整体视角下的主题式复习操作路径——以“乘法公式知识链的复习”为例

□应佳成

（杭州市富阳区教育发展研究中心，浙江杭州 311400）

复习的教育价值在于建立内容之间的联系，聚零为整，完善知识体系，提升思想方法，落实核心素养.从数学内部来看，同一主题下的内容往往能够产生实质性联系：“数学内容尽管多样，但在本质上是一个整体，不同知识之间，不同主题、单元之间都存在实质性联系.”由于新课阶段是以分解的、局部的方式学习和认识新知识，难以获得对学习对象的整体全面认识，因而主题式复习直指弊端，基于数学的整体性和系统性，以思想方法为统领，以能够产生实质性关联的内容为主题，打破单元限制进行一以贯之的复习，目标指向学生的素养发展.

主题式复习如何开展实施呢？本文以“乘法公式知识链的复习”为样例，从双基评估（唤醒）、四基落实（融合）、能力提升（升华）三个层次展开具体研究.

一、测评辨析 回顾知识内容

本阶段通过解决结构相似、操作步骤一致的问题回顾乘法公式知识链，理解知识链上每一环之间的关联.

（一）分级前测 评估双基

由于主题式复习横跨初中三年的内容，因此需要“唤醒”基础知识，同时对基础知识和基本技能做出水平评估，“前测”是重要的唤醒手段.知识的获取是一个新知识与学习者已有的旧知识结构相互影响的整合过程，基于“前测中困惑的问题形成的个体经验会影响个体知觉和注意，形成对学习材料的问题解决信息加工的倾向和偏好，这使得个体不仅唤起与问题相关的行之有效的信息，而且也能主动地对新知识进行选择性注意”原理，确定分层前测，精准发现不同层面的学生在双基上存在的漏洞，并及时做出合理有效的干预，为后续调整教学策略做好准备，让不同水平的学生在自己的能力发展区内得到最大限度的发展.

（二）分析本质 建立关联

只有深刻理解公式本质，才能在不同公式间进行主动对比，当结构发生变化的时候能够调取已有知识经验，从源头上思考问题的解决方法.要让学生明确，乘法公式源于多项式乘法运算，其原理是运用分配律逐项相乘再相加，有一些具有特殊结构的多项式相乘之后能够产生同类项，因而产生了具有特殊结构的结果，通常意义上的乘法公式就是这些具有特殊结构的多项式相乘的结果.

公式（x+y）（x－y）=x2－y2（平方差公式）和（x+y）2=x2+2xy+y2（完全平方公式）都是（a+p）（b+q）=ab+aq+pb+pq的特殊情形，若a=b=x，p=－q=y，则产生平方差公式（x+y）（x－y）=x2－y2；若a=b=x，p=q=y，则产生完全平方公式（x+y）2=x2+2xy+y2，详见图1.

图1

使用了这些特殊的代数结构，可以越过程序性的展开过程直接得出结果，这种思维有助于发现概括规律，体验从一般到特殊的研究问题方式，为其他问题的研究提供类比和借鉴.对公式结构的熟练程度决定了学生能力提升的高度.事实上，公式结构不仅仅表示运算的结果，运算过程也有迹可循，并且结构特征清晰，易于依据规律识记.为了熟练使用公式，做到对公式结构了如指掌，可以设置这样的题组：

这些问题都是直接使用公式的基本原理在运算，步骤完全一致，所蕴含的一般观念是重点，让学生明白公式的使用不局限于用a，b表示单独的数或字母，可以推广到一般意义的多项式、根式等，其意义在于将这些特定的结构作为更为一般性的结论，加深学生对知识之间关联性的理解程度，提高概括能力.

二、融合重整 构建知识系统

本阶段的落实决定了主题式复习的成败.这一阶段需要利用包容水平更高的学习材料，揭示乘法公式知识链上内容间的实质性关系，增强似是而非的知识间的可辨度，把低位经验概括归纳到高位结构中，为能力的提升提供稳定的固着点.

