考虑冲击和维修的多状态系统效能评估

宋卫星，曹文斌，武婧婧

（1.陆军工程大学石家庄校区装备指挥与管理系，石家庄 050003；2.武警指挥学院勤务保障系，天津 300250；3.西部战区陆军保障部信息保障室，兰州 730000）

0 引言

传统的可靠性理论认为系统及其组成部件仅仅存在完好和故障两种状态，即二态系统，随着对系统失效机理和规律的深入研究，人们发现在工业和军事应用中，系统及其组成部件从完好到故障的退化过程中存在许多中间状态，这种系统称为多状态系统。多状态系统广泛存在于工业和军事领域，如发电系统［1-2］、水管系统［3］、雷达系统［4］等。由于传统的二态理论并不适用于这类多状态系统，近年来，研究人员对多状态系统的可靠评估、维修优化等问题开展了大量相关研究。

关于多状态系统的现有相关文献很多，涉及的内容也很全面。Gu 等人［4］对多状态系统可靠性评估、优化、维修等问题进行了系统而全面综述，并系统综述了常用的多状态系统可靠性分析方法，如随机过程法［5］、通用生成函数法［6］、蒙特卡洛仿真法［7］等。刘宇等人［6］研究了多状态系统的系统级和部件级维修问题，并研究了考虑二态部件不完善维修的多状态系统选择性维修问题［7］。曹文斌等人研究了考虑随机共因失效［8］、考虑系统模糊特性［9］和面向随机任务［10］的多状态装备选择性维修问题。潘刚等人［11］研究了考虑随机冲击和认知不确定情况下的多状态系统可靠性评估问题。Mi 等人［12］研究了考虑共因失效和认知不确定性的多状态系统可靠性评估问题。Jafary 等人［13］采用通用生成函数法，研究了存在相关性时，多状态装备系统可靠度、可用度、故障率、平均故障时间等参数的评估问题。

典型的军用多状态装备，如火炮有不能射击、能够正常射击、射击距离降低等状态；车辆有能够正常行驶、不能行驶、行驶速度降低等状态；雷达有能够正常探测目标、不能探测目标、探测范围和距离降低等状态。这些装备系统在任务过程中往往会遭受一些冲击（如敌方火力打击等），可能导致系统内多个部件同时发生状态转移，甚至故障。若在任务过程中，这些装备的输出效能不能满足任务需求，必须立刻对其进行维修，从而确保任务圆满完成。然而，虽然目前多状态装备系统是可靠性领域研究的热点问题，取得的研究成果也很多，但是从现有的文献看，多数研究人员都是聚焦于研究多状态系统的可靠性、维修优化问题，且没有考虑多状态系统任务过程中的维修问题，因此，现有的模型在某些情况下，并不能直接应用于考虑任务过程中维修时的多状态装备系统效能评估。鉴于此，本文在现有研究成果的基础上，重点研究考虑随机共因失效和维修这两种情况下的多状态部件效能评估问题，建立响应的数学模型，求得多状态系统的平均工作时间和效能，为军用多状态装备保障提供科学、技术支持。

1 问题描述

图1 多状态部件维修过程

为便于开展研究，这里作以下假设:

1）部件的退化由自然退化和外部冲击两部分造成，二者相互独立，且自然退化过程符合齐次马尔科夫过程，外部冲击的到达服从泊松过程；

2）任务过程中多状态部件故障后，只能将其从故障状态恢复到能工作的最低效能输出状态；

3）部件可以在多个状态工作，每个状态的输出效能已知。

2 考虑共因失效条件和维修的多状态系统效能评估

根据问题描述可知，多状态部件任务中的状态转移是由自然退化和外部冲击两部分原因造成。外部冲击的到达会以不同的概率导致多状态部件在不同的状态之间转移，这里将这种现象称为随机共因失效（Radom Common Cause Failure，RCCF）［7］。当部件的初始工作状态为完好状态时，多状态部件在一个检修周期内的状态转移过程如下页图2 所示。

