一类具有非局部条件的Sobolev型Hilfer分数阶发展方程的偏近似可控性

王星昭，顾海波

(新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

可控性问题是控制系统的重要问题，在许多工程问题中起到至关重要的作用，例如使用反馈控制可以使不稳定的系统稳定化。可控性大致可分为精确可控性和近似可控性，对两者进行区分是非常有必要的：若系统是精确可控的，我们可以控制系统到一个任意的最终状态；而若系统是近似可控的，则只能控制系统到一个任意最终状态的任意小的邻域内。通常，精确可控性比近似可控性要求的条件更加苛刻，而在大多数情况下，近似可控性已经可以满足我们的需求，因此近似可控性在实际中应用更为广泛。近几年，有大批学者研究了多种不同类型的分数阶动力系统的近似可控性问题，已有很多关于近似可控性的研究成果。例如，Kerboua等[1]研究了Hilbert空间中一类带有Caputo分数阶导数的Sobolev型随机发展方程的近似可控性，方程具有非局部条件；Mahmudov等[2]研究了Hilbert空间中一类带有Hilfer分数阶导数的发展方程的近似可控性；Ge等[3]用近似法，研究了Banach空间中一类带有Caputo分数阶导数的发展方程的近似可控性，方程具有非局部条件和脉冲条件；Chang等[4]利用预解算子的性质，研究了Banach空间中两类Sobolev型发展方程的近似可控性，一类带有Caputo分数阶导数，一类带有Riemann-Liouville分数阶导数；Mahmudov[5]用近似法和变分法，分别研究了Hilbert空间中一类带有Caputo分数阶导数的发展方程的偏近似可控性和有限近似可控性[6]，方程具有非局部条件；He等[7]研究了Hilbert空间中一类带有Riemann-Liouville分数阶导数的随机波动方程的近似可控性；Huang等[8]研究了Banach空间中一类带有Caputo分数阶导数的抛物方程的近似可控性；Mokkedem[9]研究了一类带有Riemann-Liouville分数阶导数的微分方程的近似可控性，方程具有无穷时滞；Jeet等[10]用近似法研究了一类中立型微分方程的近似可控性，方程具有非局部条件和脉冲条件；Anguraj等[11]研究了一类具有Poisson跳跃的随机微分方程的近似可控性，方程具有非局部条件和脉冲条件。

然而，具有非局部条件的Sobolev型Hilfer分数阶发展方程的偏近似可控性研究还未见报道。我们在沿用Mahmudov[5]方法的基础上，对其控制系统进行了推广，将Caputo分数阶导数推广为Hilfer分数阶导数，将发展方程推广成Sobolev型的。

更具体地，我们研究了如下一类分数阶发展方程的偏近似可控性：

(1)

本文在研究系统(1)的偏近似可控性时，非局部项g并不满足Lipschitz条件。此外，为得到控制系统解的存在性，我们构造了控制系统的近似解算子，并证明了近似解集的紧性，将解的存在性问题转化为一个不动点序列问题。这与传统的方法(将不动点定理直接应用于相应的解算子)是不同的。

1 预备知识

我们回顾一些符号、定义，以及分数阶导数和分数阶微分方程方面的结果。

定义1[12]函数f:[0,+∞)→R的下限为0，阶为μ的分数阶积分为：

假设右侧是逐点定义在[0,+∞)上的，R表示实数，Γ(·)是伽马函数。

定义2[13]函数f:[0,+∞)→R的下限为0，阶为ν∈[0,1]和μ∈(0,1)的Hilfer分数阶导数为：

其中函数需使得右侧的表示存在。

定义3[1,6,14]如果函数x∈C((0,b],X)满足方程：

(2)

则x是(1)的一个适度解。其中

且ωμ(θ)满足

(3)

引理1[1,14-15]算子Pν,μ和Qμ具有以下性质：

(i){Pν,μ(t)|t∈(0,+∞)}和{Qμ(t)|t∈(0,+∞)}是强连续的；

(ii)如果{S(t)|t∈(0,+∞)}是紧的，则{Pν,μ(t)|t∈(0,+∞)}和{Qμ(t)|t∈(0,+∞)}是紧算子；

(iii)对任意固定的t∈(0,+∞)，Pν,μ(t)和Qμ(t)是线性算子，且对任意的x∈X，有

(4)

定义4[16]给定b∈(0,+∞)，x0∈X，xb∈E，如果对任意的ε∈(0，+∞)，总存在一个控制uε∈L2([0,b],U)，使得(1)对应的解x(t;uε)满足条件

