T-S模糊非齐次马尔可夫跳跃系统有限时间稳定性分析

2020-12-24叶志勇罗小玉

重庆理工大学学报(自然科学) 2020年11期

叶志勇，罗小玉，严芳

（重庆理工大学理学院，重庆 400054）

在近20年里，带有马尔可夫跳系统的控制问题得到了广泛的关注，已经在制造系统、经济系统和网络系统等有着广泛的应用［1-7］。这些已有的马尔可夫跳系统大致可分为两类：线性问题和非线性问题。与线性系统相比，非线性马尔可夫跳跃系统的计算结果更真实，具有更好的适用性。T-S模糊模型的方法也常应用于非线性系统控制问题的研究。到目前为止，T-S模糊系统［8］，在控制、滤波、故障检测等方面都取得了一定的稳定性结果。Xiao等［9］针对一类具有参数不确定性和执行机构故障的T-S模糊系统，研究了自适应容错控制问题。Shan等［10］分析了马尔可夫跳T-S模糊系统的耗散异步滤波问题。Wu等［11］研究了T-S模糊系统的局部稳定和故障检测问题。

针对一类具有非齐次跳跃过程的不确定非线性离散时间马尔科夫跳跃系统，Yin等［12］研究了鲁棒模糊滤波问题。其结果只关注李雅普诺夫渐近稳定性，其行为在无限时间间隔内被消除。实际中，动态系统在有限时间区间内的行为比在无限时间区间内的行为更合适、更有吸引力。1961年，Dorato等［13］提出了有限时间稳定性的概念。

本文讨论了一类带有马尔可夫跳跃的模糊误差动态系统的有限时间稳定性问题。通过构造时变的李雅普诺夫泛函，直接研究模糊误差动态系统的本身，得到非线性非齐次模糊误差动态系统随机有限时间有界稳定的条件，并用一个特例验证了该方法的有效性和正确性。

1 基础知识和模型建立

符号说明：Rn表示n维欧式空间；AT表示矩阵A的转置；E｛·｝为数理统计期望［0，∞］表示在［0，∞］上平方可积空间的函数；P＞0表示矩阵P是正定的；I表示适当维数的单位矩阵；*表示该对称矩阵中的对称项。

在（M，F，P）空间上考虑带有时变转移概率的不确定离散事件的非齐次马儿可夫跳系统。用T-S模糊模型表示如下：

其中 Mij为模糊集，i∈S=｛1，2，3，…，v｝，v为模糊规则数，j∈｛1，2，3，…，g｝，θ1k，…，θgk为前提变量，g是可测前提变量个数。xk∈Rl表示系统状态矢量，yk∈Rf表示系统输出矢量，zk∈表示系统受控制矢量，wk∈［0，∞］为系统外部干扰矢量。

此外 Ai（rk），Bi（rk），Ci（rk），Di（rk）和 Li（rk）表示依赖模式适当维数的常数矩阵；fi（·）表示依赖于时间不确定的有界范数。｛rk，k＞0｝表示在有限状态集 Λ=｛1，2，3，…，N｝中取值的相关离散时间马儿可夫跳随机过程。r0表示初始模态，相关的转移概率矩阵定义为∏（k），其中∏（k）=｛πmn（k）｝，m，n∈Λ。πmn（k）=P（rk+1=n rk=m）表示时刻k的模式m到时刻k+1的模式n的转移概率，并且满足如下两个条件：

对系统（1）的外部干扰矢量和不确定的有界范数进行如下假设。

假设1 假设系统外部干扰矢量满足

假设2 不确定有界范数 fi（·）在系统（1）中满足

和

这里的 Fi（rk）、Ni（rk）是适当维数的常数矩阵，γi（rk）是具有Lebesgue可测的未知函数矩阵，满足

基于模糊规则，马尔科夫跳跃模糊系统为：

同时构造依赖模式的有限时间的模糊滤波器为：

其中时变的转移概率矩阵用∏（k）表示

这里的∏s是给定的矩阵，表示多面体的顶点s=

为方便讨论，接下来引入两个定义。

定义1［14］当系统（5）中扰动输入 ωk=0时，对任意 k∈｛1，2，…，N｝，有定矩阵 R（r）和 0＜c1＜c2如果满足

则称模糊滤波误差系统（5）是随机有限时间稳定的。这里¯x0是状态¯xk的初始值。