2.1 多状态部件状态分布

图2 多状态部件的状态转移过程

根据假设条件1），自然退化过程符合齐次马尔科夫过程，外部冲击的到达服从泊松过程，且二者相互独立，则多状态部件状态分布评估可通过其次马尔科夫过程求得。

当只考虑自然退化过程时，多状态部件n 从状态j 转移到状态h 的转移率表示为，则部件的状态转移率矩阵可表示为:

综上所述，多状态部件在时刻t+Δt 处于状态h的概率为:

根据式（4）和上述推导过程可知，最复杂的一种情况是h=1 时，而h≠1 可看作是其一种特殊情况。当h=1 时，式（4）可写作:

2.2 多状态系统状态概率分布

根据多状态部件n 在各状态的概率和各状态的输出性能，采用通用生成函数（Universal Generating Function，UGF）法，可写出多状态部件在时刻t的状态概率分布为:

多状态系统中各多状态部件在任意时刻t 可能处于多个不同的状态，通过各多状态部件的不同效能的组合，多状态系统也可能有多种状态，每个状态的效能及概率均不同。根据式（10）和UGF，可得到多状态装备系统在t 时刻的状态概率分布为:

2.3 多状态装备系统平均效能评估

当任务对多状态装备系统的效能输出要求为w时，则在时刻t，多状态装备系统能够满足任务要求的概率可表示为:

其中，1（g）为指示函数，可表示为:

根据式（14）可求得系统在全面检修期内的平均失效时间为:

同理，可求得系统在某个状态hs的平均时间为:

系统在全面检修期内的平均效能可计算为:

3 算例分析

某多状态装备系统由发弹机和供弹机两种多状态部件构成，其系统结构框图如图3 所示。各多状态部件的状态及输出效能如表1 所示。各部件的起始状态均为完好状态，即。当仅考虑自然退化时，各部件的状态转移率如表2所示。任务对系统单位时间输出效能要求为w=180单位/h。随机共因失效事件的到达率为/月，随机共因失效导致部件的状态转移率如表3 所示。部件1 和部件2 的修复率相同μ1=μ2=300/ 月，部件3 和部件4 的修复率相同μ3=μ4=600/月。根据上述推导过程，需求得多状态装备系统的平均工作时间长度和总输出效能。

图3 系统结构框图

3.1 多状态系统效能评估结果

根据上述推导过程，可求得各部件处于各状态的概率，各部件在任意时刻处于3 个状态的概率分别为:

表1 各部件状态及效能（单位/h）

表2 自然退化导致各部件的状态转移率（/月）

表3 随机共因失效导致各部件的状态转移概率

根据各部件的状态数量可以看出，系统在任意时刻t 处的可能状态有ks=3×3×3×3=81 个，其中，满足输出效能要求w=180 单位/h 的状态组合有7 个，各状态输出效能及概率分布如表4 所示。

根据式（17）可求得系统处于各状态的平均时间。处于状态1 的平均时间为:

处于状态2 的平均时间为:

表4 满足任务要求的系统状态、输出效能及概率分布

3.2 模型验证

图4 Monte Carlo 仿真结果

根据上述仿真流程，仿真得到了不同仿真次数与平均输出效能的关系，如图4 所示。图4 中，蓝色线表示不同仿真次数（lg（Ntot））下系统的平均输出效能，红色线表示利用文中解析模型得到的系统平均输出效能理论值（82 656.293 8），从图4 中可以看出，随着仿真次数的增加，解析法与Monte Carlo 仿真法得到的结果几乎一致，证明文中建立的模型是正确的。

4 结论

针对多状态装备系统在任务过程中遭受冲击这一特定的应用背景，考虑任务过程中对故障部件及时实施维修的情况，研究建立了多状态装备系统效能评估模型，得到多状态装备系统平均工作时间和效能。研究结果表明，文中建立的模型能够有效评估随机共因失效和考虑维修过程的多状态系统效能评估问题，具有一定的理论和应用价值。对于本文的研究内容可以从两个方面进一步扩展研究:一是考虑模糊多状态系统效能评估问题；二是研究多状态系统维修间隔期优化问题。