三类参数方程在解析几何中的应用

吴萍萍

(福建省莆田市擢英中学 福建 莆田 351100)

随着全国各省市加入高考利用全国卷的浪潮，近几年对全国卷研究的不断深入后发现：参数方程在高中数学文理科中均出现在选修4-4的位置，作为高考的选做题。查阅了高考的考纲，对参数方程的要求为：(1)了解参数方程，了解参数的意义。(2)能选择适当的参数写出直线，圆和圆锥曲线的参数方程。可以发现考纲对参数方程的要求只是作为选做题出现，因此，在教学过程中，我们只是单纯的为了选做而教学，并没有以此进一步探索参数方程的灵活应用。然而，在教学的不断深入后发现，虽然高考的要求只是作为选做题，但是参数方程的出现，大大减少了相关题目的变量，促进教学层次的深化。完全可以作为一种有效的学习方法进行归纳、总结，让学生可以好好利用参数方程这个工具解决数学中的一些比较复杂、繁琐的问题。因此，将参数方程在除了选做之外的数学解题中进行了一些拓展。

1.创新性思维：直线的参数方程的灵活应用

传统的教学只是通过不断的做题，频繁的进行数学题型的训练来获得数学成绩的提高。但是，这种方法往往事倍功半，学生不得其法。因此，要针对各个学校的学生特点，设计不同的典型例题，进行归纳总结，发散思维，从而举一反三，提高学生对数学的感知力。

在选修4-4的课本中明确指出：直线的参数方程参数t的几何意义为：t的绝对值为直线上的点到定点(x0,y0)的距离，有正负之分。对直线参数方程的研究可以发现：参数t可以用来求解与直线的定点有关的距离问题，从而避免了去求两个点再用距离公式来求解的繁琐的计算过程，大大简化了计算量。

例题1：直线l：y=-x+1，曲线C的方程为y2=4x，直线l交曲线C于A、B

(1)求x-y-1=0|AB|；(2)若P(0,1)，求|PA|+|PB|的值.

解题思路：直线l的参数方程与曲线C的方程联立，得到关于t的二次方程。结合参数方程t的几何意义，将一、二问的距离转化为关于t的等量关系式，利用韦达定理求解。

例题2：在平面直角坐标系中，直线l的方程为，曲线C2的方程为y2=4x，若曲线l，C2相交于A,B两点，AB的中点为P，过点P做曲线C2的垂线交于E,F两点，求|PE|·|PF|.

解题思路：通过几何关系求得AB的中垂线参数方程，并与C2联立。将题目所求的距离乘积问题转化为关于t的等量关系式，利用韦达定理求解。

此类问题主要借助直线的参数t的几何意义，对涉及过直线定点的距离问题进行灵活转化，大大简化了圆锥曲线的繁琐计算，迅速的得到所需要的答案。

2.探索性思维：圆的参数方程的巧妙应用

高中数学的特点就是解题方法灵活，并且有一定的计算要求。如果能够探索出代数问题的几何法，便能大大的简化计算，快速解决难题，大大节省学生的解题时间。不失为一种非常巧妙的数学方法。

例题3：与向量结合求取值范围

解题思路：将C上任一点P的坐标用参数方程设，并结合向量的公式将题目所求的式子转化为关于参数的三角函数式，结合三角函数最值的求法进行求解。

引入圆的参数方程，将两个变量变成只有一个变量角度(注意参数的取值范围)，化简成三角函数求最值的常规类型就很好处理了。可以明显发现参数方程解决此类问题的优点。

3.发散性思维：椭圆参数方程的直观应用

例题4：椭圆中求最值

解题思路：将C上任一点P的坐标用参数方程设，再利用点到直线的距离，结合三角函数的最值求解。

上述解答可以发现：原先椭圆上的点P的坐标由两个变量x，y来表示，所求的表达式整理后，没办法解决有关最值的问题。这时引入椭圆的参数方程，就可以将两个变表示成只有一个变量，将最值问题转化成三角函数求最值的问题。因此，参数方程在很大程度上可以减少变量，大大简化计算，非常的实用。

4.总结

在全国卷的新形势下，在应用参数方程解决高中数学的相关问题，主要思路：利用参数方程，可以减少题目中的变量个数，达到降元的目的。通过合理运算思维与结构，综合参数方程的综合知识，实现对数学问题的求解。但是，通过对以上类型的归纳整理可以发现，在应用参数方程时尤其要注意参数的几何意义及参数的取值范围。注意多练、多提问、多体会、多领悟，踏实学好参数方程，灵活应用参数方程，从而能够在今后的解题中，参悟数学题目的内在隐含条件，迅速解答数学问题。