（一）丰富背景 识别结构

由于乘法公式是恒等式，因此可以在整式乘法和因式分解之间灵活切换问题情境，因式分解的过程是将多项式形式变形为因式相乘的形式，这是逆向思维的过程，需要理解公式、熟知公式的结构特征，对公式的多项式形式有透彻理解，对能力要求更高.因式分解在各种知识背景下都有涉及，本质就是对乘法公式结构的识别和使用.比如：

①分解因式：（a+b）2+2a+2b－3；

④解一元二次方程：x2－2x+1=0；

⑤求关于x的二次函数y=ax2+2a（a+2）x+a2+4a+4的图象与x轴的交点坐标；

⑥已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a=7，b=24，c=25，判断△ABC的形状；

……

这一组问题显示了乘法公式的广泛使用：涵盖分解因式、分式运算、二次根式运算、解方程、二次函数、几何计算等内容，通过这样大量的、丰富的问题情境转换，帮助学生理解公式结构，增强知识的可辨度，构建运算思路.比如题⑤，解决通法是借助函数与方程的关系，将二次函数转化为一元二次方程，利用求根公式解决问题，但是此法明显不够简洁，如果熟悉完全平方公式的结构特征，则可快速分解因式得到y=ax2+2a（a+2）x+（a+2）2=（ax+a+2）2，直接将这个二次函数从一般形式分解成为顶点式，从而发现函数图象与x轴的交点坐标为（－a－2，0）.再如题⑥，如果直接使用72+242=252，则过程繁杂易出错，如果遇到更为复杂的数据显然不是最佳做法，但是使用平方差公式可以使问题运算大大简化，找出题目中最大的一个数为c=25，则c2－b2=（25+24）（25－24）=49×1=72=a2，因此△ABC是直角三角形.

（二）重整结构 公式变形

直接熟练使用乘法公式并不是公式学习的最终目的，根据结构特征做适当调整，对公式进行变形可以推导出其他公式解决更为广泛的问题，其中变形转化的原理是学习能力的迁移和推广，这才是最根本的能力要求.比如：

①已知a+b=3，ab=－7，求a2+b2，a2－ab+b2，（a－b）2……的值；

②已知a－b=2，b－c= －3，求（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的值；

题①是公式推广的最佳案例，利用两数和与两数积的条件，辅之以适当变形，可以彻底求出a2+b2，a2－ab+b2，（a－b）2……这一类问题的值；题②中需要用到c－a这一条件，问题中没有直接提供，如果学生对于公式变形问题有了原理性的理解，不难想到可以利用条件构造出所需的条件c-a=1，将不完备甚至隐含的条件变形转化为可利用的条件……本环节还可以设计诸如此类的问题增强公式变形能力.

在丰富背景下融合知识的过程是一种筛选、组合、完整数学体系、形成知识网络的过程，向上承接课程目标，向下统领不同单元知识，帮助学生理解这些看似“独立”的不同单元的内容在乘法公式穿线之下是相互关联的整体.

三、构造发现 实现能力迁移

本阶段的落实决定了学生的能力是否得到真正的提升.如果说前两个阶段是建立知识横向扩展的过程，那么本阶段的任务就是在有序的基础上进行的纵向加深的过程，旨在培养学生思维的敏锐度和深刻性，提升思想方法，落实关键能力.

（一）拓展结构 重视方法

将（a+p）（b+q）=ab+aq+pb+pq特殊化是产生乘法公式的基础，此处还存在一个思维的关键生长点：进一步特殊化，如改变项数或者改变字母的指数会有什么新的结论产生？这样有助于学生打开思维，发现更多的类似于公式的特殊结论，同时追本溯源理解各公式之间的本质联系.需要指出的是，这样的复习绝不是狭隘的机械运算和应试，而是体验其中的程序化运算过程，体验算法算理，是对学生代数恒等变形能力、推理能力的培养，是水到渠成，详见图2.

