规划数学“学习地图” 助力学习力生长

摘 要：在教学设计时注重规划学生整体学习的路径，即从课前、课中及课后进行思维导学，重视整体学习流程，规划学习目标的实现路径即“学习地图”，使学生明确目标实现的有效路径。文章以“同角三角函数”教学为例，从设计自主学习，稳固思维基础;组织合作探讨，发展思维能力;多向对话交流，提升思维能力;共同挑战难点，拓展学习能力等方面，浅谈如何规划“学习地图”，提升学生以思维力为核心的学习力。

关键词：学习地图;思维力;学习力

《普通高中数学课程标准》提出“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。”这一基本理念。在教学实践中，我们常常发现学生的预备知识预习不到位，在课堂问题讨论时简单低效，大部分学生在交流互动中只愿意做倾听者……为实现新课程理念，需要我们教师重视整体学习流程，规划学习目标的实现路径即“学习地图”，使学生明确目标实现的有效路径。文章就高中教学实践中，浅谈如何规划“学习地图”，提升学生以思维力为核心的学习力，以期抛砖引玉。

一、 设计自主学习，稳固思维基础

数学整体知识结构的建立是数学思维能力培养的基础。学生的有效学习从自主学习开始，包括复习与本节课相关的学习过的相关内容、预习本节课要学习的内容。当学生完成充分的预习之后，学生对本节课的学习内容有了思维基础，再通过课堂上对问题的讨论交流及老师在课堂上对问题的点拨讲解，从而实现对本节课内容的理解与掌握。

《同角三角函数关系》的学习单中预习任务设计如下：

一、 预备练习

（1）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边上任意一点P（x，y），设OP=r，则r=    ，sinα=    ，cosα=    ，tanα=    。

（2）设角α的终边与单位圆的交点为P，则用角α的三角函数表示点P的坐标为    。

（3）如图1，请画出角α正弦线、余弦线、正切线。

二、 基础练习

1. 已知sinα=45且α为锐角，求cosα，tanα的值。

2. 已知sinα=45且α为第二象限角，求cosα，tanα的值。

基于以上预备练习及基础练习的“学习地图”设计的流程为：

在小组互助研究以上問题的过程中，问题主要集中在解决第二小题的方法。在实践中，请了两个小组的同学上黑板书写了解答过程：

方法一：取点求解。取角α的终边上一点P（-3，4），则OP=5，所以cosα=-35=-35，tanα=4-3=-43。

方法二：用定义求解。设角α的终边上任意一点P（x，y）（x<0，y>0），则OP=r=x2+y2，因为sinα=45=yr，所以x=-34y，r=54y，所以cosα=xr=-35，tanα=yx=-43。

学生通过完成以上预习练习及课堂上的活动，温习了任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数值的几何表示，尝试解决“知一求二”的求值问题，以此巩固基础知识。学生能够自主解决大部分问题，为课堂上集中精力解决预习中发现的问题打下思维基础。学生的预习设计除了一节课的设计之外，还需培养学生的周预习、学期预习，对即将学习的内容进行章节的整体系统预习，了解即将学习的基本内容，初步了解数学知识的结构和关键问题，为上课做好充分的准备。学生的这种自学能力能够在潜移默化中不断增强，为今后的终身学习打下基础。

二、 组织合作探讨，发展思维能力

时代与社会对人的发展提出新的要求，教育也紧跟着时代的步伐在不断进步与变革。根据美国缅因州国家训练实验室的研究成果学习金字塔理论，学习效果两周以后保持率在50%及以上的讨论、实践、教授给他人三种学习方式，都是团队、主动和参与式的学习方式。课堂中的思维导学，需要充分发挥学生主体性的多样化的学习方式。学生在合作探究学习的过程中，可以深入地多角度理解数学知识，从而建构数学知识之间的联系，使他们在今后面对实际问题时，能更加容易地激活所学过的数学知识，并能灵活运用数学知识来解决问题。也只有这样，学生的数学学习才是积极主动的，才能够真正激发学生学习数学的内在动力。

《同角三角函数关系》的学习单中探究任务设计如下：

探究1：sinα与cosα两者有什么关系？

探究2：tanα与sinα、cosα之间有什么关系？

基于以上探究问题的“学习地图”设计的流程为：

通过预备知识的温习及基础练习的准备，学生在自主思考的基础上进行小组合作探究学习，从数量关系及几何关系两个角度进行问题的剖析，并自行建立同角三角函数的关系。教师从知识的传授者转变为知识意义建构的促进者，学生的学习方式由以往的被动接受学习转为自主探索及发现学习，使学习真正成为学生的自主活动，使学生成为知识的主动构建者。学生经历共同发现、自主探究，感受到了成功的喜悦，获得了成功的体验，拓展了学习与生活的思维空间，逐步完善个人的数学学习的思维方式，提升了学生的生命价值和意义。

