论数学解题的三归纳

韦宏 陆文婷

[摘 要]在传统的数学解题教学和学生数学解题过程中，存在着“重结果、轻过程”的弊端。文章从解题的横向、纵向和深向三个方面引导学生学会解题后的归纳，并以一道中学数学题目为例，说明“三归纳”的应用。解题三归纳不仅能提升学生解题能力，而且有助于提升数学思维能力和掌握数学解题规律。

[关键词]数学;问题解决;解题三归纳

[作者简介]韦 宏（1968—），男，广西上林人，理学硕士，南宁师范大学数学与统计学院副教授，硕士生导师，研究方向为数学学科教学与研究;陆文婷（1999—），女，广西钦州人，南宁师范大学2019级数学与统计学院硕士研究生在读，研究方向为数学学科教学与研究。

[中图分类号] G640[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）47-0-02[收稿日期] 2020-05-14

乔治·波利亚是著名的数学家，他把对数学解题的研究所得写成《怎样解题》一书。书中将解题过程分为“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾”四个步骤。但实际教学过程中，数学解题教学大部分情况都是教学生如何找到解决问题的思路和方法，也就是大多关注的是解题表中的前三个步骤，而往往忽略了第四个步骤“回顾”。[1]不利于学生数学问题解决和学习的能力、数学素养的发展。因此，“回顾”是解题活动中很重要的环节，对解题学习者来说是解题活动的开始[2]，它更多地带有“研究性学习”的特征。德国心理学家邓克尔（Danker）把解决问题的思维过程分为一般性解决、功能性解决、特殊性解决三个层次。罗增儒教授在其专著《数学解题学引论》中，基于自己对数学解题的理解，将邓克尔的三个问题解决层次在数学解题思维过程中的作用解释为：一般性解决即在策略水平上的解决，以明确解题的大致范围或总体方向，这是对思考作定向调控;功能性解决即在数学方法水平上的解决，以确定具有解决功能的解题手段;特殊性解决即在数学技能水平上的解决，以进一步缩小功能性解决的途径，明确运算程序或推理步骤，这是对细节作实际完成[3]。显然，解题并不是纯粹地通过题海战术得到答案，而是要在方法、技能、策略以及思想方法等方面的发展以便在其他问题上能得到更好的解决[4]。故需要把解题之后的回顾归纳，当作是解题过程的继续。本文认为教师通过引导学生在解题“三归纳”解题过程，不仅能提升解题能力，而且有助于提升数学思维能力和掌握数学解题规律。

一、数学解题“三归纳”：横向归纳，找知识区别丰富知识图式

心理学研究表明，人们问题解决的思维过程一般是按层次进行的，总是从粗到细，从一般到具体。邓克尔的三层次理论的第一层次也表明：学生在解题的初时，对问题的条件和结论通过运用直觉思维进行表征转化之后形成整体性认识，从而可以确定出解题的方向，这是对题目思考的定向策略，从而在哲学意义上题目算是解决了。而解题的第一步就是通过题目的条件和结论明确解题的方向，这过程就是一个哲学意义上的思维策略。它可以为解题者提供达到目标的最初几步，虽然有可能只是得到几步，不是达到了目标，但它却可以指出达到目标的正确方向。也就是说解题的首要过程是明确“怎样思考”，通过解题的横向归纳可以更容易使解题者得到“怎样思考”，进而使题目得到正确的方向。解题横向归纳主要包括这几个方面：归纳一：在哪里见过这个问题，或者是见过与其有关的问题;归纳二：它们之间的区别联系，是图类似？条件类似？过程类似？还是结论类似？归納三：它们的出题背景？通过归纳题目的条件与结论之间的表征，在知识之间建立起联系，理清知识之间的关系，从而达到丰富或形成学生的知识图式的目的。

二、数学解题“三归纳”：纵向归纳，做知识方法梳理严谨逻辑

罗增儒教授认为数学知识能够提供一种简洁精确的形式化语言、能提供严谨的逻辑推理和科学抽象的工具。邓克尔的思维三层次理论也表明了，解决问题的思维功能性解决就是数学方法水平上的解决。比如解决数量关系的表示（具体建立函数关系、列出方程）等，方法的选择运用（坐标法、待定系数法）等。从某种程度上讲，数学方法就是数学的本质。而数学方法都是来源于对课本知识的总结，只有解题结束之后，归纳所解题目中所包含的课本中的知识总结方法，才能从传统题海战术的解题中走出来。罗增儒教授把数学解题方法分为三类，其中第一类是学科创立的方法，比如公理化方法、模型化方法等。第二类是思维的方法，比如实验、猜想等。第三类是具体解题的方法，比如消元法、不等式的放缩法等。纵向归纳就是对知识处理方法的梳理，其中可以归纳以下几个方面：第一，“这是什么类型的题目？”是代数题还是几何题？第二，“这道题的转折点是什么？”第三，“这道题的解题方法是什么？”通过对题型到解题转折再到解题方法的归纳，可以使学生在解题逻辑上清晰严谨。

