一些capable 3-群

李志秀

(晋中学院 数学学院，山西 晋中 030600)

对于一个给定的群G, 若存在另一个群H,使得H/Z(H)≅G, 则称G可以充当中心商, 或称G为capable群. 自1938年Baer在文献[1]中研究中心商问题始，许多学者都研究过此问题[2-12].

对中心商问题的研究, Hall[2]在他的p-群研究的奠基性论文中做了如下评论:“一个群G需要满足什么条件才可以充当另一个群H的中心商群，这是个有趣的问题，得到大量的必要条件是比较容易的，但要得到充分条件却很难.” 此外，中心商问题也与覆盖群的Schur’s理论及射影表示有联系.文献[3-4]借助群的扩张理论, 通过换位子计算分别得到交换的capable群和亚循环的capable群;文献[5]得到内交换的capable群.论文得到一些特殊的3-群为capable群，并且由群G构造出了群H,使得H/Z(H)≅G.

文中若无特别说明，所用的符号和概念均取自文献[6-7] .

1 主要结果

定理1若G为群，G=〈a,b,c|a32=b32=c3=1,[b,a]=a3,[c,a]=b3,[b,c]=1〉,则G是capable群.

证明从34阶交换群出发,作循环扩张可构造出H,使得

H/Z(H)≅G.

设交换群

A=〈a〉×〈d〉≅Z33×Z3,

令映射σ:a→a1-3,d→d,再把它扩充到整个A上,可证σ是A的32阶自同构.

设〈b〉是32阶循环群,且b在A上的作用与σ相同.令

B=A〈b〉=〈a,b,d〉,

则|B|=36.

在B中规定映射

β:a→ab3,b→bd,d→d,

再把它扩充到整个B上,可证β是B的3阶自同构.

设〈c〉是32阶循环群,c3=a32, 且c在B上的作用与β相同.令H=B〈c〉, 则

H=〈a,b,c|a33=b32=d3=1,a32=c3,[b,a]=a3,[c,a]=b3,[b,c]=d,[b,a3]=[b3,a]=a32〉

是37阶群，并且

[d,a]=[d,b]=[d,c]=1,Z(H)=〈c3,d〉

是32阶群，H/Z(H)≅G.

定理2若G为群，G=〈a,b,c|a32=b32=c3=1,[b,a]=1,[a,c]=b-3,[b,c]=a3〉,则G是capable群.

证明从36阶交换群出发,作循环扩张可构造出H,使得H/Z(H)≅G.

设交换群

A=〈e〉×〈f〉×〈c〉×〈d〉≅Z3×Z3×Z32×Z32,

令映射

σ:e→ed-3,f→f,c→ce-1,d→d,

再把它扩充到整个A上,可证σ是A的3阶自同构.

设〈b〉是32阶循环群,b3=f,且b在A上的作用与σ相同. 令

B=A〈b〉=〈e,b,c,d〉,

则|B|=37.

在B中规定映射β:e→e,b→bd,c→cb3,d→d, 再把它扩充到整个B上, 可证β是B的32阶自同构.

设〈a〉是32阶循环群,a3=e, 且a在B上的作用与β相同.令

H=B〈a〉,

则

H=〈a,b,c|a32=b32=c32=d32=1,[b,a]=d,[c,a]=b3,[b,c]=a3〉

是38阶群，并且

[d,a]=[d,b]=[d,c]=1,Z(H)=〈c3,d〉

是33阶群，H/Z(H)≅G，所以G是capable群.

定理3若G为群，G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=d,[c,a]=e〉，其中

[c,b]=[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=1,

则G是capable 群.

证明从36阶初等交换群出发,作循环扩张可构造出H,使得H/Z(H)≅G.

对交换群A=〈e〉×〈f〉×〈c〉×〈d〉×〈b〉×〈g〉作可裂扩张，可得H=A与〈a〉的半直积，则

H=〈a,b,c|a3=b3=c3=d3=e3=f3=g3=1,[b,a]=d,[c,a]=e,[d,a]=f,[e,a]=g〉

是37阶群，并且

[c,b]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,b]=[e,c]=[f,a]=

[f,b]=[f,c]=[f,d]=[f,e]=1,Z(H)=〈f,g〉

是32阶群，H/Z(H)≅G,所以G是capable 群.

定理4若G为群，G=〈a,b,c|a32=b32=c3=1,[b,a]=a3,[c,a]=[b,c]=1〉,则G是capable 群.

证明从34阶交换群出发,作循环扩张可构造出H,使得H/Z(H)≅G.

设交换群

A=〈a〉×〈d〉≅Z33×Z3,

令映射σ:a→a1-3,d→d,再把它扩充到整个A上, 可证σ是A的32阶自同构. 设〈b〉是32阶循环群,且b在A上的作用与σ相同.令

B=A〈b〉=〈a,b,d〉,

则|B|=36.

在B中规定映射

β:a→ab3,b→bd,d→d,

再把它扩充到整个B上,可证β是B的3阶自同构.

设〈c〉是32阶循环群,c3=a32, 且c在B上的作用与β相同,令H=B〈c〉, 则

H=〈a,b,c|a33=b32=d3=e3=1,a32=c3,[b,a]=a3,

[c,a]=d,[b,c]=e,[b,a3]=[b3,a]=a32〉

是38阶群，并且

[d,a]=[d,b]=[d,c]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=[e,d]=1,Z(H)=〈c3,d,e〉

是33阶群，H/Z(H)≅G,所以G是capable 群.