图2

事实上，在实施运算的过程中往往会遇到多因素相互联系、相互制约又相辅相成，需要从不同的思维方向、不同的解题思路和不同的解题方法等角度比较、择优，因此说运算的过程是不断思考和推理的过程，扎实的公式推理功底有助于有效探索运算的条件与结论、已知与未知的转化.

（二）构造结构 解决问题

无论顺用还是逆用公式，本质上都是在使用完整的公式结构.但是在具体问题解决过程中往往需要做出判断，判断问题条件是完整结构还是部分结构，并且能够利用不完整的条件构造出完整公式结构.这样的问题设计能够有效提升学生的运算能力和理解水平.如：

①设b为正整数，a为实数，记M=a2－4ab+在a，b变动的情况下，求M可能取得的最小整数值；

②求二次函数y=x2+2x－6的最值……

这两个问题都不具备公式的完整结构，需要对公式结构有深刻认识.综合题目条件，分析、调整、整合、构造出完整的公式结构，达到解决问题的目的.题①中不具备公式的完整结构，需要学习者迁移完整公式的使用经验，经过多次拆分、组合构造出M=a2－4ab+5b2+2a－再利用完全平方式所具有的非负性，判断出最小值为对于题②，从函数形式不难发现x2+2x－6 中具有了部分完全平方公式的特征，只需要利用配方法将其变形y=x2+2x－6=（x+1）2－7，即可解决问题，所以M可能取得的最小整数值为这两个问题都需要构造完全平方，利用（a－b）2或（a+b）2的非负性来判定多项式的非负（正定）性，从而也说明构造完全平方（配方法）是求二次函数值的基础，足见乘法公式的重要价值.

（三）代数推理 能力迁移

公式学习的更高层次是影响思维方式，提升代数推理水平.从思维层次看，运算能力是运算技能与逻辑思维的有机整合，在实施运算分析和问题解决的过程中，用公式进行运算的能力是一种重要的演绎推理能力，是数学思考的重要内涵.比如2019 年杭州卷第22 题的第（3）小题.

题干：设二次函数y＝（x－x1）（x－x2）（x1，x2是实数）.

问题（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数）.当0＜x1＜x2＜1时，求证

我们来看问题（3）的解法：因为y＝（xx1）（x－x2），

所以m＝x1x2，n＝（1－x1）（1－x2），

因为 0＜x1＜x2＜1，并结合函数y=x（1－x）的图象，

从题意得出mn＝x1x2（1－x1）（1－x2）关系之后，如果仅仅是按照运算顺序发展思维，就会出现mn＝（x1x2）2－x1x2（x1+x2）+x1x2这样一种对思维产生干扰甚至破坏的关系，问题解决会陷入困难.此时需要根据题目结论的形式结构（关系及特点），使用乘法公式，重整出mn＝这一关系，这样就抓住了解题关键，四两拨千斤，用乘法公式使问题得以解决，这是公式使用的高阶水平.

（四）概括发现 提升素养

更进一步，学生对于乘法公式概括化、系统化的使用过程涉及分析、概括、综合、抽象、归纳等思维活动，在此基础上所表现出来的发现和创造能力是其能力落实与提升的显性指标，举个简单例子.

仅以运算为出发点则这个问题很简单，但是此题背后大有深意，从数式通性来看，这个问题的结构与结论之间存在明显的关联，如果将数据一般化表示为a，b，进行合理的分类、归纳，找出这种特殊结构蕴含的一般关系，可以总结出|a+b|＋|a-b|＝2max{a，b}.这样就将问题从特殊表述上升到一般结论.甚至可以将其理解为一个常用公式，避开大量的重复运算，节约运算成本.能够具有这种优化意识的学生已经具备了发现创造公式的能力，说明学习能力得到真正提升.

主题式复习需要置于单元整体视角之下，当数学系统内各部分以合理（有序）的结构形成整体时，整体的功能才会大于各个部分功能之和 .