高等数学的持续有效学习研究

张艳玲

（衡水学院 河北·衡水 053000）

德国大数学家、天文学家，物理学家高斯说：“数学是科学的皇后，虽然她常常屈尊去为其他自然科学效劳，但在她与所有学科的关系中，她始终堪称第一。”

高等数学，不再是单独的一门学科，它对其他学科的支持功能显而易见，并且越来越被人们认可。学好高等数学，也不仅仅是这一门课的问题。高等数学知识的掌握程度会直接影响其他专业一些后续课程的学习。所以，高等数学的学习，必须是持续有效的。

1 高等数学的学习应该是持续的

一方面，高等数学学习的持续性要求首先体现在高等数学这门课程的学习应该是不间断的，这是最基本的。

由高等数学的知识框架可以知道，高等数学本身就是连贯的，由简到繁，由浅到深，由一元到多元，前面知识点可作为后面内容的基础，而上册内容整体上又是下册学习内容的基础。

比如一元函数的导数与积分，导数和积分互为逆运算。导数基本公式是积分基本公式的求解依据，积分基本公式可由导数基本公式结合积分定义推导而来。在学习了导数之后，再学习积分就会简单很多。例如已知（x2）'=2x，结合原函数及积分的定义，我们自然可知道。但是如果之前导数公式没有掌握好，比如不知道y=x2的导数如何求解，那原函数一定不会求，那积分的求解也更不用说了。当然这是一个极简单的例子，但足以说明前后知识的连贯和影响。

再比如多元函数的学习。到了多元函数的学习部分，相当一部分同学会感觉很难。其实难，难在什么地方？是多元函数本身的难度太高吗？其实不是。真正的难，是难在一元函数相关的理论和技巧没有掌握好。二元函数和一元函数在很多方面都是相通的，在学习过程中需要掌握这二者的相通之处和它们的不同之处。二元函数是一元函数的扩展。如果一元函数求导没有真正弄明白，没有掌握好，那二元函数就必然会感觉很难，尤其是二元函数是求“偏导”。

同样举个简单的例子。例如求z=x2y的偏导数。“偏”是新内容，“导数”就要借助一元函数的方法来求解。“二元函数有几个自变量，就要有几个偏导数。”“求偏导时，对谁求偏导，就把谁看作自变量，其他自变量看作常数。”这两条是要牢记的。这是与一元函数不同的地方，也是二元函数扩展出的新内容。如求，是函数z对自变量x求偏导，就需要把x看作自变量，把y看作常数来处理，这样二元函数z=x2y就可看作是z关于x的一元函数，求解时自然就可以借用一元函数的求导法则。由此可求。同理。

在实际的学习过程中，往往是新学习的内容掌握的相对较好，而出问题比较多的是之前的基础知识。这其实就是前面知识没有掌握好。也可能是当时觉着会了，但实际并没有真正理解，导致过了一段时间就忘记了。古话说“温故而知新”，学习新知识的同时需要时常去复习以前的知识。这也体现了知识体系的连贯性和持续性学习的重要性。

另一方面，高等数学学习的持续性，也可以理解为高等数学的学习需要贯穿于整个学习阶段。

（1）数学是一门基础学科。现在高等数学一般都是设置在一年级的两个学期。由此我们也能看出它的前驱课程性质。很多专业课程多多少少要用到高等数学的知识。

例如，某品牌电扇生产商一个月生产Q台电扇的成本为C(Q)=200+5Q，相应收益为R(Q)=10Q-0.01Q2。求月产量为多少时，利润最大？这是经济学中的典型的最大利润问题，根据已知条件，需要先写出利润函数 L(Q)=R(Q)-C(Q)=5Q-0.01Q2-200，这是个一元函数，而求利润最大，实际上就需要去求这个一元函数的极值。一元函数的极值如何求解？如果学生掌握不好的话，那这道题也就止步于此而不得求解了。

（2）很多专业课程中的很多理论都要依赖数学知识，很多问题最终都要转化为数学问题来求解。如果学生数学知识掌握不牢，那专业课程的学习难度也会增加。

例如，在工程测量中土的密度与压实功的关系，材料拉伸程图，地基的沉降量等等，需要用到函数极限、单调性、凹凸性、导数、极值、曲率、定积分概念及积分思想；在化工原理中流动系统的能量衡量常常会用到伯努利方程；在物理学中物理的运动速度、加速度问题是典型的求变化率问题，需要用导数来求解；求物理的转动惯量、电场强度等是典型的求关于某个区域累积量的问题，这就要结合物理意义，用积分来求解；求解磁感应强度，磁通量这类问题，往往就要用到高斯公式。还有更多的学科中也会有相关问题需要用到高等数学的知识来解决。

可以说，高等数学是其他学科的基础的工具，高等数学知识在后续的其他的专业课程中会持续使用。所以即使开设的高等数学这门课程结束了，高等数学相关知识的学习也是需要一直坚持的。高等数学是解决问题的工具，掌握好了这个工具，再去解决问题，就会得心应手，事半功倍。

