多自由度系统基于单通带近似法的振动局域化分析

李宗威，纪刚，周其斗

海军工程大学 舰船与海洋学院，湖北 武汉 430033

0 引 言

多自由度系统是指在任意时候都需要2 个或者更多的广义坐标才能完全确定其位置的系统。工程结构与多跨梁具有相似的特征：每个单元都表现为多自由度振动，属于多自由度特征的系统。开展多自由度系统的局域化研究对于工程振动控制设计具有特别重要的意义。此外工程结构都是有限尺寸的结构，需要将无限结构的波传递响应推广至有限尺寸结构的振动传递响应。通过有界媒质中的强迫振动分析[1]，表明有界媒质的振动响应可视为由扰动源发出的左、右传播波及其在边界多次反射波叠加的结果。有界媒质中，远离扰动源处的响应特征被归结为无界媒质中自由行进波的特征。

周期系统在不同的频段具有不同的振动特性。振动传递若在某些频段内不随传播距离的增加而衰减，则该频段称为通频带；而在另一些频段，振动随着传播距离的增加而呈指数衰减，此时，振动能量被局限于振源附近，即振动被“局域化”，该频段称为止频带。与周期系统不同，非周期系统的振动在所有频段都表现为局域化特征，即在所有频带内，振动传递随传播距离的增加而衰减，因而不存在通频带。1958 年，固态物理学家Anderson[2]在研究不规则条件下电子传播规律时，首次发现了局域化现象。Hodges[3]通过对耦合振子链模型的研究，首次证实了在结构动力学领域中也存在局域化效应，发现无序结构振动能量局限于激励源附近，振动幅值随传播距离的增加呈指数衰减。Pierre 等[4-7]对有限弹簧振子耦合摆模型进行分析，从模态角度分析解释了无序结构的局域化效应，说明振动局域化效应在模态上体现为局部模态，并给出了振动强局域化发生的条件。国内学者刘文玺和谭路等[8-9]通过具体的实例研究了圆柱壳结构不等间距布置对圆柱壳振动特性与声学性能的影响，发现结构不等间距布置具有一定的减振作用。

从理论分析方法上看，上述学者多采用波动分析方法，因为这些模型结构大多是一维波传播模型，动力学表达简单，容易通过理论解析定量给出局域化因子。但是，若直接采取理论分析方法对具有多自由度特征的实际工程系统进行振动局域化的研究，尚有一定的困难：一是波动控制方程在表达上比较复杂，因为解析方法给出的传递递归关系需要引入假定，在理论推导上存在一定的困难；二是较难表示有限尺寸结构的振动场；三是对于平板、圆柱壳等具有二维振动特征的结构无法直接运用针对一维模型得出的理论。

为解决多自由度系统理论分析存在的难题，建立一种等效的方法，即将多自由度系统的振动等效为弹簧质量链系统的振动，然后利用弹簧质量链系统的局域化公式预报多自由度系统局域化因子，进而开展局域化规律的研究。该方法可以有效规避对多自由度系统进行复杂解析的困难，实现对多自由度系统开展局域化定量分析。

本文将以梁模型为研究对象开展上述等效方法的研究。首先，介绍等效方法的原理； 然后，利用等效方法对一维梁系统进行局域化分析，预报局域化因子； 最后，通过比较等效方法与统计扰动法的计算结果，以及与具体实例的有限元模型衰减特征对比，来验证等效方法的有效性。

1 单通带近似法

对于多自由度周期系统，波数kw与频率ω 的色散曲线可用图1（a）所示的曲线表示。与单自由度系统具有唯一的通频带不同，多自由度系统具有多个通频带。Photiadis 和Houston[10]指出对于具有多个通频带的系统，可以通过单通带近似（single band approximation，SBA）的等效方法进行简化分析。通过采用弹簧质量链系统来代替实际系统，将结构在各阶通频带的振动视为固有频率不同的振子系统来进行研究，即分析单一通频带。因此，只要给出了相应的振动等效参数，再根据弹簧质量链系统的局域化理论结果，就可以预报实际模型的局域化因子。

