在“变与不变”的探究中促进学生主动思考

江苏省兴化市景范学校 陈 颖

苏轼在《赤壁赋》中从哲学的角度向世人道出了人生中的变与不变的真理。其实，从数学的角度看，世界上所有的事物都在变化着，这种变化包含着变化和不变的因素。其中，如何处理“变与不变”的关系是解决数学问题的一大难点，也是重要的数学思维方法之一。笔者将结合自己的教学实践谈谈如何在教学中渗透“变与不变”的数学思维方法。

一、“变与不变”思想方法的概述

1.“变与不变”的内涵。伟大的哲学家苏格拉底认为，世界上的所有事物都在某些方面发生变化或消逝，但是从某种程度上来说这些变化着的事物在某些方面却是相同的，那就是从不变化、从不消逝。这句话将“变与不变”的哲学含义很好地解释透彻了。其实，“变与不变”是以辩证关系而存在的，如表面发生变化，但本质却不变；局部发生变化，但整体却不变；事物都会有短暂的变化，但长期来看最终结果是不发生改变的。总之，如果要尝试运用变与不变的思想方法去思考问题，那么需要我们既要考虑其变化的一面，又要考虑其不变的一面，同时还需要思考二者如何进行转换。总之，世界上有太多千变万化的事物，它们有可能会令人眼花缭乱，但是我们如果能抓住事物变化的本质，就可以以不变应万变，无论是生活中的问题或是学科中的学术问题，都能举一反三，想出最适当且最高效的办法解决，从而提高自身解决问题的能力与效率。

2.“变与不变”思想方法的数学地位。数学思想是在数学知识形成和发展以及应用过程中诞生的，它是对数学知识以及方法在更高层次上的升华与浓缩。当解决数学问题时，就需要运用数学方法，因此数学方法是将数学知识应用起来的策略，同时也是数学思想的具体反映。在教学过程中应用“变与不变”的思想，可以帮助学生解决错综复杂的问题，也能让学生通过现象看本质，根据局部把握全局等。如果学生能把“变与不变”运用到数学学习中去，就可以做到举一反三和触类旁通。因此“变与不变”思想方法在数学教学中具有深远的意义。

二、“变与不变”思维方法在小学数学教学中的实际运用

1.在“变与不变”中分析概念。数学概念是数学知识体系中最基本的一个内容，也是一切中高难度知识点的核心。因此，在数学教学活动中，概念的理解与把握是分析和解决数学问题的基础。然而，数学概念具有抽象化的特点，这使数学概念的教学变得比较困难。因此，在教学过程中，尤其是在讲解概念时，教师应当把握“变与不变”的关系，适当引导学生进行比较分析，以便更为清楚地理解概念的本质特征和意义。

例如，在教学“面积”这一单元时，很多老师把周长和面积分开来教，这就容易使学生混淆面积和周长这两个重要概念。其实，最好的教学方式是教师先将周长和面积这两个概念分别讲解后，再设计一系列与之相关的教学活动，让每一个学生仔细观察图形周围的线的变化是如何引起周长和面积的变化的，周长和面积之间到底有什么联系或者差别。

比如，教师拿出一个可以活动的平行四边形框架，将平行四边形变成长方形再变成其他平行四边形的过程演示出来，让学生观察平行四边形的周长和面积有什么变化，学生很快就能得出图形的周长不变，但是面积发生改变了。

教师通过在课堂上让学生猜测、验证、比较和发现，使学生不仅能够清楚地辨析面积与周长概念的区别，还能够学会全面思考问题的方法，从而提高自身辨析事物的能力。

2.在“变与不变”中探究规律。自从新课程改革开始实施之后，很多版本的数学教材都对内容进行了仔细的探索与钻研，并总结出许多规律，对这些内容进行了合理的安排与设计。其实，数学教材中有很多规律、性质或公式，都是可以融入“变与不变”思想的，通过这种思想的渗透，可以引导学生主动地进行探究与发现问题。

例如，在“商不变的性质”一课中，教师让学生思考一个问题：“为什么被除数和除数变了，商却没有变。这里面究竟蕴藏了什么规律？”在总结了性质之后，教师可以适当地引导学生使用“什么变了，什么没有变，每一次变化的量是按照什么规律变化的”的方式。接着，再通过类比进行一系列的归纳与总结。总之，教师要让学生学会在接下来的学习中自觉地运用“变与不变”的思维方法去进行观察和总结。

同样，在教学“空间与图形”时，教师可以经常使用数学转换的方法，但在转换的过程中，教师应该促使学生及时地发现“变化与不变化”之间的关系，最后主动地总结出规律来。

例如，在教学“平行四边形的面积计算”时，教师可以先要求学生通过拼接和切割的方式将平行四边形转换成长方形，然后询问学生“什么改变了”和“什么没有改变”，接着再让学生进行探索。很显然，经过仔细观察和认真比较，学生会发现平行四边形的“底”等于转化后长方形的“长”，平行四边形的“高”等于转化后长方形的“宽”，以及平行四边形的面积等于转换后的长方形的面积。而在先前，学生已经非常熟练地掌握了长方形的面积公式，即长方形的面积=长×宽，所以面对这种情况，学生通过迁移可以很容易发现：平行四边形的面积=底×高。

这样一来，在“变与不变”思维方法的指导下，学生也会自觉、主动地运用“变与不变”的思维方法去发现与解决问题。接下来，学生要学习如何推导圆、梯形和三角形的计算公式时，就会很自觉地将“变与不变”的思想渗透到推导过程中去，从而使自身的思维能力得到有效的锻炼。

3.在“变与不变”中解决问题。世界上的事物是不断变化和演变的，变化包含着变和不变的因素，而我们要做的是从这些复杂的变化中发现变与不变之间的相互联系，因为这通常是解决问题的突破口。例如，我们在解决“盈亏问题”等学生会感到比较困难的问题时，如果学生懂得在其中归纳万千变化中不变的规则，那么这些问题就能迎刃而解了，解决的难度系数也会下降很多。

例如，有这么一道题：学校图书馆有420本历史书籍和文学书籍，其中历史书籍占20%左右，后来又买进一些历史书。在这个时候，历史书占全部书的比重是30%，问又买了多少历史书籍？”其实，这道题中，历史书的数量和总数是变化的，而文学书的数量是不变的。因此，在解决问题时，教师应引导学生抓住不变的量——文学书的数量，最后得出这样的结论：文学书的数量是420×（1-20%）=336（本）。而变化后的总本数是336÷（1-30%）=480（本），此时，增加历史书为480－420=60（本）。

就这样，在复杂的变化中，用常数量即不变的量作为突破口，能够开阔学生的思维，使问题变得更加简单、易解决。

综上所述，“变与不变”是数学学习和日常生活中分析和解决问题的一种为人所熟知的思维方式。教师应该了解整体的教学材料和基本方法，运用更加丰富多彩的教学设计与教学方法，全面提高学生的数学素养和主动学习的能力。