2 高等数学的学习应该是有效的

有效是什么意思？简单来讲，就是学有所得，学有所获，并能学以致用。以函数导数为例，首先检验定义定理和公式是否记住。然后，检验是否已经理解定义或定理的本质，“函数增量与自变量增量之比的极限”，遇到其它实际问题是否能够抓住本质进而剥离出我们需要的函数量。再有，二元函数求偏导需要借助一元函数求导，学习二元函数偏导时是否可以借助一元函数求导的知识，发现二元函数偏导与一元函数求导数的相通与不同，进而掌握二元函数偏导数。如果都可以做到，那这部分的学习可以说就是有效的。否则就是无效或者是低效的。

怎么才能保证有效？我们就需要了解高等数学这门课的性质，采取适当的学习方法，再加上自己的努力，从而使得学习效果最大化。

高等数学的课程性质主要有以下四点：

（1）高等数学的抽象性。高等数学几乎是只保留了量的关系和空间形式，其抽象程度超过了绝大多数自然科学的抽象程度。其中多数概念都是在数、集合等原始概念上给出定义。比如极限定义，其中“任意的”“给定M”“无限接近”“存在的N”都是一些抽象的术语。对于这些表述我们就需要严格地去理解，才能掌握好这个极限定义。又比如导数的定义是从速度，切线斜率等问题中抽象出来而得出，二重积分的定义是从求解曲顶柱体体积和薄片质量中抽象得到。再比如，一元函数可以理解为与平面图形对应，二元函数可以理解为与空间图形对应，三元或四元函数呢？在现实世界中我们找不到与之对应的图形，我们也很难想象出来。

（2）高等数学的系统性。高等数学内容看似独立，但实际一环扣一环，环环相扣。每一章中，前一节是后一节的基础，后一节是前一节的拓展。各章之间也是彼此联系，前面章节是后面章节的基础，后面章节的学习要用到前面章节的内容。

（3）高等数学的严谨性。高等数学的严谨性首先可以从定义中看出，仍以极限定义为例，其中“任意的”“给定”“无限接近”“存在”，都是对各条件的严谨限定，这几个条件不能做任何变化，变化之后就会出现问题。另外，高等数学中数学问题都是用已知的条件和定理及已有的数据，非常严谨地去求解或求证。条件不足或条件不充分，则不能推出结论。

（4）高等数学定义多，定理多，公式多，习题多。高等数学很多节中都会有几个定义或定理，比如函数极限一节中就有4个定义和4个定理；函数求导法则一节中有16个公式。每小节后有很多练习题，每章还有总练习题。这些都需要认真掌握，并且通过练习来巩固。

了解了高等数学这门课的课程性质，有的放矢，再采用适合的学习方法，才能够提升学习效果。

3 针对高等数学学习的建议

高等数学的课程性质就要求大家在学习高等数学时需要一步一个脚印，学了就要争取掌握牢固。为了更有效的学习高等数学，在学习过程中，需要注意以下几个问题：

（1）预习。高等数学的内容很多，但学时有限，所以每次课的讲授内容都很多，速度也会偏快一些。预习可以对下次课的内容有个初步的了解。这样，上课时就可以有重点地听，可以大大地提高听课的效果。同时，也能培养自学能力。

（2）听课。课堂上听教师授课是学生获取知识的一个主要环节。听课，主要是要听如何提出问题，如何分析问题，并如何解决问题。上课时要紧跟教师的节奏，听问题，抓关键，求思路，寻方法，并认真思考。尤其是在一些抽象问题的学习上，更要如此。

（3）记笔记。俗话说“好记性不如烂笔头”。高等数学知识点繁多又相互联系，逻辑也很严谨。上课时把教师的重难点、思路方法、典型例题、自己的疑难点等做好记录，课后回顾时打开笔记，所有内容一目了然。课后重点复习，重点思考，解决疑难点。

（4）复习。“学习”包含“学”和“习”。“学”是获取新知。“习”则是将所学知识进一步消化内化的过程。“学”与“习”应相辅相成。孔子的“学而时习之”就是这个道理。复习最好是在学习当天或第二天进行，并结合教材和笔记内容综合复习。

（5）练习。练习是学习高等数学的很必要，也很有效的手段。通过练习，可以检验自己听课、复习的效果，可以提高运算能力，更好地掌握解题方法和技巧，提高运用所学知识分析问题解决问题的能力。

（6）思考。“学而不思则罔”指出了思考的重要性。高等数学知识点繁多，逻辑关系又非常严谨。多想一想，多问一问“为什么”。在“想”和“问”过程中能够逐渐将所学内容内化为自己所得。

4 总结

高等数学不仅是知识，更是一种思维。高等数学不仅仅是科学，更是一种文化，一种素养。高等数学应用广泛，在军事领域、教育领域、经济管理领域、学术研究领域等等多种领域，高等数学都起着重要的作用。高等数学是基础，很多其它领域的实际问题最终都要转化为数学问题，需要用数学的理论和思维去解决。因此，我们要正视高等数学，认识其重要性，持续有效地学习，并能够熟练地以高等数学为工具去分析问题、解决问题。