均值不等式在求解数列问题中的应用举例

孙明保，李新平，杨 雄，夏汝刚，张佩佩

(湖南理工学院 数学学院，湖南 岳阳 414006)

对任意n个实数ai＞0(i=1，2，…，n)，均值不等式为

即：几何平均值≤算术平均值，其中等式成立当且仅当a1=a2=…=an.

对于均值不等式(1)的证明、推广与应用，数学工作者进行了不懈的探究，如文[1～5]等.运用均值不等式求解数学问题的关键是需要注意其中的条件.只有深刻领会并掌握均值不等式的应用范围，才能发挥它独特的功能，这其中常常需要根据问题的隐含条件巧妙地运用组合、分拆、凑配等变形技巧，将其转化为均值不等式.本文结合研究生入学考试中的一些数列试题，给出部分应用实例.

例1数列{xn}满足

其中

求数列{xn}的极限.

解由均值不等式有

由上述不等式可知

在例1 中取a1=1，d=1，即为东北师范大学研究生入学考试试题.例1 给出了它的推广，这里的解答不同于文[5]中的解答.

例2(武汉大学，1992年) 数列{xn}满足：

其中a为给定的正数，k(≥2)为给定的自然数.

(1)证明：数列{xn}收敛；

(2)求出其极限值.

分析这里关键是证明数列{xn}收敛，注意到可变形为运用均值不等式就可证得xn＞0，进一步可证明{xn}单调递减.

证明(1)首先可证xn＞0.由均值不等式有

从而{xn}有下界.又由式(2)知≥a，所以有

即数列{xn}收敛.

在例2 中取k=2，即为华中理工大学1998年和厦门大学2002年研究生入学考试试题.

例3(南京航空航天大学，1999年) 证明函数列在x∈ [0，1]上对n单调递增.

分析这里将看作运用均值不等式可证.

证明运用均值不等式有

即

例4(华东师范大学，2000年) 证明数列为单调递减数列.

分析只要证明为单调递增数列，从而将看作运用均值不等式可证.

证明运用均值不等式有

即

类似的，可以用均值不等式和夹逼原理求解如下极限问题：

(南开大学，1985年) 已知xn＞0，试证：

限于篇幅，不再赘述.