三、 多向对话交流，提升思维能力

课堂上师生之间及生生之间的多向交流互动，能够改变被动、单项的交流方式，从而提高课堂学习效率。在教学实践中开展真正意义上的对话学习，建立生生对话机制，可采用培养“小老师”。因为每个学生都有自己的特长和优势，努力使每个学生都成为“小老师”，既可以在小组内负责对话活动，也可以在展示点评时展示组内同学对问题的理解的方式方法、解题过程、典型的错误，同时还可以在课外负责该组的学习计划的制定及学习对话活动等。教师的主导作用，体现在培养优秀学生成为真正的“小老师”，建立“小老师”培养机制，鼓励并培养成绩优秀的学生人人当基础薄弱的学生的“老师”。教师运用启发性的言语引导学生进行进一步的深层次的思考，最终形成问题的解决的规律、数学本质的揭示、思维的优化与拓展，提升思维能力。

《同角三角函数关系》的学习单中探究问题的对话“学习地图”设计流程为：

在实践教学过程中，请了两组同学展示讨论的结果。

組1：取α=π6，则sinα=12，cosα=32，猜想sin2α+cos2α=1。证明如下：由三角函数的定义，OP=r=x2+y2，sinα=yr，cosα=xr，所以sin2α+cos2α=y2r2+x2r2=y2+x2r2=r2r2=1，tanα=yx=yrxr=sinαcosα。

师：组1的同学从特殊的角的三角函数值的关系猜想后，利用定义进行了证明。非常好！在证明过程中，我们主要用了怎样的思想方法呢？请大家一起进行总结。

生：主要是将r消去，用了消元的思想方法。

组2：回顾了预备练习中，我们还可将三角函数进行几何表示，并从几何图形中得到两组关系。（图略）

师：组2同学在单位圆中直观地得到了以上两组关系，充分利用了数形结合的思想方法，非常到位！

在由两组代表展讲的过程中，不参加展讲的同学要求做到“记、思、论、评”，从而成为智慧的参与者。在整个对话学习过程中，学生经历了三角函数公式的推导，帮助学生建立了数与形结合研究问题的基本思想方法，同时也是数学抽象的过程。学生在这一过程中学会了怎样从具体的数量关系中寻找一般规律，帮助学生积累从具体到抽象的活动经验，使学生更好地理解数学概念、命题及方法，逐步养成运用数学抽象的思维方式来解决问题，从而提升了思维力，进一步提升学习力。

四、 共同挑战难点，拓展学习能力

对已学知识的分析与拓展应用时，需要创设各种学习情境，让学生创造规律、积极创新、自行变式，从而感受数学知识应用的魅力，调动学生学习的内驱力，让数学课堂变成创造的过程与场所。运用数学规律编制符合学生认识的练习题，使学生在挑战这些问题时，经历知识的发展，规律的创造，从而发展学生的数学素养，提升学生的创造性思维能力，拓展学习能力。

《同角三角函数关系》的学习单中挑战练习设计如下：

例1 （基础练习2）已知sinα=45，且α为第二象限角，求cosα，tanα的值。

例2 已知tanα=34，求sinα，cosα的值。

以上拓展例题及变式的“学习地图”设计流程为：

预设变式1：已知sinα=45，求cosα，tanα的值。

预设变式2：已知2sinα+cosα=1，可以求什么？

这一流程中，学生经历了“实践——认识——再实践——再认识”的过程，是自我认识的不断肯定与升华的过程。教师在引领学生在数学知识的应用中不断领悟其中蕴含的思想方法，让学生尝试从特殊问题的解决中得到解决问题的规律，并提供比较复杂的问题给学生作为课后挑战练习，最后共同归纳总结这些问题解决的规律。

总之，数学课堂教学需要有效、科学地设计思维导学的“学习地图”，设计好课堂教学的关键问题，变革陈旧的学习方式，增强学习动力，从而推动课堂学习走向深度学习，提升学生学习的内驱力，唤醒学生的学习热情，最终落实立德树人的根本任务、发展素质教育。

参考文献：

[1]房超平.思维第一 全面提升学习力[M].北京：科学教育出版社，2018.

作者简介：

宋建祥，江苏省苏州市，江苏省震泽中学。