三、数学解题“三归纳”：深向归纳，得知识升华

数学思想方法可以在解题中转理论为认识、化未知为已知，这就是数学思想方法在数学解题中的强大威力。一方面数学思想方法需要通过一定的解题方法来体现的，这也从侧面展示出解题需要做纵向归纳。另一方面，每一种解题方法都包含着一定的数学思想。是以，教师不仅需要引导学生对本题进行知识点的横向归纳和解题方法上的纵向归纳，而且还要对题目进行深向归纳，即解题方法、数学思想方法或者解题程序的归纳，让学生明白得到答案并不意味着解题结束。从数学思想方法来做深向归纳，可以使学生将知识升华或内化为自己的东西。深向归纳包括以下几个方面：第一，解题程序。第二，解题数学思想方法。

四、解题三归纳的实例应用

具体以2019年数学高考全国三卷（文科）第21题为例，阐述解题三归纳的应用：

横向归纳：第一，相较于2018年的椭圆与直线位置关系出题背景，本题是直线与圆及抛物线的位置关系。2018年是中点和等差数列的问题，而本题是中点与圆的方程问题。第一问考查了抛物线的阿基米德三角形，与2018年的全国三卷（理科）第16题背景一样，都是弦AB必过焦点问题。第二，本题的知识点考查了直线的斜率公式、韦达定理的应用、平面向量的坐标运算、圆的方程的相关问题、圆锥曲线相关的定点问题和直线与圆锥曲线的位置关系问题。对出题背景和知识类型的归纳虽然还没有达到目标，但它却可以指出达到目标的正确方向。

纵向归纳：第一，这是一道代数题，所以可以利用有关代数题的解题方法处理。第二，对于本题第一问求含参直线过定点的转折点是导数的几何意义及斜率公式的应用，通过两公式得出方程，由方程一致性从而可以得到定点。第二问的转折点是韦达定理和垂直关系得到平面向量积为零。第三，这里题目需要坐标法、待定系数法、点差法。通过对纵向做归纳把题目的解决逻辑梳理很清晰，便于学生后续对此类题目的逻辑推理。

深向归纳：第一，对本题的圆锥曲线相关的定点问题的解题思路做一个归纳：首先是要设直线的方程，可以设为横截式或斜截式。然后通过题干所给的已知条件，进行正确的运算找到斜率与截距的关系，即可找出直线所过的定点了。斜率是要分类讨论的一个知识点，即存在或不存在。当明確斜率存在，即直线不垂直横轴时，设直线方程为斜截式;当斜率不明确时，可以设直线方程为横截式。第二，讨论直线与圆锥曲线的位置关系问题，我们怎么认识这个问题？又是在考我们什么问题？此处，首先认识到这是一个位置关系的几何问题，其次可以转化为是解决直线与圆锥曲线的交点问题的代数问题，再次，转化为求方程组解的个数问题。即把题目变为解决直线方程与圆锥曲线方程的方程组的解个数问题。第三，整体来看解题过程，我们是从通过分类思想确定公式，转化位置关系为交点问题，再转化为方程组的解的个数问题。整个过程体现了方程思想方法、分类思想方法、转化化归思想方法。最终题目变为非常直观的代数问题。

五、小结

新课标强调要重视学生数学问题解决、学习能力和数学素养的发展，在解题活动中能够培养学生各方面的能力和素养。因此，解题不仅仅是把题目解得答案就结束了，需要对解题结束后的一个反思归纳。解题三归纳不仅能提升学生解题能力，而且有助于提升数学思维能力和掌握数学解题规律。

参考文献

[1]叶东辉.解题反思四部曲，提升数学思维能力[J].中学数学研究，2019（03）：48-50.

[2]王宏宾，罗增儒.例谈解题回顾的意义[J].数学教学，2007 （05）：3-6.

[3]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社， 2001.

[4]张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2013.

Abstract： In the traditional teaching of mathematics problem solving and the process of students' mathematics problem solving process， there is a problem of "emphasizing the result and neglecting the process". This paper guides students to learn how to solve problems from the horizontal， vertical and in-depth aspects， and takes a middle school math problem as an example to illustrate the application of "three-way induction" method， which can not only improve students' ability to solve problems， but also help students to improve their thinking ability and grasp the rules of mathematical problem solving.

Key words： mathematics; problem solving; "three-way induction" method of problem solving