对数及其对数函数在数学建模中的应用

王丽艳

摘 要：对数及其对数函数在实际生活中应用广泛，归纳总结对数及其对数函数模型在实际生活中的应用，强调其实用性，能对数知识与实际生活相关联

关键词：对数;对数函数;常用对数;自然对数

在16世纪初期，第一张对数表问世，大文学家兼数学家拉普拉斯满腔热情地称赞这是一项“让天文学家寿命倍增”的一项发明。若从数学的角度看，对数产生的意义就更加深远了。对数、解析几何、微积分被称为17世纪数学领域最伟大的成就。早在公元前200年前，阿基米德就注意到了

之间的对应关系。这就是关于对数的原始思想。到了17世纪中叶，商业、工业的兴起，促进了天文学、力学的发展，在航海、天文学等实际工作中，出现了大量及其繁杂的计算，耗去工作人员大量的时间，当务之急，科学家们提出了对数的理论。

一、用对数表示一些数据的单位

对数（log）是17世纪初根据现实生活的需要发明的数学概念。当时随着天文学的发展，对庞大的数据有了更加广阔的需求，因为当时的计算工具并不发达，所以只能由人类一步一步的算，但如果利用对数的额性质，就可以将乘法转化为加法，除法转化为减法，则处理大数之间的乘法与除法就非常方便了

一、对数的概念

一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN.

其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

注意：

a、N的范围：a>0且a≠1和N>0.（负数与零没有对数）

对数符号是一个完整的符号.

（1）以10为底的对数叫做常用对数.

为了方便，N的常用对数log10N简记为：lgN.

（2）以e为底的对数称为自然对数.

为了方便，N的自然对数logeN简记为：lnN.

二、生活中与对数相關的知识.

（一）酸碱度PH值

酸碱度是个根据溶液中含有的氢离子的浓度来决定的，PH值所表示的就是氢离子的浓度。但是酸碱度不是直接用氢离子的浓度来表示，而是用浓度的常用对数来表示。所以浓度有10倍的变化时，PH值就会变化1，PH值为从0到14的数字，两个极端氢离子的浓度相差100兆，所以说没有对数，为了表示酸碱度要动员1到100兆内的非常庞大的数据。就这样对数就可以把这么庞大的数据简化了。

（二）地震的强度“里氏”

从美国的地质学家里克特的名字衍生出来的表示地震强度的里氏规模震级。里克特设计此标度的目的是区分当时加利福尼亚州发生的大量小规模地震和少量的大规模地震，而灵感则来自天文学中表示天体亮度的星星等等。为了不使结果为负数，里克特定义在距离震中100千米处的观测点与地震仪记录到的最大水平位移1微米的地震作为零级地震。按照这个定义，如果距离震中100千米处的城市，则该城市的震级为3级。里氏震级并没有规定上限和下限，现代精密的地震仪经常记录到震级为负数的地震。

里氏规模也可以用来表示地震的能量。在这种情况下，里氏规模每增加1，能力就增加约32倍，里氏规模若增加2，能量大约增加1000倍。地震有从人类几乎察觉不到的轻微地震到破坏城市建筑物等威力无比的大地震，它们之间的能量差异非常大，所以一般用对数来表示。用里氏表示曾经发生在日本广岛爆炸的原子弹的能量，则大约为6.1，。据报道1995年，在日本的神户发生的地震里氏规模约为7.5，那么所发生的能量相当于日本广岛的45倍。2008年我国汶川发生里氏8.0级地震，其释放的能量相当于25000个日本广岛原子弹的能量。

三、对数函数在实际生活中的应用举例

（一）研究燕子的科学家发现，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬。两岁的燕子飞行速度可以表示为函数v=5log2，单位是m/s.

（二）分贝是将声音的强弱和标准音的强弱作比较后表示噪音的数据，声音的强弱有很大的差异，声音的强度用瓦/平方米（W/m2）表示。

总之对数在实际生活中应用广泛，值得我们去进一步的探索与研究。三百年来，世界科技一直把对数作为不可缺少的数学工具，它把科学家们从繁重的劳动中解放出来，等于延长了科学家们的生命，对数为人类劳动生产做出了巨大的贡献。