锐角三角函数的应用题解答策略

2020-12-23何德林

新课程·上旬 2020年32期

何德林

摘要：三角函数解答题是初中毕业升学考试必考题目，从两方面阐述解答策略，第一，如何有效添加辅助線;第二，解题思路。

关键词：辅助线;转化思想;方程思想

锐角三角函数解答题部分是近几年初中毕业升学考试数学科必考题目，每年都有一个解答题，它所处的位置是全卷的第21题或第22题，解答题部分的第3题或第4题，分值为10分或12分，难度属于基础题，但很多学生不会做，根本不知道从什么地方着手，特别题目中已知的某边或某几边的值不能直接转化在直角三角形中，也不知道怎样设未知数，如何找等量关系，如何建立方程，下面谈谈对此类题的几点想法。

一、如何有效添加辅助线是能否解答这类题型的前提

首先，我们要知道如何添加辅助线，通常有两种方法：过某点作某边的平行线或垂线。

其次是添加辅助线的目的：构造与已知条件（包括图形中的角和边）有关的三角形（大部分是直角三角形）或矩形。

如遵义2016年21题：某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图1所示，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）。为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m。（计算结果精确到0.1m）

（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h=1.5m。

（2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

分析：过A点作AN⊥DO于N，过C点作CE⊥DO于E，过C点作CM⊥DF于M，则有CM=ED。

二、解题思路

这种类型的题只有两种类型：即两种解题思路。

首先，题目中已知的某边或某几边的值可以直接转化在直角三角形中，然后根据锐角三角函数的关系可以直接求出相应值.

如遵义2014年21题：如图2所示，一楼房后有一假山，其坡度为：i=1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米。小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高。（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

分析：题目中CE=20m为已知值，通过作EF⊥BC于CF，作AG∥BC，交FE的延长线于点G，可以将CE直接转化在Rt△CEF中，从而直接求出相应值。

解：过E作EF⊥BC于F，过A作AG∥BC，交FE的延长线于G点

由题意可知：tan∠ECF=i===，

∴∠ECF=30° 设EF=x

∴2x=20 ∴x=10 ∴EF=10，CF=10

由四边形ABFG是矩形可得

AG=BF=BC+CF=25+10，AB=GF

在Rt△AGE中，EG=AG·tan∠GAE=（25+10）×1=25+10

∴AB=GF=EG+EF=（35+10）（米）

其次，题目中已知的某边或某几边的值不能直接转化在直角三角形中，这时需要设未知数，用方程的思想解答。而设未知数的技巧性非常高，优先考虑设45°或30°角所对的直角边为未知数，其主要目的是便于用所设未知数表示其他边，再利用另外的一个已知角的锐角三角函数建立方程，从而求出相应值。

如遵义2015年第21题：如图3是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°。求DM和BC的水平距离BM的长度。（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

分析：题目中DE=1，BC=4，AB=6为已知值，但不能将DE，BC，AB直接转化在直角三角形中，因此学生不知道从什么地方着手，这时需要设未知数，并用所设未知数表示其他边，再利用另外的一个已知角的锐角三角函数建立方程，用方程的思想解答，从而求出相应值。

解：设BM=x米

∵∠CDF=45°，∠CFD=90°，∴CF=DF=x米，

∴BF=BC-CF=（4-x）米 ∴EN=DM=BF=（4-x）米

∵AB=6米，DE=1米，BM=DF=x米，

∴AN=AB-MN-BM=（5-x）米

在△AEN中，∠ANE=90°，∠EAN=31°，

∴tan31°===0.6

即4-x=（5-x）×0.6 ∴x=2.5

答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米。

解答任何问题，关键都在于找准方法，掌握技巧。同学们通过本课的学习，会发现，只要我们掌握了如何有效添加辅助线，将已知条件转化在直角三角形或矩形或梯形中，再恰当地设出未知数，建立方程，从而就能有效解答锐角三角函数有关的解答题。

参考文献：