例析概念模型的构建——以《认识射线、直线和角》一课为例

江苏无锡市尚贤融创小学 郭 静

数学课程标准指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。在小学阶段，模型思想的主要教学形式是渗透。教师需综合考虑，结合教学内容，采用“教者有意、学者无心”的方式，引导学生由浅入深、由表及里地认识数学模型，感悟模型思想。本文以《认识射线、直线和角》一课的教学为例，浅谈如何在概念教学中渗透模型思想。

一、旧知找准起点，初识概念模型

建构主义认为学习是学习者基于原有的知识经验生成意义、建构理解的过程。教学中，教师需要关注学生的“前概念”，找到新知与学生已有经验中的契合点，把它作为起点，在此基础上进行概念的构建，建立起符合学生自己经验的概念模型。

【片段】

师：想一想：线段有什么特征？画一条线段，并量一量有多长。

师（小结）：线段有长有短，但无论画得有多长，我们都能用尺把它的长度量出来，在数学上叫作“有限长”。也就是说，线段是可测量、有限长的。

【评析】

在本环节中，教师引导学生一起复习了之前学过的有关线段的概念，通过看一看、画一画、说一说帮助学生抽象出线段是可测量、有限长的本质特征。为后面让学生体会把线段的一端无限延长得到一条射线，把线段的两端都无限延长得到一条直线，抽象出射线和直线区别于之前学的线段，是不可测量、无限长的这一概念模型做好铺垫。

二、经验突破障碍点，辨识概念模型

认知心理理论认为，一切新的学习都是在原有学习的根基上产生的，新知总是通过与原有认知结构中的相关知识相互联系、相互作用后获得意义。学习和生活的所有活动都使得学生获得了几何图形的最初步的概念，但有时这些概念都是模糊的，学生理解起来会有一定障碍，我们有必要把这些经验进行数学化，以形成新的经验，从而实现经验提升或重组。教学中，教师需准确把握学生在构建模型概念时的障碍所在，并通过一定的教学手段进行突破，从而引导学生准确地辨别概念模型。

【片段】（出示夜景图）

师：这些灯射出的光线有什么共同的特点？

师：这些灯光都是从某一个光源射出去，而且都是沿着直的线往前，前面没有遮挡的话一直会向无限的远处射去，没有终点。这些灯射出的光线，我们都可以看作是射线。（板书：射线）

【评析】

让学生初步建立“无限”的概念是本课教学难点，也是学生概念构建中的一大障碍。在本环节中，教师引导学生从实际生活原型（光线）出发，引导学生运用观察、比较、分析、抽象概括等数学活动，让学生有意识地去掉数学问题中非本质的东西，从而辨识出射线这一概念模型。除此之外，教师还尝试引导学生用数学语言来表述数学模型，学生在完整经历数学模型的抽象过程中不仅突破了障碍，而且还培养了数学语言的表达能力，一举多得。

三、外显生长点，共识概念模型

一般来说，学生对概念的理解都是个性化的，是学生思维过程的产物。在概念教学中，教师应该充分引导学生将抽象的思维过程转化成看得见的直观模型，把思维的空间留给学生,以学生经历知识的形成过程为主导,使思维外显,从而抽象出概念的本质特征，形成共识，有效构建概念模型。

【片段】

师：你能凭着对射线的感觉，自己来画一条线段吗？（投影展示）

师：这几位同学画的线方向不同，看似有长有短，有什么相同的地方？

师（引导）：直；只有一个端点；表示一端无限长。

师（追问）：为什么只在一端画端点，而另一端不画？

师（说明）：数学上，在有限的纸上要表达无限长的概念，就是通过不画端点来表示的。

【评析】

动手操作实践是数学学习的重要途径和方法，它能把抽象的数学知识变得看得明、说得清。学生通过动手、动脑、动口参与学习过程，使操作、思维、语言等有机结合，从而建立清晰的数学模型。在本环节中,教师先让学生利用刚才看到的有关射线的实体模型，根据初步建立的表象，尝试自己来画一条射线。再通过投影展示、观察、交流发现：射线是无限长的，在有限的纸上表达无限长的概念，就是通过不画端点来表示的，从而达成共识，成功构建“射线有一个端点、无限长”这一概念模型。

