戏法人人会变，巧妙各有不同

董彪

摘 要：对于有些不等式的证明，我们可以从研究题目的条件与结论入手，将问题中的条件和数量等关系，设法巧妙地构造成函数、数列、几何模型及向量等问题，可以使不等式得到简洁证明。

关键词：构造法;不等式证明

不等式的证明方法有很多种，构造法因其构造对象的灵活性而独具魅力。所谓构造法是指根据题设条件和结论的特征、性质，运用已知数学关系式和理论，构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。构造法的关键是“定目标构造”，能够从已知条件入手，紧扣要解决的问题，将陌生问题转化成熟悉问题。下面结合例题谈谈构造法在不等式证明中的一些应用。

一、构造函数证明

例1已知    ，且     ，求证：   .

分析 直接构造函数，然后用导数判断该函数的增减性;再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。

证明 由     可得，       ，即    .

设         则         .因为   ，所以    ，故函数f（）x在（2，e）上单调递增.又因为f（n）

评注 导数是研究函数性质的一种重要工具，在求函数的单调区间、最大（小）值、函数值域等方面发挥重大作用。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质，将两个式子比较大小的问题转化成比较函数值大小的问题，从而使问题得之解决。

二、构造数列证明

例2 求证

分析 直接构造数列，左边就是前n项和，这样就可以运用数列的性质了。

证明 构造数列         ，则

所以xn+1>xn，即{xn}是单调递增数列，从而       ，

但        所以

三、构造几何模型证明

如果问题中的数量关系有明显的几何意义，可以通过某种方式与几何图形建立联系，通过构造图形，将题设中的数量关系直接在图形中体现，然后在构造的图形中寻求所证的结论。

例3 已知    ，求证：

分析 本题不等式的形式很复杂，用常规方法很难凑效。如果注意到交叉项系数    的数字特征，在联系到余弦定理，从而想到够做一个四面体V-ABC（如图1）

由余弦定理得：

评注 分析式子结构特征，将抽象的数学式子转化为形象的几何图形，结合余弦定理实现证明，其中体现了数形结合的思想。

四、构造向量证明

向量本身作为一种解题的工具，不仅能够解决几何问题，同样能够解决代数问题。利用向量的数量积证明不等式，运算方便，能使复杂问题简单化。

例4 设a，b，c为任意实数，求证：

评注 解题的关键在于能够结合所给不等式的结构特征，巧妙地构造两个向量，再用数数量积的两种不同算法进行替代，借助向量夹角取值范围得以证明。

可见，构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了数学中类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、归纳等重要的數学方法。在数学解题中，除了注重基础知识和基本思想方法外，还应敢于打破思维的框框，尽可能对某一问题的研究展开各种类比联想，有目的地注意前后知识之间的联系与迁移，新旧知识之间的类比与转化，具体与抽象的变更，从而构造出一种新颖独特的解题模式，极大地提升了解题效率。