‖Ξx(b;uε)-xb‖<ε,

则系统(1)在(0,b]上是偏近似可控的。

注记1特别地，当E=X时，偏近似可控性概念与近似可控性概念一致。

2 主要结果

在本文中，我们给出以下假设：

(H1)S(t),t∈(0,+∞)是紧算子；

(H2)对每个t∈[0,b]，函数f(t,·):X→X是连续的，且对每个x∈X，函数f(·,x):[0,b]→X是强可测的；

(H3)存在一个正连续函数n∈C([0,b],R+)，使得对任意的(t,x)∈[0,b]×X，都有

‖f(t,x)‖≤n(t)；

(H4)函数g:C((0,b],X)→X是连续的，且存在一个正常数Λg，使得对任意的x∈X，都有

‖g(x)‖≤Λg；

(H5)存在δ∈(0,b)，使得对任意的x,y∈C((0,b],X)，都有

x(t)=y(t)，t∈[δ,b]，

g(x)=g(y)；

(H6)线性分数阶微分系统

(5)

在(0,b]上是偏近似可控的。

对任意的ε∈(0,+∞)，n=1,2,3,…，定义泛函

(6)

其中

(7)

并定义算子Q:Cν,μ((0,b],X)→E如下：

=Q1(x)+Q2(x)。

(8)

证明见本文OSID开放科学数据与内容。

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证明见本文OSID开放科学数据与内容。

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对任意的ε∈(0,+∞),n=1,2,3，…，定义算子Θε,n:Cν,μ((0,b],X)→Cν,μ((0,b],X)如下：

(9)

根据式(3)可得

(10)

证明见本文OSID开放科学数据与内容。

证明见本文OSID开放科学数据与内容。

对任意的ε∈(0,+∞)，t∈(0,b]，定义(Θεx)(t)如下：

(11)

(12)

(13)

在Cν,μ((0,b],X)中的一个适度解。

我们定义近似解集D如下：

对任意的yε,n∈D,n=1,2,3,…，定义

由假设(H5)可得

由S(t)和g的连续性，当n→+∞时，

故D(0)在X中是相对紧的。

(ii)对任意的t∈(0,b]，集合D(t)={yε,n(t)|n=1,2,3，…}在X中是相对紧的。

(iii)D在t=0处是等度连续的。

故集合D在t=0处是等度连续的。

(iv)D在(0,b]上是等度连续的。

对任意的yε,n∈D，0

=I1+I2+I3+I4。

由假设(H4)及Pν,μ(t)，t∈(0,+∞)的强连续性，对任意的yε,n∈D，当t2→t1时，

当t2→t1时，

当t2→t1时，

选取η∈(0,+∞)，使得t1-η∈(0,+∞)，由Rμ(t),t∈(0,+∞)的连续性，当t2→t1，η→0时，

综上，集合D在(0,b]上是等度连续的。

因此集合D在C([0,b],X)中是相对紧的。故可以假设：当n→+∞时，

yε,n→yε∈C([0,b],X),

则由引理7得，uε,n(s,xε,n)→uε(s,xε)。

由定理2知，控制系统(13)有解xε，即对任意的ε∈(0,+∞)，存在xε∈Cν,μ((0,b],X)，使得

定理3 若假设(H1)～(H6)成立，则系统(1)在(0,b]上是偏近似可控的.

故对任意的τ∈R，ψ∈X，有

(14)

当τ∈(0,+∞)时，式(14)两边同除以τ得

令τ→0+可得

(15)

当τ∈(-∞,0)时，也进行类似的讨论，可得

(16)

结合式(15)、(16)有

(17)

注意到

故

(18)

结合式(17)、(18)可得

|〈Ξxε(b)-xb,ψ〉|≤ε‖ψ‖。

(19)

由式(19)可得

‖Ξx(b;uε)-xb‖<ε,

即系统(1)是偏近似可控的。

3 结论

我们最终得到了控制系统(1)在(0,b]上偏近似可控的充分条件，即假设(H1)～(H6)成立。本文的研究结果比相关问题的现有成果更具一般性。事实上，以下两类经典的分数阶发展方程是本文所研究的分数阶发展方程的特例：

当算子C=I为恒等算子，阶数ν=0时，系统(1)变为

(20)

当算子C=I为恒等算子，阶数ν=1时，系统(1)变为

(21)