基于性能退化数据融合的航空发动机剩余寿命预测方法*

刘君强 谢吉伟

(南京航空航天大学民航学院 南京 211106)

0 引 言

航空发动机的健康状态大多数会反映在性能参数上，当其性能参数超过特定阈值时，发动机就会下发或者进行返厂维修.所以，在航空发动机的使用过程中如何利用性能参数对其进行可靠性评估与剩余寿命预测成为亟待解决的问题.对此，国内外学者做了相关的研究.王燕萍等[1]在多种先验分布下，基于MCMC方法，利用Bayes方法将失效、截尾时间数据进行融合并对发动机可靠性进行评估；孙见忠等[2]提出了一种基于动态线性模型的航空发动机在翼寿命预测方法；王华伟等[3]基于Gamma过程建立了航空发动机性能可靠性评估模型；朱磊等[4]提出了基于Wiener过程的航空发动机性能可靠性评估与剩余寿命预测方法.由于航空发动机在复杂环境下工作，其性能参数变化具有较强的随机性，采用随机过程模型对航空发动机的性能参数进行建模是最合适的.在随机过程模型中，Wiener过程模型由于其自身的计算优势及良好特性，是目前基于性能退化可靠性分析中应用最为广泛的模型.

虽然，Wiener过程模型在可靠性建模中有着广泛的应用，但仍然存在如下几方面的问题：①当性能退化数据较少时，预测精度无法保证；②模型计算结果只能反映总体特征，无法反映个体的差异性.

针对第一个问题，刘琦等[5]利用Bayes方法融合火箭发动机实时运行数据和地面试验数据对其进行了可靠性分析；彭宝华等[6-7]利用Bayes方法融合某产品的历史失效时间数据与实时性能退化数据对其进行寿命预测；王小林等[8-9]提出了一种融合历史性能退化数据、历史寿命数据与实时性能退化数据的可靠性评估方法；Yan等[10-11]提出了利用经验Bayes融合性能退化数据与寿命数据的剩余寿命预测方法.但由于Bayes统计分析涉及到大量的模拟分析、数值积分等问题，通常需要借助MCMC方法进行计算.

针对第二个问题，Wang等[12]将Wiener过程的漂移参数和扩散参数都看作随机变量，假设参数先验分布为正态-逆伽马分布，并利用期望最大化(EM)算法确定参数先验分布中的未知超参数；Peng等[13]在对金属化膜电容器进行剩余寿命预测研究时，也同样采用了随机化参数的Wiener过程进行建模，并利用EM算法的对参数先验分布进行估计，Gebraeel等[14]则采用先验矩的方法，对随机参数的退化模型参数先验分布进行求解.

结合上述研究的优缺点，本文首先采用随机参数的Wiener过程对航空发动机性能退化进行建模，选取参数的先验分布为Jeffrey无信息先验分布，利用Bayes方法融合航空发动机的现场性能退化数据与截尾时间数据，当性能退化数据较少时，借助bootstrap自助法得到性能退化数据的自助样本，然后根据MCMC方法对模型参数的后验分布进行抽样估计，并使用Kolmogorov-Smirnov检验确定模型参数的最优拟合后验分布.最后，由模型参数估计值推导出航空发动机的剩余寿命分布，并对其剩余寿命进行预测.

1 航空发动剩余寿命预测模型

1.1 Wiener过程

如果连续时间随机过程{X(t),t>0}服从漂移系数为μ和扩散系数为σ的Wiener过程，那么X(t)满足以下条件：

1)X(0)=0并且X(t)在t=0处连续.

2) 对于两个不相交的时间区间[t1,t2]和[t3,t4]，且满足t1

3) 时刻t到t+Δt之间的增量X(t+Δt)-X(t)服从均值为μΔt和方差为σ2Δt的正态分布.

