非线性条件的高中物理习题解决方法探讨

汪鹏

摘   要：在物理习题的解决过程中，学生较为擅长根据恒定或是线性变化的已知条件求解问题，但是对于非线性条件的物理习题则难以顺利解决。文章以四道习题为例，探讨微元法和转化法在非线性物理习题解决中的有效运用，阐述此类习题解决过程对学生科学思维的有效培养。

关键词：非线性;微元法;转换法

中图分類号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）12-0057-3

学生在中学物理习题解决过程中，利用某些恒定的物理量解决问题，问题解决过程较为简单，如恒力做功问题、匀速运动问题等。而当问题解决所必须的物理量并非恒定，呈线性变化时，习题解决过程则稍显复杂一些，如匀变速直线运动问题，均匀变化的力的做功问题等。此类问题利用数学公式的转化、图像法等方法也可以较好地得到解决。但是，如果解决问题所必须的物理量是非线性变化的，那么问题的解决则非常复杂，对学生提出了非常高的要求。

非线性条件的物理习题解决一直都是物理教学中的难点，笔者以4道习题为例，探讨微元法和转化法在此类问题中的有效应用。

1    微元法

微元法是指在处理复杂物理问题中，将其分解为一个个微小的单元，通过对这些单元进行细致分析，找到特定的性质或者规律，再从局部到整体，归纳出合适的结论。在非线性物理问题中，可以利用微元法将其“非线性”转化为“线性”或是“恒定”，从而达成问题的解决。

1.1    物理参量微元

当物理问题中的某些参量情况非常复杂时，通过对其进行微元，研究其中任意一份，运用物理规律和数学方法求出整体的运动或是受力情况。

例1 在水平外力F的作用下，质量为50 kg的物体，沿着直径为60 m的水平圆形轨道匀速运动一周，已知物体与圆形轨道间的动摩擦因数为0.8，π取3.14，则外力所做的功为（       ）

A.0            B.7.536×104 J

C.1.25×104 J D.2.536×104 J

解析 恒力做功且物体沿着直线运动的情况可以直接套用做功的公式，但是对于变力做功、曲线运动等问题则无法直接应用公式。此问题是非常典型的非线性问题，对此可以采用微元法，对问题情境中的某一物理参量进行微元。取圆周轨道的任意一极短线段Δl，即可认为物体在此极短线段Δl上的运动为匀速直线运动。因为物体全程均为匀速运动，则水平外力F等于摩擦力，F=μmg=400 N。在Δl上F所做的功：W1=F·Δl1=400Δl1。对于整个过程中，F做的总功为：

W=W1+W2+…=400Δl1+400Δl2+…=400×2π×30=7.536×104 J。

1.2    物理过程微元

当研究的物理对象运动过程非常复杂时，将其运动过程或按时间、或按位移进行微元，则微元后的任一过程均可采用高中的物理知识处理，再对每个过程进行数学求和，即可得到物体复杂运动时的变化规律。

例2 如图1所示，质量为m的金属杆水平放在光滑导轨上，导轨间距为L，一端连接一阻值为R的电阻，忽略其他电阻，垂直于导轨平面有一磁感应强度为B的匀强磁场。金属杆有一向右的初速度v0，导轨足够长，求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？

解析 由题意可知，金属杆向右运动是加速度不断变化的减速运动，且其加速度变化是非线性的，故无法直接利用诸多物理公式进行求解。此类问题也是典型的非线性问题，因其运动过程异常复杂，故采用对其运动过程进行微元的方法。

2    转换法

转换法是指在保证作用效果相同的前提下，将复杂难以处理的变量转化为简单易处理的对象，用较为简单的因素代替复杂的因素，使问题得以化简，便于求解。在非线性问题中，利用物理问题中参量在某一方面的等效，可以将非线性的参量转化为其他线性、恒定的物理量，从而大大降低问题解决的难度。

2.1    能量转化

某些问题的过程和情境可能是非常复杂的，很多细节都非常难以把握。但是，从能量的角度出发，有效把握始末状态，对复杂的运动过程进行有效的忽略或是规避，将整个问题转化为一个较为简单、熟知的过程，则可以轻松地解决问题。

例3  如图2所示，细线的一端系一个小球，另一端固定在O点。在水平拉力F作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是（ ）

A.逐渐增大            B.逐渐减小

C.先增大，后减小    D.先减小，后增大

解析 由题意可知，在小球做圆周运动过程中，拉力F的大小一直在改变，并且小球的速度也是每时每刻改变，这是一个典型的非线性问题。但是，若从能量的角度进行考虑，问题的解决则变得非常简单[1]。由动能定理得：EB-EA=WG-WF，因为小球速率恒定，所以其动能的变化量EB-EA=0，即此运动情境中拉力的功率在数值上与重力的功率相等。故拉力功率的变化问题可以转换为重力功率的变化问题，而重力的大小、方向均恒定不变，小球在竖直方向的速度越来越快，故其功率逐渐增大。

2.2    模型转化

在非线性问题中，若可以将问题的复杂情境有效转化为学生熟悉的一些典型模型，或是将非理想模型转化为理想化模型，则对于问题的解决有着极大的帮助。

例4 如图3甲所示，内壁光滑的竖直圆筒，半径为R，在侧壁同一竖直线上有A、B两小孔相距h，将一小球从上部 A孔沿筒内壁水平射入筒中，小球紧貼筒内壁运动，并恰好能到达下部小孔B，所用时间为t1，到达下部小孔B时的速度大小为vB。如图3乙所示，用光滑细钢丝绕成的螺距相同的柱形螺线管，横截面半径也为R，竖直固定放置。钢丝上下两端C、D也恰好在同一竖直线上，相距h，一小铜环穿在钢丝上从上端C无初速下滑到达底端D，所用时间为t2，到达D端时的速度大小为vD，二者相比较，下列结论正确的是（ ）

A.t1=t2     B.t1<t2

C.vB=vD D.vB>vD

3    对于科学思维的培养

科学思维是物理核心素养的重要内容之一，是从物理学视角对于客观事物的本质、规律以及相互关系的认识方式，主要涵盖科学推理、模型建构、科学论证、质疑创新等要素[2]。非线性条件的物理习题解决过程，综合训练了学生的科学推理能力和模型建构能力，既是学生物理知识与技能的运用过程，更是学生科学思维的培养过程。

非线性条件的物理习题解决的难点主要有两点，一是问题情境异常复杂，常涉及到不规则物体、变力做功、运动方向时刻改变等情况;二是问题的解决无法直接套用任何物理定律或是模型，学生面对问题没有具体的思路，常会感到无从下手。

在此类习题的教学过程中，教师要梳理、显化科学推理方法，帮助学生在问题情境中抽取有效信息，找准思维的着力点[3]。在习题训练中应有意识地培养学生的微分思想和转化等效思想，创新学生的思维认知，帮助学生克服非线性条件所带来的认知障碍，使学生能够在陌生的非线性环境中找到自己所熟悉的线性关系或是模型，从而达成问题的解决，培养学生的科学思维。

参考文献：

[1]左祥胜.变力做功的计算方法[J].物理教师，2012，33（11）：15-16.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[3]王胜华.强化论证推理  培养科学思维——以2019年高考全国物理Ⅱ卷第25题为例[J].物理教师，2020，41（03）：81-82.

（栏目编辑    罗琬华）