓宽建模的应用范围，达到举一反三的学习效果.此外，教师还应强调模型检验过程，对于数学问题而言，模型的正确与否直接决定着后续解题过程是否合理，最终答案是否准确.因此，教师应指导学生养成反思与检验的好习惯，根据问题中的条件，以及模型自身的特点验证模型的准确性、合理性，并针对问题做出调整，以提高模型的适用性，提高学生独立思考以及自主解题能力.

总之，“数学建模”充分体现了学以致用的理念，学生在解题过程中通过建模能够建立现实问题与抽象数学的关系，并创新探索 解题思路.基于此，教师在日常解题指导中应积极渗透，让学生在建模过程中提高知识应用意识，提升创新实践素养.