1.2 剩余寿命分布

假设航空发动机的性能退化趋势服从Wiener过程且失效阈值D已知.根据失效物理分析，当航空发动机性能退化量X(t)首次超过预定阈值D时，航空发动机会下发进行维修.设T表示航空发动机的在翼寿命，则在翼寿命可以表示为T=inf{x:X(t)≥D;t>0}.由性能退化导致的在翼寿命T服从逆高斯分布，其概率密度函数形式与累积概率分布函数为

(1)

(2)

式中：Φ(x)为标准正态累积分布函数.

如果某台航空发动机运行到τ时刻累积性能退化量仍未超过预定阈值D，记其当前性能退化量为xτ(xτ≤D)，根据Wiener过程的齐次马尔可夫性质，航空发动机的剩余在翼寿命Tτ为

Tτ=inf{t|X(t)≥D-xτ,t>0}

(3)

由式(3)可知，剩余在翼寿命Tτ也服从逆高斯分布，其概率密度函数形式为

(4)

当已知性能退化模型参数后，单台航空发动机的平均剩余在翼寿命为期望值为

(5)

2 性能退化建模与参数估计

2.1 性能退化数据预处理

对于一台新投入使用的航空发动机，制造商可以通过比较实际EGTM测量值与设计的EGTM阈值判断航空发动机的使用情况.随着航空发动机性能逐渐衰退，EGTM逐渐减少，通过EGTM可以衡量航空发动机的性能衰退程度，当EGTM到达规定阈值时，航空发动机就会下发或者修.由于这种方法简单，容易操作，在航空公司中得到了广泛的应用.设yt为EGTM在t时刻的测量值，xt为由性能衰退导致的EGTM退化值，其中：

yt=xt+vt

(6)

式中：vt为观测噪声，包含由模型误差、传感器噪声以及其他影响因素造成的误差.

由于实际测量得到的EGTM数据含有较高的噪声，直接使用EGTM测量数据进行建模会引进过多的不确定性使得剩余寿命预测误差过大.因此，本文采用移动平均平滑方法通过yt对进行xt估计.其中，移动平均平滑法为

(7)

2.2 基于性能退化数据建模

假设获得了某台航空发动机的性能退化样本{xt}，设初始时刻的性能退化量为x0=0，分别在时刻t1,t2,…,tm得到其在当前时刻的性能退化量为x1,x2,…,xm，记性能退化增量为Δxi(1

Δxi～N(μΔti,σ2Δti)

L(x,x*;μ,σ2)=

(8)

2.3 基于寿命数据建模

L(T;μ,σ)=

(9)

2.4 基于Bayes的参数估计

由于考虑到航空发动机个体的差异性，认为发动机性能退化模型中的漂移系数和扩散系数是随机变量，且服从同一分布类型.因此，文中采用Bayes方法对漂移系数和扩散系数的后验分布进行计算.在已有的研究基础中，大多数都采用正态-逆伽马分布作为参数的先验分布，但事前假定参数先验分布的类型会影响最终剩余寿命预测结果.为避免主观经验造成的误差，文中根据Jeffrey无信息先验原则，利用参数Fisher信息量的平方根作为参数的无信息先验分布.

π(μ)=[I(μ)]1/2∝1

由于参数(μ,σ2)无信息先验相互独立，可以得到参数联合无信息先验分布为

(10)

根据Bayes公式可得，参数(μ,σ2)的联合后验分布为

π(μ,σ2|x,x*,T)∝π(μ,σ2)·L(x,x*,T;μ,σ2)∝

(11)

考虑一种特殊情况：当无寿命数据时，即不存在失效时间数据与截尾时间数据时，漂移系数和扩散系数的联合后验分布为

π(μ,σ2|x,x*)∝π(μ,σ2)·L(x,x*;μ,σ)∝

(12)

式中：

由式(12)可知，后验分布与正态-逆伽马分布的核形式相同，所以参数后验分布服从正态-逆伽马分布，即

(13)

根据文献[10]，漂移系数的边缘后验分布为非中心t分布，扩散系数的边缘后验分布为逆伽马分布，根据平方损失函数最小原则，参数Bayes估计值分别为

(14)

(15)

当样本数据中存在截尾时间数据时，由于参数后验分布形式较为复杂，难以给出参数后验分布的具体表达形式.故采用Gibbs抽样方法产生后验分布的随机样本，从而对后验分布进行统计推断.Gibbs抽样方法是从某个初始点出发通过满条件分布的循环抽样产生马氏链.其中，参数μ的满条件分布为

(16)

参数σ2的满条件分布为

(17)

由于满条件分布不容直接抽取，在抽样过程中借助Metropolis-Hasting算法进行抽样，本文采用正态分布作为抽样建议分布.

