浅谈大学数学中的哲学思想

谢婉秋

（陆军步兵学院 江西·南昌 330100）

哲学是人们对自然知识、社会知识和思维知识的概括与总结，是研究整个物质世界普遍本质及规律的科学。哲学是包罗万象的科学之母，是人类认识世界的先导，是对未知领域的思考与探索，而数学是认识世界的准备工具，它是以客观世界的空间形式、数量关系以及结构关系为主要研究对象的一门具体的科学，数学概念、思想、方法和成果都在科学发展中具有十分重要的影响，而且数学已经广泛的渗透到了科学知识的各个领域。在高等教育中，数学是最普遍也是最重要的基础课程，更是其他理工科教育教学的基本工具，那么在理工科的教育教学中，数学教育的重要性不言而喻。

数学家兼哲学家波尔达斯认为：“没有数学，无法看透哲学的深度，没有哲学，也无法探知数学的深度”，深刻地揭示了数学与哲学相互依赖的关系。历史上众多知名的数学家也是哲学家，如：古希腊的泰勒斯，毕达哥拉斯，法国的笛卡尔，德国的莱布尼茨等，他们研究数学的同时也在研究哲学。哲学作为世界观和方法论，对数学发展具有指导和推动作用，反之，数学也始终影响着哲学，有积极的，也有消极的，并以积极的成果推动着哲学的发展。

高等数学、线性代数是大学数学类课程的重要基础课，属于自然科学，但其中蕴涵着丰富的哲学思想。新时代背景下，国家积极倡导课程思政的育人功能，课程思政旨在充分挖掘各类课程中的思想政治教育元素，而哲学作为融入思政元素的重要切入点，如果在实践教学中，教师能够充分挖掘出课程中的哲学思想，用哲学的思想和认识来指导实践教学，不仅可以强化学生的思辨能力，提高学生的哲学素养，还可以使学生从哲学角度来认识数学、感悟数学。

1 变与不变

苏轼曾云：“盖将自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也”，他从哲学中变与不变的角度来感慨人生。数学与哲学有着密不可分的内在联系，数学中处处彰显变与不变的矛盾统一，在变化中抓住不变的量，挖掘其不变的本质才是根本。

大学数学中变与不变的思想随处可见，高等数学中，导数的定义的形式具有多样性，但本质上都是增量比的极限；在计算极限时，等价无穷小的替换是一种常用手段，形式上用简单幂函数等价替换原本复杂函数，但极限的结果保持不变；在计算全微分时，无论和是自变量还是中间变量，由全微分形式的不变性可知，全微分总可以表示成固定的形式；在计算线面积分时，由积分与路径无关可知，选择简单的路径替代原本复杂的路径，积分结果不变。线性代数中，对行列式作初等变换，其值不变；对矩阵作初等变换，其秩不变；对向量组作初等变换，其秩以及线性表示关系不变；对矩阵作相似变换，其行列式、特征值、迹以及秩不变；对矩阵作合同变换，其秩与对称性不变；对二次型作标准变换，其正、负惯性指数不变。

在大学数学的教学中，有意识地培养学生以不变应万变能力，学会面对错综复杂的问题时，透过现象看本质，从千变万化中寻找不变规律，感受数学万变不离其宗之真谛。

2 量变与质变

辩证唯物主义认为，事物具有质和量两种状态，是质变和量变的统一体。量变与质变是一对辩证的关系，数学研究就是从量的关系方面去把握事物的质及其变化的规律。

在大学数学中，许多研究对象都与某些量密切相关，当这些量发生变化时，随着量的积累，特别是达到一定程度时，就会产生质的改变。高等数学中，很多运算法则及性质都是建立在有限个前提下，推广到无限个未必成立，如无穷小量的运算法则、极限的运算法则、函数的求导法则以及积分的性质；同时依据导数的符号判断函数的单调性、凹凸性以及极值也体现了量变与质变的辩证关系。线性代数中，根据行列式的值是否为零来判断矩阵的可逆性；根据行列式的值是否为零来判断向量组的线性相关性；根据方程组系数矩阵和增广矩阵的秩来判断方程组是否有解；根据二次型矩阵的特征值来判断二次型是否正定，以上数学实例都是“以量定质”的具体体现。

在大学数学的教学中，教师要善于引导学生发现引起质变的各种影响因素，通过分析诸因素对质变的影响程度，发现达到临界时需要满足的条件，还可以进一步把临界值精确化，这样的话，我们发现在实践应用中，如果想要保持某种状态，只需要把量控制在临界值的范围之内即可，这其实也是数学上的分类讨论的思想的体现。因何导致量变，量变何时产生质变，深度挖掘影响量变的根本，让学生在教育教学全过程中感受数学与哲学双重思想，更高效的达到教学目的。

