高阶性、挑战度目标下的矩阵运算的课堂教学

柏灵

【摘要】課堂教学的重要性不言自明.在现代信息化学习平台辅助下，学生能提前完成独自胜任的预学内容，课堂上，教师根据学生的学习反馈创建问题情境引入概念、原理和抽象内容讲解，学生将自己的自学体验和老师的引导讲授结合在一起，共同有效完成课堂教学的高阶性、挑战度目标.

【关键词】线性方程组;矩阵运算;向量;矩阵乘法;几何意义

【基金项目】吉林大学本科教学教改项目（2019XZD024）：公共数学课的课前引学内容设计与实践

疫情期间的全国范围“停课不停学”的实践在保证教学基本目标完成的同时，让教师不断反思如何在现有的条件下，使教学过程实现线上和线下教育的有效融合.

而后的顺利开学更让教师和学生都认识到线下课堂教学独特的不可替代性.传统的数学课堂教学中，在有限的时间内，教师几乎都是一味采用灌输的做法，遇到概念和定理更是一笔带过，很少花精力去分析和引导.但在信息现代化教学平台的辅助下，教师完全可以合理优化分配教学时间和内容.例如，教师可以通过学习平台发布自己制作的预学课件或网上教学资源，向学生推送课程预习任务和问题，使学生对教学内容有一个初步整体的认识; 教师可以设计课前、课中、课后学习任务测试等灵活的考核内容来考察学生自主学习的效果.课堂上，教师只讲解概念定理的产生背景和涉及重难点需要深入理解的内容，对抽象理论的阐述按照认知规律，由浅入深，从具体到抽象，由形象直观到理性的思维模式递进，这样既没有过度增加学生的学习认知负担，又倒逼学生自主预学掌握能力范围的新内容，以期到后续阶段达到完成深度学习的效果.

线性代数是一门大学公共基础课的必修通识课程，一般都是在大学第一年进行讲授，课时少而内容繁.刚从高考刷题模式训练脱离的学生面对这门抽象性和逻辑性难度大幅提升的课程，经常是无所适从，且这类基础课基本都采用大班授课制，很多课堂学生人数超过150人，甚至有200多人的规模，学生数学学习能力明显参差有别.这些短期内不能改善的现状极大增加了大学数学课程高阶性目标实现的难度，对教师课堂教学质量的提高提出了严峻的考验.

课堂教学的有效性和高阶性如何实现？下面以大学数学公共课——线性代数的矩阵运算版块学习为例提出几点建议.

教学过程分为两个阶段：

一、课前准备内容

1.学生自行搜索矩阵的发展历史，对矩阵的整个发展过程能做简单总结，了解具有代表性人物的贡献.结合教材的例子，通过具体实例，体会如何用“矩阵”来描述一些生活现象等.

2.学生了解高等数学中的空间解析几何的基本内容：笛卡儿坐标系，三维向量的坐标，单位向量的坐标表示，向量的加法和数乘运算及几何意义，向量的数量积.

3.学生观看学习通相应课节视频，学会矩阵的基本运算，会算例题.

4.教师布置思考题：矩阵乘法为什么不是直觉上的同型矩阵对应元素做数的乘法？

从形式上看，矩阵的加法和数乘运算与数和向量的运算相一致，学生很容易接受.但是，学生对矩阵的乘法出现的运算规则几乎是不明所以的，只会照搬法则简单计算.因此，教师课堂上的讲解就集中在对矩阵乘法法则的理解上，明确这个法则的定义渊源和深层意义.

二、以线性方程组的矩阵表示做引例展开

根据学生的自主预学，课堂前期可以适当设计测试题检测，然后课堂上引出思考问题并讨论（进阶学习阶段）：

1.矩阵的乘法运算可以不是同型矩阵相乘，但是为什么必须满足左乘矩阵的列的个数和右乘矩阵的行的数必须相等呢？

2.注意两个情形： A矩阵和向量相乘与同维度的行列向量相乘的区别.

3.课前思考题的解答过程作为重点内容强调.

用每一个学生都熟悉的线性方程组作为引例.

对乘加法则其实体现了A阵行向量和B 阵列向量的数乘关系.这样的表示形式也说明矩阵相乘未必满足交换律.矩阵的相乘未必是同型矩阵，只要求左乘矩阵的列和右乘矩阵的行数相同.这和同型矩阵的加法运算极大地不同，原因就在于运算规则的应用背景不同.

三、总 结

矩阵的乘法是矩阵代数运算的核心，课堂上具体展示方程组用矩阵和向量相乘的例子，并在形式上复合表示多个方程组，使学生充分理解矩阵的乘法运算法则的原理，对初学者而言必是矩阵运算内容的高阶性要求.这个运算法则和矩阵的加法和数乘运算不一样，不是简单的矩阵对应元素的数相乘，其中既有向量的数乘又有向量的加法运算，正所谓线性运算的组合，体现了“线性”关系.

在展开课堂教学之前，学生对教学内容必须有一定的自主学习体验，学会了力所能及的内容.学生提前预学的配合，可以纠正学生高中一味刷题做题模型化的习惯，也使学生正视大学学习内容概念理论系统化，倒逼学生形成自主学习和主动思考的意识.教师对学生的学习结果通过测试反馈有了一定的掌握和了解，对后续学生学习产生的问题提前有了准备.这样的课堂教学才给质量的提升提供了前提保障.有了这样的实践和反思才可能会有数学课堂上的创新、高阶和课程难点.

【参考文献】

[1]陈殿友，术洪亮，张朝凤.大学数学：线性代数：第3版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]马中华.卓越师资班线性代数课程矩阵乘法教学方法研究[J].高师理科学刊2016（07）：66-69.

[3]同济大学数学系.线性代数：第6版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]赵慧斌.问题驱动是线性代数有效的教学法之一 [J].高等数学研究，2008（04）：91-94.

[5]任广千，谢聪，胡翠芳.线性代数的几何意义[M].西安：西安电子科技大学出版社，2015.