在满足一定的迭代次数后，根据由Gibbs抽样方法所产生的Monte Carlo样本，对退化模型参数的后验分布进行统计推断.假设模型参数的边缘后验分布形式已知，根据平方损失函数最小原则，参数Bayes估计值分别为

(18)

(19)

3 实例计算

选用某航空公司的CFM56-3型航空发动机进行实例计算.由于CFM56-3型发动机属于视情维修使用，没有固定的寿命限制，该型发动机第一次返厂维修时间都由用户自行决定.在实际运行过程中，航空公司一般都会在发动机未超过预定阈值时便送厂维修，在实际情况下难以获得该型号发动机的真实失效时间数据[15]，只能够获得其对应的截尾时间数据.文中选取排气温度裕度(EGTM)作为该型发动机的性能退化特征量，已知某台航空发动机的实际EGTM数据，见图1.

图1 EGTM测量数据与平滑数据

首先利用对EGTM数据进行平滑处理，然后对过平滑后的EGTM数据进行正态分布拟合优度检验，检验结果P值为0.80，表明性能退化数据近似服从正态分布，因此，可以使用Wiener过程对该型发动机性能退化进行建模.

选取其中第2 500至第5 000个值作为模型参数的抽样样本，使用Kolmogorov-Smirnov检验对参数可能的分布类型进行拟合优度检验，最终确定漂移系数最优拟合于正态分布，扩散参数最优拟合于对数正态分布.最终通过极大似然估计可以确定模型参数的后验分布形式，表1为在综合考虑性能退化数据，截尾时间数据的情况下的参数点估计值及其对应的95%置信区间：

表1 参数点估计值与95%置信区间

当退化模型参数已知后，可以确定性能退化数据样本的95%置信上下限，见图2.

图2 性能退化数据的95%置信区间

由图2可知，MCMC方法得到的性能退化数据95%置信区间长度要比利用极大似然估计方法得到的95%置信区间长度小，这说明了利用MCMC方法综合考虑性能退化数据与失效时间数据所建立的性能退化模型可信度较高.

下面进一步分析在只考虑性能退化数据、截尾时间数据和融合两类数据这3种不同数据源情况下对剩余寿命估计的影响.航空发动机的剩余寿命概率密度曲线与可靠性曲线见图3.

图3 概率密度和可靠性曲线

由图3可知，只考虑性能退化数据得到的剩余寿命估计结果较小，只考虑失效时间数据得到的剩余寿命估计结果较大，而融合两类数据得到的剩余寿命估计结果介于单独利用一类数据得出的结果之间.为了更加直观地反应不同数据源对剩余寿命估计结果的影响，表2为利用不同数据源得到的平均剩余寿命预测值及剩余寿命90%置信下限.

D为仅考虑性能退化数据，T为仅考虑寿命数据，TD为融合性能退化数据与寿命数据.由表2可知，融合性能退化数据与寿命数据的方法能够较准确地预测航空发动机个体的剩余寿命.另外，由该方法得到的剩余寿命90%置信下限能够覆盖大部分时间截尾数据，因此该方法可以在航空公司实际运行过程中使用.

表2 性能比较表

4 结 束 语

针对航空发动机在实际运行过程中无完全失效时间数据，建立了能够融合性能退化数据、时间截尾数据的航空发动机剩余寿命预测模型.利用MCMC方法对模型参数后验分布进行估计，并比较了不同数据源对剩余寿命预测结果的影响.最终实例计算表明，所提出的综合考虑性能退化数据与截尾时间数据的剩余寿命预测方法精度较高，能够为航空公司预测实际下发时间和制定维修计划提供依据.