利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题

李 宁 唐盛彪

(海南省海南中学 571158)

由圆幂定理，有|M′A′|·|M′B′|=|M′C′|·|M′D′|，从而|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

设kAQ=kOP=k，则

设圆C′与X轴的另一交点为B′，由于∠B′O′R′=∠B′Q′R′=90°，从而B′,O′,Q′,R′四点共圆. 由圆幂定理，有|A′Q′|·|A′R′|=|A′O′|·|A′B′|=R·2R=2R2=2|O′P′|2，其中R为圆C′半径.

当直线l的斜率不存在时，与椭圆C只有一个交点，不符合题意，因此直线l的斜率存在，设其为k.

对于直线与椭圆相交时的|PA|·|PB|问题，或者直线与椭圆相切时的|PT|2问题，可借助伸缩变换，将椭圆变为圆，借助圆幂定理从几何角度便利解决，避免了代数解法的繁杂计算. 同时，借助伸缩变换，还可以将前3个例题向一般情形作推广.

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