3 对立与统一

对立统一是事物存在的方式，它揭示出自然界、人类社会和人的思想中任何事物内部都是矛盾的统一体，矛盾双方相互排斥，又相互关联，推动着事物的变化和发展。众多哲学范畴都蕴含着对立与统一规律，下面针对其中比较重要的几对哲学范畴举例阐述。

3.1 特殊与一般

从认识论的角度来看，从特殊问题探索一般规律是人认识事物遵循的一般规律，由浅入深，由易到难，更容易加深理解，提高学习的境界。

在大学数学的教学过程中，我们不难发现处处渗透着从特殊到一般的思想，高等数学中，一方面体现在公式的推导过程中，如求函数高阶导数的公式—莱布尼茨公式、初等函数的麦克劳林公式，以上都是利用数学归纳法，通过低阶导数找到一般规律，从而得到最终结论；再比如微分中值定理—罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的研究过程、格林公式到斯托克斯公式的研究过程，充分体现了从特殊到一般的过程，也是认识逐渐加深的过程。另一方面体现在解决计算问题时，常把一般的难求的转化为已知的易求的，如求一般高阶导数时利用莱布尼茨公式转化为初等函数的高阶导数的运算；一般级数的敛散性的判别可以通过加绝对值的形式转化为讨论正项级数的敛散性；计算重积分与线面积分时转化为定积分；计算非齐次线性微分方程的通解时，转化为先求对应的齐次线性微分方程的通解；计算多元函数的极限时，常利用变量代换转化为一元函数来讨论，体现了一般与特殊之间相互转化的思想。

线性代数中，许多问题的分析和解决都遵循从特殊到一般的规律，一方面体现在概念建立的过程中，如由二、三阶行列式得到阶行列式的定义；由两个、三个向量构成的向量组的线性相关性得到个向量构成的向量组的线性相关性的概念；另一方面体现在解决问题时，如将矩阵化为分块对角矩阵，计算矩阵的逆与高次幂；将矩阵化为阶梯形矩阵，得到矩阵的秩与向量组的最大无关组；将矩阵化为行最简形矩阵，得到向量组具体的线性表示关系；利用正交变换或配方法将二次型化为标准型，求变换矩阵。

3.2 有限与无限

有限与无限是一对内涵极为丰富和深刻的哲学范畴，二者之间的关系是辩证的，是对立统一的。无限由有限组成，无法脱离有限而孤立看待无限，无限可以通过有限的形式表示出来，而有限又蕴含着无限的思想。

高等数学中，常数项级数的和可以用部分和的极限表示；函数项级数的和函数可以用部分和函数的极限表示；反常积分可以用定积分的极限表示，以上都是借助极限的形式将无限用有限表示出来；线性代数中，由基生成向量空间；由基础解系生成通解的方法，就是由有限生成无限的一种特殊方法，而向量组可以用它的极大无关组表示出来，就是把无限用有限的形式表示出来的具体体现。

3.3 整体与部分

整体与部分是描述客观事物可分性和统一性的一对哲学范畴，彼此依赖，又互为存在和发展的前提。

整体与部分的例子在大学数学中不胜枚举，高等数学中，积分概念的建立过程中蕴含着“化整为零，积零为整”的思想；积分的线性性实现了将多个积分与单个积分之间的相互转化；幂级数的展开将复杂的函数用简单的幂级数逼近，这些都体现了整体与部分之间的相互转化；微积分的基本公式：牛顿—莱布尼茨公式，格林公式，高斯公式都将区间或区域内部的计算转化为边界曲线或曲面的计算，刻画了函数的总体性质和局部性质之间的关系；线性代数中，利用展开定理将行列式降为多个低阶行列式，通过计算各元素与其对应的代数余子式乘积，得到整个行列式的值；利用分块法将矩阵化为分块对角矩阵，通过计算每个小块对角矩阵的逆或高次幂，得到整个矩阵的逆或高次幂，都是将复杂的整体转化为简单的局部的研究。

对立统一规律启发学生，用已知去认识未知的事物，用有限去认识无限，再把无限用有限表示出来，系统地学习把复杂问题拆分成几个简单问题，再进行剖析，这种也是数学上常见的化归思想的体现。在大学数学的教学中，逐步渗透对立统一的哲学思想，用哲学角度来解释数学范围内难以被学生理解的问题，拓宽学生分析问题的角度，强化学生的认识，也训练了学生的思维能力。

4 结语

数学比较突出的三大特点：逻辑的严谨性、高度的抽象性与广泛的应用性，决定了与哲学有着较为密切的关系，在大学数学教育教学中，应当同当代先进的教育理念相接轨，坚持数学与哲学相融合，实现学科之间的深层次交流，让思维更有深度。实践中，结合课程教学内容的特点，循序渐进地渗透哲学思想，将思想政治教育与专业知识教育紧密结合，潜移默化地实现学生高级思维能力的培养，激发学生自主学习的兴趣，提高课堂教学效果，提升学生综合素质。