四、反思链接点，甄识概念模型

数学概念之间具有联系性，只有建立数学概念之间的联系，建立数学概念的不同表示之间的联系，才能透彻理解数学概念；概念学习实际上就是通过建立概念之间内在的以及概念的不同表象之间的各种联系，使之形成概念网络。从数学建模的角度来说，“利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造相关数量之间的相等关系或其他数学结构”这一步至关重要。正因为如此，重视引导学生在探索新知的过程中，构造恰当的关系或结构，不仅有利于提高学生的分析能力，而且能使学生逐步增强数学意识、培养数学眼光、感受模型思想的应用价值。

【片段】

师：射线也可以从我们之前学过的线段变化而来，想想看，可以怎样变？

（生画后交流）

师：我们把有限长的线段的一端无限延长变化成了射线。怎样把线段延长，得到一条直线？

（生画后交流）

【评析】

在本环节中，教师引导学生回顾反思把线段的一端无限延长可以得到一条射线，再次体会从有限长到无限长的联系与区别，突出射线的本质特征。在此基础上，把线段的两端都无限延长就得到一条直线。整个教学过程既沟通新旧知识之间的联系，又注重引导区别，通过必要的手段帮助学生提升原有的认识，从而更加便捷地得到更具可迁移性的数学模型。本环节板书设计体现了教学内容的系统性和概括性,还富有启发性和示范性，一方面揭示知识的内在规律,另一方面表明思路的来龙去脉，有利于学生理解线段、射线、直线这三个几何概念的联系与区别，有画龙点睛的作用。

【板书】

五、沟通共同点，省识概念模型

荷兰数学家弗赖登塔尔曾说过：“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。”所以，当学生建立数学模型以后，教师应该帮助学生构造数学现实，寻找两者共同点，并在此基础上发展他们的数学现实，及时引导学生在实际应用中解决新问题、同化新知识、拓展新认知，使数学模型成为沟通实际问题与数学知识的桥梁，从而帮助学生进一步提升数学模型的应用水平，积累模型经验，形成初步的模型思想。

【片段】

师（出示践踏草坪的图片）：谁用数学知识解释一下这种行为？

生：从图上位置到公交站台两点之间连线，线段的距离最短。

（师根据学生的回答，出示图片，如下图）

【评析】

为了让数学服务生活的观念真正落到实处，模型思维的应用更要重视生活的启发，并与生活相关联，达到相互指导的目的。有关践踏草坪的此类问题在生活中十分常见，在学生的思维中构建“连接两点的线中，线段最短”这样的模型就可以帮助学生在日常生活中解决类似问题，从而使学生获得更直观的思维感受，提高数学应用能力，促进数学学科持续发展。

六、辨析共通点，洞识概念模型

布鲁纳认知观点认为：学习过程是学生原有认知结构中有关知识与新学习内容相互作用 ,形成新的认知结构的过程，学生从事对数学知识的提炼和组织——通过对低层次活动本身的分析，把低层次的知识变为高层次的常识，再经过提炼和组织而形成更高层次的知识，如此循环往复。在此过程中，学生通过反复建立和求解一系列模型，能够更加透彻地理解数学知识并能自我生成数学知识，进而感悟数学思想，把握数学本质，发展理性精神。

【片段】

师：大家回忆一下，角由哪几部分组成？

师：角的两条边就是我们今天学的——射线，从一个点引出两条射线可以组成角。

师：我们在画角的时候，可以先画出一个端点，也就是角的顶点，再从这个端点画出两条射线，也就是角的两条边，两条射线所夹的部分组成一个角。（师示范画角）

师：延长角的两条边，角的大小变了吗？为什么？

师：角的两条边是两条射线，而射线本来就是无限长的，角的大小与这两条射线张开的大小有关。

【评析】

本环节中，教师引导学生发现：从一个点引出两条射线可以组成角，角的两条边就是两条射线。延长角的两条边，角变大了吗？学生之前已经有“角的两条边张开得越大角越大，张开得越小角越小”这一直观经验，运用新知射线的特征进行解释，整个过程，环环相扣，顺利完成角的再认识。

模型思想的建立是一个循序渐进的过程，一方面需要教师在课堂教学中有意识地渗透，另一方面需要学生在数学学习过程中不断反思、揣摩与领悟。教师只有基于自身对概念的深刻了解，在概念教学时才能从凸显概念特征、沟通认知结点等方面来帮助学生实现概念的自我建构。只有这样，学生对模型思想的认识和对数学的理解才能从“量的积累”达到“质的飞跃”。