单通带近似法[10]的本质在于将多自由度系统的色散曲线中的某一根色散曲线视为等效耦合弹簧质量链系统的色散曲线。耦合弹簧质量链系统的色散曲线可以表示为图1（b）所示曲线，可根据曲线的特征给出该通频带的带宽和该通频带的中心频率。若图中通频带的上、下限频率为 ω+和ω- ，则可以得出等效的耦合度 V 和，其中 ω0为中心频率。

针对如图2 所示的弹簧质量链系统进行分析，其中弹簧振子质量为 m，振子间耦合刚度为 k，振子对地刚度为 kj。

图 1 波数与频率的色散曲线Fig. 1 Dispersion curve of wave number and frequency

图 2 弹簧质量链系统Fig. 2 Mass-spring chain system

以第 j 个弹簧质量振子为例，可以得到其运动关系式为

2 等间距梁模型的振动参数识别与等效

等间距梁模型如图3 所示。梁跨距为l0，跨间扭矩弹簧刚度为 C，弹性模量为E，梁的线密度为m0，梁的截面面积惯性矩为I。梁的有限元模型结构尺寸和材料属性如表1 所示。

图 3 等间距梁模型Fig. 3 Model of beam with equal spacing

表 1 有限元梁模型结构相关参数Table 1 Structural parameters of finite element beam model

当K=1 时，等间距梁的色散曲线如图4 所示。图中，实线表示梁的通频带。由图可以看出，与弹簧质量链系统具有唯一的通频带不同，梁系统具有多个通频带。

图 4 耦合梁模型的通频带及色散关系（K=1）Fig. 4 The pass band and dispersion relations of coupled beam model（K=1）

通过单通带近似法将梁的某一根色散曲线视作等效耦合振子链的色散曲线，如图5 所示。

图 5 等间距梁的色散曲线Fig. 5 Dispersion curves of beam with equal sapcing

针对某一具体通频带，通过上、下限频率ω+和 ω-，可以计算得到相应的振动等效参数。

3 不等间距梁的局域化因子预报

4 等效方法有效性的验证

通过对比统计扰动方法与等效方法计算的局域化因子结果以及通过不等间距梁有限元模型实例来验证等效方法预报结果的有效性 。

4.1 等效方法预报结果与统计扰动方法结果比较

文献[7]中，由统计扰动方法分析得到的局域化因子为

以K=1， σ2=0.005 77 ，的 计 算 模 型 为 算例，计算出各通频带的带宽和中心频率，以此作为输入，利用式（17）计算等效局域化因子。

利用统计扰动法和单通带近似法计算出的局域化因子结果对比如图6 所示。其中：散点为等效方法计算得到的局域化因子，实线为统计扰动方法计算的局域化因子值。从图中可以看出，通过单通带近似的方法将梁系统等效为弹簧质量链系统预报得到的局域化因子同统计扰动方法给出的结果具有相同的量级，而且规律基本符合：随着频率的增加，局域化因子具有增加的趋势。这说明了运用等效方法预报多自由度系统的局域化因子具有可行性。

图 6 统计扰动法和单通带近似法计算的局域化因子结果对比Fig. 6 Local factors comparison calculated by statistical perturbation method and single pass band approximation method

4.2 不等间距梁有限元模型验证

图 7 梁的有限元模型Fig. 7 Finite element model of the beam

图 8 振动幅值同理论局域化因子衰减线比较Fig. 8 Comparison of the vibration amplitude by numerical and theoretical results

5 结 论

本文以梁模型为研究对象，给出了预报不等间距梁局域化因子的等效方法，验证了预报方法的有效性，得到如下主要结论：

1）对不等间距梁的色散曲线进行分析，运用单通带近似方法将单一的色散曲线等效为耦合弹簧质量链系统的色散曲线，采用参数等效手段将梁的振动参数等效为弹簧质量链系统的振动参数，基于波动理论给出不等间距梁的无序度参数，进而利用弹簧质量链模型的局域化因子公式预报出不等间距梁的局域化因子。该方法有效规避了对多自由度系统进行复杂解析的困难，实现了对多自由度系统开展无序局域化定量分析的工程化使用。

2）通过对比统计扰动方法与单通带近似等效方法的局域化因子结果验证了等效方法的正确性。

3）通过对比不等间距梁FEM 模型证实了采用不等间距布置实现振动局域化的可行性，验证了采用单通带近似等效方法对多自由度系统进行局域化分析的有效性。